Радиоавтоматика - Коновалов Г.Ф. Москва, 1990, страница 5

При этом процессы в системах описываются линейными дифференциальными уравнениями вида а„у "' (1) + а, 1 ум и (сл1+... + а у (1) = Ь х"' Я+ „. +Ь,х Я. (2.!) В стационарных системах РА коэффициенты дифференциального уравнения (2.1) являются постоянными величинами, в нестацнонарных — переменными. Методы анализа линейных систем РА основываются на принципе суперпозиция, который заключается в следующем. Если на систему поступает управляющее воздействие, которое можно представить в виде суммы простых воздействий (2.2) х(г) = х, Я+ х, Я+...+хь(1), то выходной сигнал определяется как сумма реакций на каждое слагаемое (2.2).

Решение дифференциального уравнения (2.1) связано с вычислительными трудностями, а во многих случаях, например в следящих системах, не может быть осуществлено, так как не известно управляющее воздействие. По этим причинам исследование систем РА ведется косвенными методами, базирующиллися на операционнолг методе Лапласа н преобразовании Фурье.

Для этой цели в теории систем РА используются следующие основные характеристики: передаточная функция, переходная и импульсная переходная функции, комплексныд коэффициент передачи или частотная характеристика. 5 2.2. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ Применив к дифференциальному уравнению '(2.1) преобразование Лапласа, получим ~) (Р) 1 (Р) = А (Р) А (р) + Мн (Р) (2.3) где 0(р) а„р"+а„,р"-'+.„+аь1 М(р) Ь р +Ь лр"-'+...+Ьо, ''л'(р) — преобразование Лапласа для выходного сигнала системы; Х(р) — преобразованиеЛапласа для входного сигнала; ̄— многочлен, отображающий начальные условия.

Введем следующие обозначения: (л' (Р) = Юру~~(Р)1 (иа(Р) = А4н(РЖ(Р) (2.4) Тогда выражение (2.3) примет вид ) (Р) = (е (р) л (Р) + 1"тп (Р). (2Я) Это уравнение связывает изображение выходного сигнала системы с изображением входного сигнала и начальным состоянием системы. срункция Чк (р) характеризует динамические свойства системы РА, она не зависит от управляюшего воздействия и полностью определяется параметрами системы а~ н бь эту функцию называют передаточной, а функцию РУ,(р) — передаточной функиивй относительно начального состояния системы РА, При нулевых начальных условиях передаточная функ>(ггя системы РА равна отношению изобраакения по Лапласу выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнила. Передаточная функция является дробно рациональной функцией относительно оператора преобразования Лапласа: (у ( ) ьп~ Р + ьы — 1 Р ~ + ...

+ ьа (2 б) от Р +оа — >Р + +оа Степень полинома знамена~ели передаточной функции определяет порядок системы РА. В реальных системах степень полинома числителя передаточной функции не пре- е/ вышает степени полинома зна- е менателя. Это условие называ- р ют физической реализуемостью з ( РА; г! г нельзя создать систему РА, пе- 1Ю .1. редаточная функция которой '>за е4 не удовлетворяла бы этому условию. Корни полннома числителя Рнс.

2Л. Расположенне ну. передаточной функции н пазы- ЛЕИ и ПОЛЮСОВ ПЕРЕЛатОЧНОЯ азы функции на нлоскостн коивают нулями, а корни полино- плексного переменного ма знаменателя )сг — полюсами системы РА. Так как коэффициенты передаточной функции — действительные числа, то невешественные нули и полюсы могут быть только комплексно-сопрягкенными величинами. При анализе систем РА нули и полюсы (особвнности передаточной функции) удобно изображать точками на плоскости комплексного переменного р (рис.

2.1). Если передаточная функция системы не годер>кит особенностей в правой части плоскости р, то систему называют минимально-фазовой, в противном случае ее считают неминимально-фазовой. й нз. переходная и импульендя ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИИ Рассмотрим случай, когда на систему РА действует единичный сигнал х (() = 1 ((), (2.7) где 1(г) — единичная функция, удовлетворяющая условню (О прн (<О, (! прн () О. Преобразование Лапласа для выходного сигнала системы в соответствии с выражением (2.5) прн нулевых начальных условиях имеет внд у(р) = йг (р)!р, (2.8) Переходный процесс в системе РА, вызванный входным сигналом в виде единичной функции, называют переходной функ<(ней: й(() = 7.-~ (йг(р)(р), (2.9) где )|р — преобразование Лапласа для единичной функция.

Переходная функция вычисляется по формуле обращения с+( о Ь (~) = —, ) — е с)Р = '~ йее — есс ~ (2.!О) )с (Р) се ~ ч нойс) вя) ) Р ~~ Р с Лес с — )оо с=о где Л~ — полюсы подынтегрального выражения; н — число полюсов. Напомним, что вычет в простом полюсе вычисляется по формуле Вез )(г (р) — ! = )нп(Р М 1)г (р) — ., (2.1ц Р ' хо с Л! Р а в полюсе кратности й Вез 1Ро(р) ) о — 1йп (р )и ) ~(с (р) Р Р'=Лс (а — !)) с Л, о)Р"-' Р (2.12) Рассмотрим случай, когда на невозмущенную систему РА действует единичный мгновенный импульс или, Зо что то же самое, сигнал вида б-функции х (с) =- б (с ), (2.13) который, как известно, удовлетворяет следующим условиям: О ~ б(С)61 = 1; ~ .к(С)6(с — т)йс=х(т). (2.14) В Так как преобразование Лапласа для б-функции равно единице, то для выходного сигнала У(р) = Ч7(р) 7 (6(С)) = К(р).

(2.15) Переходный процесс, возникающий в системе РА при действии единичного импульса, называют импульсной гсереходной функцией. Из выражения (2.15) следует, что л ис(С) = Е ' ()Р'(Р)) = ~ Кез))г (Р) е'с~1,=х, (2.15) с=! Импульсная переходная функция системы РА удовлетворяет следующим условиям: ис(С) = О при 1~0,~(се(1))йС со.

(2.17) о Первое условие называют условием физической реализуемости системы; оно показывает, что в реальной системе переходный процесс не может возннкнуть раньше подачи на вход системы единичного импульса. Второе условие является условием устойчивости системы РА. Согласно выражениям (2.9) и (2.15), ис(с) = — 5(1).

ссс (2.18) Интервал времени, на котором импульсная переходная функция отлична от нуля, называют палслгью систелсьс (рис. 2.2, а). Ранее определена импудьсвая переходная функция стационарной системы РА, В таких системах импульсная переходная функция зависит только от разности времени наблюдения выходного сигнала и времени приложения к входу системы сигнала б-функции. В нестационарных системах РА импульсная переходная функция зависит не только от времени наблсодения, но и от времени возникновения входного сигнала (зто происходит из-за ссвменения во времени параметров системы), Если на вход ие- Зс стационарной системы подать в момент времени тэ)тс ' сигнал вида д-функции, то импульсная переходная функция не только сдвинется по времени, как в случае стационарных систем (рис.

2,2, а), но и изменится по форме (рис. 2.2, б) . Рис. 2.2. Импульсные переходные функции: а — стационарное системы; б — нестациоиарноа системы Условие физической реализуемости для нестационар. ных систем РА имеет внд гп((т) = О при 1 - и. (2.19) Пример 2Л. Определить переходную и импульсную переходную 'функции системы РА с передаточной функцией )р(р) = 1 (1 + рт ) (1 + рт ) Решение. Преобразование Лапласа для переходной функции находится по формуле (2.8).' О(р) = (р — Хт) (р-йе) где Хь Хт — полюсы системы; Ье — постоянный коэффициент.

Й соответствии с выражением (2.10) т, л(Г)=1 — — Е ~ '+ ' Е т,— т, т — т, Импульсная переходная функция, согласно (2яб), ю(г) = 1 (,— тгг е-цг ) т,— т, Импульсную переходную функцисо можно вычислить и по формуле (2.18]. $2.4. ВЫХОДНОЙ СИГНАЛ СИСТЕМЫ РА ПРН пРОизВОльнОм ВОЭДейстВии (2.21) $25. КОМПЛЕКСНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ ПЕРЕДАЧИ И ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Рассмотрим случай, когда на вход системы РА действует гармонический сигнал с амплитудой Х и частотой а: х(1) = Х, 5)п аг. (2.22) Сигнал на выходе системы при нулевых начальных условиях в соответствии с выражением (2.5) имеет вид У(р) =)Р(р) Х(р) = А'(Р) Х="й- .

(2.2З) )) (Р) Рз+ аз Изображению (2.23) соответствует оригинал л у(1) = Х вЂ” зша1+Х ч '.Везу(р)ер'~, х,(2,24) )) ()а) а а=С с-ю В устойчивой системе все полюсы имеют отрицательные вещественные части, поэтому в установившемся ре- жиме 1пп у ()) = ))у ()а) Х„з)п а1 = ЖГ ()а) х (г), (2 25) 1 ю т. е, на выходе системы также получается гармонический сигнал, частота которого равна частоте входного сигнала. 3 — 493 ЗЗ Из определения передаточной функции системы РА следует, что преобразование Лапласа для выходного сигнала при нулевых начальных условиях У(р) =)Р (р) Х(р). На основании теоремы свертки сигнал на выходе у Я = (х(1 — т)а(т)бт.

(2.20) о В нестационарных системах РА у(1) = 1х(.) (А.)д., ь где 15 — время подачи входного сигнала. Выражения (2,20) и (2.21) позволяют определить выходной сигнал системы РА цри произвольном виде входных сигналов. Рис. 2.3.

Гсдсгреф частотной характеристики системы РА (2.29) Л(а) = 20 1д(ЯГ (/а) !. При построении логарифмической АЧХ (рис. 2А) по Отношение гармонического сигнала на выходе в установившемся режиме к гармоническому сигналу на входе называют комплекснылг коэффичггенгом гггредачи или частотной характеристикой системы РА. Из выражения (2,25) следует, что (Р()а) = 1~'(р)~,,„. (2.2б) Частотная характеристика системы РА может быть представлена в виде (Гг 0а) = Р (а) + Ж (а), (2.27) где Р(а) — веи(ественная частотная характерисюгка; (г'(ге) — мнимая частотная характеристика. Частотная характеристика системы РА в показательной форме имеет вид К (/а) = 1%'()а)1е' ('2. 28) где ( К()а) ( = (Ри(а) + (гт (а) 1 "т — амплитудно-частотная характеристика; гр (го) = агс(д — — фаза частотная г2 (а) Р (ы) характеристики Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) определяет зависимость от частоты отношения амплитуды сигнала на выходе системы к ам- .

плитуде сигнала на входе. Фазо+у щ <а саг частотная характеристика (ФЧХ) устанавливает зависимость сдвига фаз между входным н выходным сигналами. На плоскости комплексного переменного частотная характеристика изображается в виде вектора (рис. 2.3), который прн изменении частоты от нуля до бесконечности описывает кривую, называемую амплитудно-фиговой характеристикой или годографом часготног( характеристики системьс РА. В инженерной практике применяют логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ). Логарифмическая АЧХ о „ординат откладывыают значение (2.29) в децибелах, а поп оси абсцисс — частота ю в логарифмическом масштабе. При построении логарифмической ФЧХ по оси ординат откладывают ее значения в радианах, Основным до- -г Рис.

2Л. К описанию ЛЧХ стоинством ЛЧХ является возмо?кносгь их построения без вычислений. Десятикратное изменение частоты называют изменением на декаду, а двукратное — излзенением на октаву. Число декад и октав в заданном диапазоне частот ю, †о вычисляют по формулам Лдп = 12 — '; й?он — — 12 — — З,ЗЗ 1Я вЂ” ' . (2,%) ю, ' " ы, 1й2 ' ы, ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 2 1. Дайте определение основ. ных характеристик систем РА. 2. Как по дифференциальному уравнеишо системы РА най. тн ее передаточную функцию? 4. Что такое условие физической реализуемости системы РАз 5. Какие частотные характеристики используются для ис. следования систем РА? а. Чем отличаются импульс. ные переходные функции стационарных и иестацио.