Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин, страница 4

Но даже в тех случаях, когда общее решение дифференциальных уравнений (1.1) можно построить, ответ на вопрос — устойчиво ли движение, целесообразно, как правило, искать пе из анализа общего решения, а с помощью методов, специально разработанных в общей теории устойчивости движения. Эти методы основаны на качественном анализе дифференциальных уравнений возмущенного движения, которым удовлетворяют отклонения (вариации) х,. т) устойчивость движения прн постоянно действующих возмущениях полагается в книгах И. Г.

Малкина [37), Н. Н. Красовского [27], Е. А. Барбашина [5) и др. Б книгах Е. А. Барбашииа [5, 0] и книге Н. Н. 1[расовекото [27) рассматривается устойчивость в целом (см. 1 2.3). Устойчивость движения на конечном интервале времени и конечных начальных возмущениях излагается в книгах Н.

Г. Четаева [49) и К. А. Карачарова, А. Г. Пплютпка [25]; задача об устойчивости движения со случайными параметрами рассматривается в работе И. Я. Каца, Н. Н. Красовского [20] и др. Устойчивость снстем с последейетвием [с запаздыванием времени) излагается в книге Н. Н. Красовского ]27]. Подробные обзоры работ по исследованию устойчивостп методом построоннн функций Дяиунова, устойчивости нетолономных систем н устойчивости яа яонсчпом интервале даны в [2а, 40а, 1а] соответственно.

д 1л, углВпення Возиун[кнного дВижения Для вывода уравнений возмущонного движения найдем нз равенства (1.5) переменные уд (1)1 Уд ([) =-6И+ хд(!). Внесем этя значения для рд (!) в дифференциальные уравнения движения системы (1.1). Получим д!. д,г. — + 1 — — - у д (11 -(- хг ° ° ~ [„+ хв, [). Разложим правые части этих уравнений в ряды Тейлора по. степеням х,: ') 'Чд дхг 1 ( 3 дг дг дУ, '! ! др. [ где Х; — совокупность члеяов, зависящих от отклонений хг в степени выше первой.

Учтем теперь, что в невозмущенном движении функции дд (!) должны удовлетворять уравнениям движения (1Л), т. е. Гу. д,' == у,(!'1 1 !) ((т — 1, и). На этом основании будем иметь —,' =. и;гхг+... + а;вхв -[ Х; (!'=--1, ..., и). (1Л2) В этих уравнениях коэффициенты ага=- ( д (1.13) в общем случае являются функциями времени [, в частности, они могут быть постояннымн. Уравнения (!.12) называю!ся дифференци лысыми уравнениями возмущенного движения.

Если в этих уравнениях отбросить члены Х; то полученные при этом уравнения дх. —: — ад;г, -1 альте+... + п;„х„(1=1,..., и) (1Л4) назывлютгя урпег[елплл[и лерзого приближения. '1 Здесь и в дальисювсм предполагается, чго функции, раалагаемыс в ряды, удовлетворяют соответствующим требоваииям.

гл г постх~Овкл 3АдАчи го Уравнения первого приближения во многих случаях дают вернь>й ответ на вопрос об устойчивости движения, но очень часто заключение, которое можно получить из этих приближенных уравнений„ничего общего не имеет с решением исходных уравнений. Приведем пример. Пусть урзвнения возмущенного движения имеют вид (сх = сонат) с)хг тг т — =- — пхз+ шгс "Г х + х.;, (1Л5) с) хз — с+ зу',+ з. с 3 2 с)с Умножггм первое уравнение на хд, второе на хз и сложим почленно оба уравнения: хс — +хз — "=и (т,+х,) ' Нх с)хз с)с с)с или (хг~ хз) ~ (хг з) Положим ха+ х'; = гз, где г — расстояние от начала координат до изображающей точки. После перехода к новой переменной г будем иметь 1 с)гз .й. — — ссс' с)с или -- =- иг . с)г лс Зто уравнение легко интегрируется, и его обпгее решение имеет вид г= го 1 — иге (с — со) где ге — значение г при с .= Из этого решения видно, что при сх ) О расстояние г от пзобрзясающей точки М до начала координат неограниченно возрастает прис се+ —, т.

е. движение неустойчиво. [Заметим, что Пш гс = ссге ' С ш =- О, т. е. условие (1Л1) выполнено, хотя двнггсение неустойчиво.) Гслп ясе ст ( О, то г монотонно убывает, стремясь к нулю при с оо, т. е. движение асимптотически устойчиво. Рассмотрим теперь уравнения первого прибли>конкя с)хг сгх = — ссх, = — ссг„ лс ' лс которые получаются из уравнений (1.15) отбрасыванием членов по- рядка выше первого.

5 ! ". угхннкння Возму«![киного двнжвнпя 2! Для этих уравнений вместо равенства г =- игз будем иметь ~~г ог вли, интегрируя, г — гз. Нто решонке показывает, что озобраягающая точка ЛХ, отвечающая уравнениям первого прпблигкения, движется по окруягности, радиус которой равен начальному отклонению точки йр от начава координат. Таким образом, кз уравнений первого приближения следует устойчпвостг невозмущенного движения з,.= ха =-Опрп всех а. Нтот вывод ничего общего не имеет с результатом анализа исходных уравнений (1.15), согласно которому при и ) О движение неустойчиво, а нри сг ( О асимптотнчески устойчиво. Вернемся к уравнениям возмущенного двигкения (1.12).

Обозначив все члены, стоящие в правых частях этих уравноний, символами Х,, получим для неавтономных уравнений возмущенного движения Нз. —,' =.Х;(хы..., х„,г) (1= — 1,..., п). (1.16) Если уравнения возмущенного движения автономны, т. е. не содерягат время ! явно, то будем иметь дх ' = Х, (хы ..

„х„). (1.17) В дальнейшем совокупность уравнений возмущенного движения мы будем называть часто просто системой. Таким образом, уравнения (1.16) определяют меавтояомпую, а ураэнеппн (1.17) лвтопомпую систеьиз (уравнений возмущенного дпиггггния). Форма дифференциальных уравнений возмущенного двпжепня (!.16) или (1.17) называется нормальной, а движения, определяемые этими уравяениями, называются пгустаяовившижися и устаповивгиимися движегтями соотвотствеяно.

В дальнейшем для сокращения записи совокупность отклонений х„ ..., х„ будем часто обозначать одной буквой х (в главе «г этому будет дано смысловое обоснование). В соответствии с этим для автономной системы будем иметь Хг — -- Х, (х„..., ха) =- Х; (х), а «вя неавтономной системы Х ': Хт (зт х 1) Хт (х 1) 22 гл. 1. постАновкА злдлчп 11з вывода уравнений возмущенного движения видно, что прп х=О (то есть при х,==хе= —...=х„=О) все Функции Хг обращают- и("ггоиг1) ся в нуль: У Х, 1О, 1) == О.

11.1й) нормальная форма днфф1- ренциальных уравнений возРис. СЗ мущенного движения допу- скает простую геометрическую интерпретацию. Действительно, как уже отмечалось, в возмущенном движении изображающая точка М описывает в пространстве х„..., х„некоторую траекторию у. Скорость СГ движения точки М направлена по касательной к втой траектории, а ее проекции определяются равенствами 1) охг ох Ог=,д 1) ГЕЛИ Е„..., Ео — ЕдИНПЧНЫЕ ВЕКтОрЫ ОртОГОиаЛЬНОй Снетоиы Ох„..., х„, то разложение любого вектора а по координатным ортам в и-иерном пространстве имеет вид а = а,е, + ... + а„е„, где аг,..., а„— проекции вектора а на соответствующие оси. Модуль а вектора а определлется равенством а= у а Рог+...+от, прокаиодпав ои!Ш вектора а будет оп еаг гГа„ ге+ + пс ги щ Ж а ес проекции Радиус-вектор г ивображающей точки АХ равен г = хгсг ! ° ° + х'гюе а ес скорость Лг г!хг и= '= е,+...+ ~е.

ГГ1 и г11 з г.з. пгпмггы нл состлвлгпнв хглвнкппг! 20 или, пользуясь уравнениями (1.16), (7, = Хг,..., У„= Хз. (1.19) Следовательно, правые части нормальных уравнений возмущенного движения (1.16) равны проекциям скорости Ю изобрантающей точки гкг (рис. 1.3). В заключение отметим, что при решении конкретных задач уравнения возмущенного дини!ения ьгонгно не приводить к нормальной форме (1.16) или к виду (1.12), в частности, их можно представить как одно или несколько уравнений высшего порядка.

ф 1.3. Примеры на составление уравнений возмугг(емкого движении Поясним общие методы составления дифференциальных уравнений возмущенного движения на трех примерах. Пример 1. Дифференциаггьныо уравнения возмущенного движения конического малти и к а. Рассмотрим материальнуго точку М массой зг, подпещенную на невесомой вити ОМ к точке О (сферический маятник). Будем считать, что длина нити ранна 1.

Положение точки М будем определять углами ф и О, значения которых видны яа рис.1.4 (ось Оз вертикальна, ось з' параллельна неподвижной горизонтальной оси з, прямая Мггг перпендикулярна оси Оз). Кинетическая и потенциальная анергии сферического маятника определяются равенствами — 1з(0зф г)з =- 1 2 П =- тд1 (! — со 0).

Пользуясь уравнениями Лагранжа И дТ дТ дП д дТ дТ дП д! дгй дО дй Тм дф дф дф Ркс. 1.4 составим дифференцвальные уравнения двзжепия сферического маятника: ж1гΠ— гп)гт(гг з!гг 0 соз О + тд1 з!и О =- О, ггг(з((г ыпз О + 2тРОф з!гг О соз Π— — О, Гд 1 ппстлпопнл зхдлчп илн, после очевидных упрощений, 0 = — " сй(в О -(- ()г' я! и О соя О, ! (!.2!) ф —... — 204С с!о О. Полвоины О =- У„О = у„ф = „,. (1. 22) Теперь уравнения двпвсенгья сферического маятника лрянимают впд уравнений (1П): !г =Уь рз = — — ь1 я у! -'- у; з! и у, соя уь, з (! л23) 'о = — 2уоуо с!й у!.