Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под редакцией Г.Н. Дубошина, страница 136

1Ч, $6.04) с точностью до величин второго порядка малости (относптельно эксцентриситетов и наклонов), имеют первые интегралы ь-! Х тп п„а'„е'„= С„ ь ! (!0.3,24) (!0.3.25) Х тдп ад !дз !ь = Сз ь-! Здесь рассматривается планетный вариант задачи п тел (п — ! планета и центральное тело), и!„, пь — масса и среднее движение й-й планеты, аь, еь — большая полуось и эксцентриситет ее орбиты, !ь — наклон й-й планеты относительно плоскости Лапласа (см.

ч. !Ч, $1.01). Интегралы (10.3.24) и (10.3.25) впервые были найдены Лапласом. Анализируя зти интегралы, Лаплас доказал теорему об «устойчивости» планетных орбит в первом приближении. 3 3.!ь ч. х. кАчястяеннля няяяснАя мяхАникА В40 Теор е м а Л а ил а с а. Пусть выполняются следующие условия: 1) движение всех планет происходит в одном направлении (каждое слагаемое в интегралах (10.3.24) и (10.3.25) положительно); 2) массы всех планет тпд (й = 1, 2, ..., и — 1) одного порядка; 3) большие полуоси орбит аь являются колеблющимися и ограниченными функциями времени 1ен(1ь, Т), мало изменяющимися около некоторых средних значений; 4) в некоторый начальный момент времени гь все зксцентриситеты и наклоны еА(1о), (А((ь) малы.

Тогда еь(1) и 1А(Ю) являются малыми функциями для всех гя((ь Т) 'Теорема Лапласа, конечно, не позволяет сделать Быяод о том, что гипотетическая планетная система (и, я частности, Солнечная система) устойчива н смысле Лагранжа для 1~(гь, оь), так как, но-первых, строго не известно, яыполняется ли условие 3) для всех 1 ~(1„ьь) (изаестно лишь, что я первом и яо втором приближении большие полуоси не имеют Бекояых возмущений (см. $3.09)), а яо-нторых, интегралы (10.3.24) и (10.3.25) являются интегралами приближенных уравнений. Теорема Лапласа Б сочетании с теорией яекопых возмущений второго порядка позволяет лишь утверждать, что на конечном хотя, быть может, и весьма большом промеигутке времени (тем большем, чем меньше массы планет) движение планет имеет услояно-периодический характер. Такие движения Арнольд назвал лагранжевыми движениями в планетной задаче (36] (онн, естестненно, отличны от лагранженых равновесных решений).

Сущестпеняое добавление к решению проблемы устойчиаости принадлежит Арнольду. Теорем а Л р н о л ьд а (80). Если массы планет, зксцентриситеты и наклоны их орбит достаточно малы при некотором 1 = 1ы то для большинства начальных условий движение планет илтеет условно-периодический характер для всех вещественных значений времени — ьь (1( ьь и мало отличается от лагранжева движения с подходящими начальными условиями. Услояно-периодические решения порождаются начальными услояиямп, принадлежащими области Рь, определенной формулой (10.1.53).

Для начальных услоний, принадлежащих области Г = Е" Рь (Р— область, н которой происходит даижение планет, определена формулой (!0.1.44)), вопрос о сущестяояании условно-периодических движений остается открытым. Правда, при этом мера )А может быть сделана сколь угодно малой по сравнению с мерой Еь. 4 ащ гл. а пьовлемл эстоичивости в неввснои механика а41 Таким образом, теорема Арнольда позволяет утверждать, что движения в планетной задаче устойчивы в смысле Лагранжа для большинства начальньт условий не только в первом, но и в любом приближении. Если определить вероятность устойчивости в смысле Лагранжа планетной системы как теэ рь Р= —, теь т" (10.3.

26) то можно утверждать, что движение планет устойчиво с вероятностью Р, сколь угодно близкой к единице. 3 а и е ч а н и е ! . Р = 1 пе влечет за собой устойчн вость в смысле Лагранжа планетной системы, так как в этом случае остается множество меры нуль, которое может, вообще говоря, порождать неограниченные движения. 3 а м е ч а н и е 2. Теорема Арнольда доказывается при условии, что области, в которых происходит движение каждой планеты, не пересекаются. Это условие необходимо н в классиче. ской теории возмущений.

$ 3.11. Теоремы Арнольда об устойчивости решения гамильтоновой системы в общем эллиптическом случае Арнольд установил общие теоремы об устойчивости положения равновесия гамильтоновых систем в общем эллиптическом случае[80), которые оказались эффективными при исследовании устойчивости лагранжевых треугольных решений.

Пусть имеется гамильтонова система с одной степенью сво- боды ьч ьН ьр ьи сИ др ' й4 де (10.3.27) р'+ ч' Г=— 2 77 (р, д, 1) = О (г"+'). 8(р, а,1) предполагается аналитической по р, а, ! н 2п-периодической по й Уравнения (! 0.3.27) имеют тривиальное решение (положение равновесия) р=у=с. (10.3.31) где гамильтониан представляется формулой О (р, д, 1) =Хг+ Х с,г'+ Й(р, а, 1), Я 2 (!0.3.28) (10.3.29) (!0.3.30) ч.

х. к»частванн»я нявасн»я мах»ник» !4 3.!! В42 Определение. Общим эллиптическим случаем для гамильтониана (10.3.28) называется случай, когда среди постоянных сг, сз, с„..., с„(п может быть сколь угодно большем) есть отличные от нуля. Пусть )! — некоторое иррациональное число. Обозначим через Л» множество таких иррациональных чисел Х, для которых выполняется неравенство 1» — гп1> 1 (10.3.32) при всех целых и! ) О, и ) О. Пусть, кроме того, Л является объединением точек плотности всех множеств Л». Множество всех вещественных чисел, не принадлежащих Л, имеет меру нуль. Теорема !. Если Х~Л, то тривиальное решение (10.3.31) р = д = 0 системы (10.3.27) с гамильтонианом Н(р, д, 1) общего эллиптического типа (10.3.28) устойчиво в смысле Ляпунова. Пусть теперь имеется автономная гамильтонова система с двумя степенями свободы вида Ве! дн др! ' Фр~ дО В! де! ' (10.3.33) Определение.

Если гамильтониан Н(рь рм у!. дг) представим в виде Н(р!, рг, ч!, чг) х!т!+ »гтг+ Нь(т! тг)+ Н(р! Рь Ч! уг)~ 1 Но(тп тг)= Е с,,т',т,', Н=О((т!+тг)+), !ь!,- '''" (10.3.34) причем Ь (а) = Нь (аХм — е!! !) Ф О, (10.3.35) то такой случай, согласно определению Арнольда, называется общим эллиптическим случаем для гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Для случая и степеней свободы Арнольд дает определение общего эллиптического случая в работе (36]. Гамильтониан, приведенный в $1.07, принадлежит к общему эллиптическому типу.

Теорема 2. Тривиальное решение р! — — рх = д! — — дг = 0 (положение равновесия) автономной системы (10.3.33) с гамильтонианом Н(рь ря уп дг) в общем эллиптическом случае устойчиво в смысле Ляпунова, если»г/!!! ~ Л. Получены также некоторые результаты по устойчивости автономных систем общего вида с внутренним резонансом частот (! 44] — !147» ах!2! Гл. 2. ПРОвлемА устоичивости в невесноя мехАнике 643 $3.12.

Устойчивость лагранжевых равновесных решений задачи трех тел Лагранжевы решения неограниченной задачи трех тел неустойчивы в смысле определения 1 ($3.01). Действительно, если рассматривать некоторое частное решение неограниченной задачи трех тел, определенное начальными условиями, близкими к лагранжевым, то для этих начальных данных центр масс системы будет двигаться в неподвижной системе координат со скоростью, отличной от скорости, определенной лагранжевыми начальными данными. А это приводит к тому, что по истечении некоторого конечного промежутка времени точки, изображающие возмущенное движение, будут находиться на достаточно большом расстоянии от точек, изображаю2цих лагранжево движение в абсолютной системе координат.

В связи с этим Раус 181) ставит и решает в первом приближении вопрос об устойчивости постоянной треугольной конфигурации, образованной тремя телами. Другими словами, решается задача об орбитальной устойчивости периодического лагранжева решения. Позднее Ляпунов доказал более Общий результат [641, что если масса одной из точек достаточно велика по сравнению с массами двух других тел, то треугольник Лагранжа в задаче трех тел устойчив в первом приближении при условии, что эксцентриситеть! орбит меньше единицы. Когда эксцентриситеты орбит близки к нулю, лагранжев треугольник устойчив в первом приближении, если массы трех тел гп, иь п22 УдовлетвоРЯют Условию рп0 + ы! + М2! ыьы ! + в!Оп!2 + ь! 2ы2 (10.3.36) (!0.3.37) 3 а меч а н не. Устойчивость в первом приближении лагранжева треугольника в ограниченной круговой задаче трех тел имеет место при выполнении условия '"'0+"' ! ) 27 Ь20т получающегося из (10.3.36) при п22 = О.

Условие (10.3.37) в точности совпадает с условиями (5.2.4!) и (5.2.42). Существенно, что при выполнении условия (10.3.37) можно говорить не только об устойчивости конфигурации, образованной тремя телами, одно из которь2х имеет нулевую массу, но и об устойчивости треугольных лагранжевых решений в первом приближении в смысле определения ! Я 3.01). Усвлия многих исследователей были направлены нв то, чтобы исследовать устойчивость треугольных лагранжевых решений ограниченной круговой задачи трех тел не только в первом 5хы ч. х.

кАчественнАя неБеснАя мехАникА 844 приближении. Однако до появления работы Арнольда [80] все попытки оказались тщетными. Так как уравнения ограниченной задачи гамильтоновы, то отсюда следует [41], что в первом приближении устойчивость имеет место только в том случае, когда все собственные значения матрицы линейного приближения [59] имеют нулевые вещественные части [41] (см. ч. Ч, $2.05). Это.— особый случай в теории устойчивости (по терминологии Ляпунова), так как учет малых членов высшего порядка может существенно изменить поведение решений в окрестности лагранжевых решений. А. М. Леонтович, опираясь на об>цие теоремы Арнольда (см.