Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика., страница 10

После введения новых чисел оказывается, что все квадратные уравнения вида х'+ рх+») = О и, вообще, все уравнения вида х" + р х" ' + ... + р„,х+ р„= О с произвольными коэффициентами имеют решения. Описанный способ введения комплексных чисел не может нас удовлетворить, поскольку порождает взгляд на них как на объекты, не существующие реально, в буквальном смысле слова "мнимые". Мы пойдем иным путем, а именно, придав схеме введения комплексных чисел щометрический оттенок. 1.1. Определение комплексного числа. Рассмотрим плоскость К' и кажлую ее точку х = (х, у), где х Е К, у Е К будем считать вектором.

В соответ- У стени с этим определим модуль з, а также алеранию сложения з» = (х», у,) и зз = (хг, уз) по известным правилам для векторов (рис. 10) (Г( =,/Х'+ У', Х = Х» + Хз ЕЬ Х = Х, Е Хз Л У = У, + У». (1) По тем же правилам»уо Е К полагаем ог = (ах, ау). Согласно теории векторов на плоскости, х можно разложить по векторам 1 = (1, О) и» = (О, 1) (рис. 11): (2) Возникает вопрос, можно ли, сохранив равенства (1) и (2), определяющие операции нал векторами, ввести апе- г .ю рацию умножения точек плоскости К', превратив их в числа, называемые далее комплексными? Требование сохранения равенств (1) и (2) является существенным.

Без них мы могли бы взять обратимое отображение К на К и принять его за изоморфизм упорядоченных полей, превра- » тив К' в мало полезное для приложений представление упорядоченного поля действительных чисел. в!. Комплексяые числа и комплексная плоскость 27 Будем считать вектор 1 единицей операции умножения. Тогда, принимая во внимание равенство (2), для положительного ответа на поставленный выше вопрос достаточно правильно определить произведение г г = гг. Поскольку ! г = г, т.

е. точку (О, !) получим из точки (1, О) поворотом плоскости Гч~ против хода часовой стрелки на угол †, то полагают г = — !. (3) Пользуясь равенствами (2) и (3), запишем для я = (х, у) соотношения (4) я ' г = (х ' ! + у ' г)г = — у ! + х ' г = ( — у, х). х! д г .гг Рчг. г! Точка (-у, х) получается из точки (х, у) поворотом пяоскости П против хода часовой стрел- г кн на прямой угол (рис. !2). Поворот на другой угол можно будет запать с помощью умножения не на г, а на другое комплексное число.

Сказанное подтверждает важность для математики комплексных чисел. Прибегая к ним, можно изучать важнейшие преобразования плоскости: сдвиг, поворот, гомотетию. Теперь запишем правило умножения точек плоскости гч~. Имеем (х„уг)(х„у ) = (х, . 1+ уг !)(хг ! 4 у, -г) = (х хг — у уг)1+(х у,-1-х уг)г, (хг УгХхг Уг) = (хгхг Угуз хгуг + хгуг). (5) Определение. Числоаая плоскост~ !к~ называется комплексной пяоскостью С, если для ее тачек определены модули, операции сложения и умножения по формулам (1), (5).

Гочки комплексной плоскости иазыяаются комплексам.ии числами. Множество действительных чисел определяется однозначно лишь с точностью до изоморфизма. Поэтому комплексные числа х 1, где х Е !и, дают другое представление числовой прямой Н и вполне могут быль приняты за действительные числа. Таким образом, комплексные числа содержат в себе все действвтеяьные, т. е, С Э 12. Отметим, по комплексные числа так же, как и лействитеяьные, определены однозначно лишь с точностью до изоморфизма. Упрощая запись, вместо х ! будем писать х. С той же целью будем пнсатыу вместо у. г.

Тогда комплексное число я = (х, у) принимает вид я = х+ гу, х б Гч, у Е !й. Числа х и у по традиции соответственно называются дейстяительиой и мнимой частями комплексного числа я и обозначаются символами х = Кея, у = 1ш я. Таким образом, комплексное число я = (х, у) представляет собой упорядоченную пару, комплекс, составленный из действительных чисел х и у ("комплексное" — составное ). Название "комплексное число" предложил К. Гаусс (!777 †18), символ ! ввел в рассмотрение Л. Эйлер (!707-1783).

Число я = х — гу называется сопряхсенным числу я = х+ !у и обозначается через я. Очевидно, ч .у — 1!г Необходимо проверить, образуют ли комплексные числа поле. Очевидно, операция сложения удовлетворяет тРебуемым аксиомам, поскольку отвечает операции сложения векторов. Читатель может проверить аксиомы сложения, не прибегая к векторам, а исходя из определения суммы в 28 Гл. 2.

Комплексные числа и функции комплексного переменного уаговиях (1). Непосредственная проверка аксиом умножения и аксиом, связывающих сложение с умножением, приведет к громоздким выкладкам. Этого можно избежать, если ввести другие характеристики комплексного числа. 1.2. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая н показательная формы его записи. Умножение н деление комплексных чисел. Операция извлечения корня нз комплексного числа. Определение. Пусть г Е С и г р' О. Угол Зг между радиусом-вектором точки л и ортом дгиствитгльиой оси иазивагтсл аргументом числа г (рис,13), Аргумент числа г Е С, л ~ О, определяется неоднозначно, а с точностью до кратного 2х.

Множество всех значений аргумента з обозначим через Агк г. Если чг Е Агу г, то Агкг = (чг+2пх ! и Е Х). За Агкб примем все множество действительных чисел. Иногда А!80 не определяют. В множестве Агу г, г ~ О, сушествует одно н только одно значение уг Е ( —.г, гг), которое называется главным и обозначается агат. Принимая во внимание связь между декартовыми и полярными координатами точки (х, у) плоскости !к, ! имеем х = гсозчг, у = гз(пу!, (1) где х = нег, у = 1глг, г = (с~, р Е Агвг.

Из равенств (1) получаем тригонометрическую форму записи комплексного числа г = г(сову!+!в!пзг), Чг Е Агбг, г = )г!, (2) Рве. ! З которая оказывается очень удобной при умножении н делении комплексных чисел. Л. Эйлер ввел в рассмотрение показательную функцию !рь есг =совр+!в!и р, !р Ем. (3) Запись комплексного числа в локазатвльиой форме принимает вил г = ге ', г = !г!, !р Е Агу л. (4) Следуюшее утверждение устанавливает основные свойства показательной функции, определенной формулой (3). Теорема.

Пусть )с Е )к, Ч) Е )к, й Е Х, Тогда справедлива равенства: 1) е' = 1; 3) ец"+н"' = егг. 5) !его) = 1. < Указанные равенства непосредственно следуют нз формулы (3) н свойств тригонометрических функций. Докажем равенство 2). По определению имеем е'чего = (соз(в+ ! з!и !р)(сов чу+ (з(п(З) = = (соз !рсоа гр — з(п (с з(п уч) + !(з!и у!сов гр + сов (с з!и гр) = сов((с + гр) + ! з!п(Ч! + р) = е! " Показательная форма записи комплексного числа позволяет значительно упростить операции умно;кения и деления комплексных чисел.

Если л, т где*~', г; = )хл1, )г, Е Агкг, (у = 1,2), (5) то г!г! — — (г!гг)е !ч!~гг! — = — егсю (6) л! гг Таким образом, для вычисления произведения комплексных чисел нужно перемножить их модули и сложить аргументы, а при их делении модули дктпся и аргументы отнимаются. в 1.

Комплексные числа в комплексная плоскость 29 Полезна (Ьармула лгуавра (1667 — 1754), которая является следствием формулы (3), или может быть установлена с помощью метода математической индукции: если х = (гсозу, гвпу), то табу( а = (гсоау~ гз!пу) = (г созпу, г 5!ппу). П) Формула Муавра позволяет извлекать корни произвольной целой степени из комплексного числа. Пусть а = (г сову, гоп у) и требуется найти такое комплексное число а, = (г, сову„г, з|пугй чтобы з,'* = з, Тогда, в соответствии с формулой (7), (г", созау„г" ,згпау,) = (гаазу, г ага у).

(8) Приравнивая друг другу модули и аргументы, имеем г~" = П пу~ = у+ 2йл, й Е У. Итак, г, = т/гР, у, = с~-„— "-. При й = О, и — ! получаем и разных значений: / „у+ 2(гл у+ 2йл Они лепят окружность радиуса "/~ на и дуг одинаковой длины. Поле С не является упорядоченнзям В упорядоченном поле Г т(а Е Г, Ь Е Г) а +Ь = Ос.". а = 0 Л Ь = О. В поле С это условие не выполняется, например, ('+ 1' = О, однако ! у О, 1 у О. Отметим, что модуль комплексного числа !Д = хгГзз+ уз удовлетворяет аксиомам нормы (см. !ь2.5, гл.1). Выполнение аксиом 1) и 2) очевидно.

Рассмотрим на рис.10 треугольник с вершинами в точках О, ац а~+ г,. Длины его сторон равны: !хг~ (от 0 до а ), !л~) (от х, ло з, + аз), ~х~ + хз! (от х, + х, до О). Поскольку длина стороны треугольника не больше суммы длин двух других стран и не меньше абсолютной величины их разности, то (~з1! !а2!!» (з! ! а2! ~» 1а!1 + ~хз! Следовательно, модуль удовлетворяет и неравенству треугольника. Таким образом, упорядоченная четверка Е = (С, +У ч ! !) является нормированным векторным пространством нал полем Рс.