Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина, страница 137

2 3.11), доказал, что для всех значений масс п>ь и епь удовлетворяющпх условию (10.3.37), кроме, быть может, множества лебеговой меры нуль, лагранжево треугольное решение ограниченной круговой задачи трех тел устойчиво [82]. Корни характеристического уравнения (5.2.40) выражаются равенствами —— 1(1+ 11 — 27р (1 — р), (10.3.38) А/2 1« = 2 '~/1 — 1/1 271» (1 Й) ~ (10.3.39) ч/2 а условие (10.3.37) в обозначениях гпь = 1 — 1А и >и, = р — записывается в виде 271»(1 — 1А) < 1.

(10.3.40) Пользуясь формулами (!0.3.38) — (10.3.40), результат Леонтовича можно сформулировать также следующим образом: либрационные решения А'.4 и 74 плоской ограниченной круговой задачи трех тел устойчивы в смысле Ляпунова, если Й1А1 + кгА» чь 0 (для любых целых чисел й1 и я») и Ф=— ад~в — Дай>+ уХ» Ф 0 (а, р, у — постоянные коэффициенты [82]). Числа Х, и Хг (или отношение А,/Х,), УдовлетвоРЯюЩие пРотнвоположному условию й>Х~ + йгХБ = О, (10.3.41) образуют множество меры нуль. Таким значениям Х~ и Аг соответствует множество значений 1» меры нуль, удовлетворяющих неравенству (10.3.40). Ю.

Мозер показал, что условие «Ф~Х~ + н»А»-ь 0 для любых целых чисел й~ и я»» может быть заменено менее жестким условием «й~д+ Фг)а чь 0 для значений Ф, и йь удовлетворяющих неравенству 0 < ! й~ ! + ! кг ] ( 4». Таким образом, результаты Леонтовича и Мозера утверждают, что треугольные лагранжевы решения плоской ограни- 4 злм гл. з. пновлямк хстоичивости в няввснои мвхкннкв в48 ченной круговой задачи трех тел устойчивы для всех значений 14, удовлетворяющих неравенству (10.3.40), кроме, быть может, трех значений, подчиняющихся условиям й,Х~ + йг1ч = О, 0 < ! й1 1+1 йг (~~ 4, ) (10.3.42) а1Л вЂ” 01,,1,, + узы = 0. Существуют лишь три таких значения и (10.3.43) Исследование устойчивости лагранжевых решений для этих значений и выполнено в работах А.

П. Маркеева [83),[84), [127). Комбинируя метод преобразований Биркгофа гамильтоновой системы к нормальной форме [4!) с теоремами Ляпунова о неустойчивости (см. $3.05) и со способом Четаева (см. $3.07), А. П. Маркеев доказал, что при значениях 1х, равных В~ и !гэ (10.3.43), лагранжевы треугольные решения (точки либрации Е4 и Ь|) плоской ограниченной круговой задачи трех тел неустойчивы, а при р = рг эти решения устойчивы. Работа [!27) полностью исчерпала проблему устойчивости треугольных лагранжевых решений в плоской ограниченной круговой задаче трех тел. В [128) А. П.

Маркеев исследовал устойчивость треугольных равновесных решений в пространственной ограниченной круговой задаче трех тел. Им доказано, что для большинства начальных условий (в смысле меры Лебега) при всех значениях и, удовлетворяющих условию (10.3.40), кроме двух значений, и = 1хь р = рг из совокупности (10.3.43), треугольные точки либрации устойчивы. При и = и1 и и = 1сх имеет место неустойчивость. Отметим существенное отличие в поведении условно-периодических решений в окрестности 7.4 и Ьь.

В плоском случае любая точка из достаточно малой окрестности 1.а и 7.г при всех значениях 14, удовлетворяющих условию 27р(1 — и) «- 1, кроме двух (и = иь р = иг), порождает условно-периодическое решение. Другими словами, точки Е4 и Ьг устойчивы в смысле Ляпунова. В пространственной задаче большинство точек (но не все) из достаточно малой окрестности точек либрации порождают условно-периодические решения.

Неясно, имеют ли условно-периодический характер решения, порождаемые точками, принадлежащими множеству малой (в смысле Лебега) меры, поэтому говорить об устойчивости по Ляпунову (или о неустойчивости) треугольных точек либрации в пространственной ограниченной круговой задаче трех тел преждевременно. ч. х.

кхчаствгннля неваснхя мгхлникх ~% злз Уравнения первого приближения (уравнення в вариациях) для исследования окрестности точек лнбрации 7.4 и Ьг ограниченной эллиптической задачи трех тел составляют линейную систему с 2п-пернодическими (относительно истинной аномалии возмущающих тел) функциями, поэтому даже в первом приближении вопрос об их устойчивости представляется весьма сложным. Для близкого к единице эксцентриситета орбит возмущающих масс точки либрации Е, и 7.» неустойчивы в смысле Ляпунова [85). Здесь же сформулирована теорема об устойчивости, которая оказывается верной лишь с точностью до первой степени эксцентриситета орбит возмущающих масс.

Этот результат согласуется с результатами исследования Ляпунова [64). В дальнейшем многие исследователи [86), [!29), [130), [131) и др., пользуясь аналитическими или численными методамн, строили области устойчивости и неустойчивости на плоскости параметров 1», е (и — малая возмущающая масса, е — эксцентрнситет ее орбиты) для линеаризованной системы уравнений (уравнений первого приближения).

В нелинейной постановке при малых е А. П. Маркеевым [132) получены утверждения об устойчивости для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий, формальной устойчивости и неустойчивости по Ляпунову в зависимости от значений параметров и и е. й 3.13. Устойчивость других решений задачи трех тел Пуанкаре в «Новых методах» [2) доказал, что региения плоской ограниченной круговой задачи трех тел, устойчивые в смысле Хилла (см. $3.03), будут устойчивыми по Пуассону и, следовательно, обладают свойством возвраи1аемости в любую сколь угодно малую окрестность начальной точки. Устойчивость по Пуассону свойственна и для других законов тяготения [2), отличных от ньютоновского, если рассматривается плоская ограниченная задача и существует интеграл энергии, В неограниченной задаче трех тел свойство траекторий быть устойчивым по Пуассону в общем не сохраняется. Н.

Д. Моисеевым построены [28), [29) области сплошной устойчивости и неустойчивости в плоской ограниченной круговой задаче трех тел с помощью критерия Уиттекера. Существенные результаты по устойчивости решений гамильтоновых систем, к которым относится и ограниченная круговая задача трех тел (плоская н пространственная), принадлежат В. Г. Демину [87). Им доказано, что в случае спутниковых орбит или в случае орбит, охватывающих обе притягивающие массы, гамильтоновы уравнения'ограниченной задачи трех тел, путем замены переменных, можно привести к «невырожденному случаю» (хотя первоначальная задача является вырожденной) и э г.м! гл, г.

пяовлемк тстоячнвостн в навесная механике згт к ним, следовательно, применима теорема Арнольда об устойчивости в эллиптическом случае (см. $3.11). Таким образом, В. Г. Деминым доказано, что периодические и условно-периодические реигения ограниченной круговой задачи трех тел спутникового типа или охватываюи(ие обе притягивающие массы орбитально устойчивы (устойчивы относительно всех кеплеровских элементов, кроме средней аномалии). й 3.14. Устойчивость орбитальных движений искусственных спутников Исследованию устойчивости движения спутников в последние годы уделяется большое внимание.

Работы по этой проблеме можно разделить на две группы: 1) исследование устойчивости движения центра масс (орбитального движения) спутников; 2) исследование устойчивости движения спутника относительно центра масс. Второе направление обсуждается в части 1Х. Мы коснемся работ, примыкающих к первому направлению. Известно [20], [47], [7!], [87], [133], что спутниковая задача с осесимметричным гравитационным полем допускает круговые решения. В. Г. Деминым получены [87], [!34] необходимые и достаточные условия устойчивости таких орбит материальной точки (спутника). Необходимые условия получены с помощью тео. ремы Ляпунова «первого метода» Я 3.05).

Достаточные условия получены с помощью способа Четаева Я 3.07) образования линейной, относительно параметров к; ($3.07), и квадратичной, относительно первых интегралов, связки (задача имеет два известных первых интеграла [87]), т. е. функция Ляпунова отыскивается в виде г т = ~.1р~ + кгт1! + гг (! 0.3.44) где Рь тг — левые части интегралов площадей и энергии (см. (4.1.23), (4.1.24) ), записанные в цилиндрических переменных р, й, г Если постоянно действующие факторы Я(у, !) Я 3.08) малы и не зависят от долготы, т, е.

14(у, !)=рФ(р, г. р), то устойчивость круговых орбит не нарушается при достаточно малых по модулю значениях параметра !». Другими словами, зональные гармоники в разложении потенциала центрального тела (см. ч. 1Ч, гл. 5 н ч. Ч!) не нарушают устойчивости круговых орбит, если только разложение потенциала сходится «досуаточно быстро». ч. х. качиствиннля навесная механика 1% зла Обобщенная задача двух неподвижных центров (см. ч. У!) также допускает круговые орбиты. Их устойчивость при постоянно действующих возмущениях исследована в работах-[135), [138),[137), а для случая предельного варианта задачи двум неподвижных центров в[!38).