Радиоавтоматика - Коновалов Г.Ф. Москва, 1990, страница 10

Это означает, что если система выведена из состояния равновесия каким-либо возмущением, то она возвращается в исходное состояние после устранения этого возмущения. Переходная составляющая решения уравнения (5.1) зависит от корней характеристического уравнения, которое получают из вырахсения (5.1), приравнивая левую часть нулю: 1+ йг,(р) =О.

(5.3) 1, Какие способы соединений звеньев используются в си. стемах РА? З. Дайте определсиия передаточных функций, применяемых в системах РА. 3. Какие системы относятся к статическим системам, а какие к астатическим? 4. Каким условиям должна удовлетворять передаточная функция замкнутой системы с астатвзмом первого и вто. рого порядков? б. Как находятся передаточные функции многоконтурных систеы РА? 6. Поясните способы идентификации параметров элементов систем РА.

Переходная составляющая решения л у. (1) =,'Э С! е'а', (5.4) с ! где Х; — корни характеристического уравнения (полюсы системы); С; — постоянные интегрирования. Действительному корню характеристического уравнения Х; в выражении (5.4) соответствует слагаемое дси(1) =С;е *'.Если )с;(О, то переходная составляющая с ростом времени стремится к нулю, если Ь>0, то эта составляющая неограниченно возрастает (рис.

5.1, а), ля а) ф~ Рис. З.!. К иоисисиию устойчивости системы РА: а — переходные составляющие длв вещеетвенньы корней; б — пары конплекспо.сопряженных корней: а — пары ннвных корней Паре комплексно-сопряженных корней уравнения (5.3) соответствует слагаемое у„.(1) = А; етд з|п(()а(+тра), где у;+-)р, — корни характеристического уравнения; Аь чр! — постоянные интегрирования, определяемые через С,. Прн этом переходная составля!ощая стремится к нулю, если вещественные части корней отрицательны, в противном случае амплитуда колебаний переходной составляющей непрерывно возрастает (рис.

5.1, б). Пара мнимых корней характеристического уравнения позволяет получить переходную составляющую в виде колебаний с постоянной амплитудой (рис, 5,1, в): упа(1) = А,з!пф1+чр!). Таким образом, для устойчивости системы РА необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные знаки, или эти кор- 5 — 493 вн на плоскости комплексного переменного были распо. ложены слева от мнимой оси. Только при этом все слагаемые в выражении (5.4) будут стремиться к нулю. Если корпи характеристического уравнения расположены на мнимой оси, то система РА находится на грани.

Че устойчивости. При этом возможны два случая: корень в начале координат и пара мнимых корней. Нулевой корень появляется, когда свободный член характеристического уравнения равен нулю. Если остальные корни этого уравнения отрицательные, то система РА устойчива не относительно выходного сигнала, а относительно его производной, выходной сигнал в установившемся ре. жиме имеет произвольное значение.

Такие системы называют нейтрально устойчивьти. В том случае, когда характеристическое уравнение имеет пару мнимых корней, границу устойчивости называют колебательной. В большинстве случаев корин характеристического уравнения системы вычислить невозможно, поэтому были разработангя правила (критерии), позволяющие судить о расположении корней на плоскости комплексного переменного без их расчета. Прежде чем воспользоваться для оценки устойчивости тем илн иным критерием, следует проверить выполнение необходимого условия устойчивости, в соответствии с которым все коэффициенты характеристического уравнения (5.1) должны быть больше нуля, Для доказательства этого положения представим уравнение (5.1) в виде а„(р — Х,)(р — Х,)...(р — Х„) = О. (5.5) Если система устойчива, т.

е. все корни Ц отрицательные, то, раскрыв скобки (в (5.5), получим уравнение с положительными коэффициентами. Если система неустойчива, т. е. хотя бы один из корней положительный, то, перемножив сомножители в (5.5), получим уравнение с несколькими отрицательными коэффициентами. В дальнейшем будем полагать, что необходимое условие устопчнвости выполняется. й 3 2. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГУРВИЦА Для оценки устойчивости системы РА по критерию Гурвица необходнмо из коэффициентов характеристического уравнения (5,1) составить матрицу Гурвица. С этой целью уравнение (5.1) запишем в виде а„р'+ и„1р" '+...+ ао = О. Матрица Гурвица имеет вид 0 а-ь а.-з, а„-з,..., аз~ ал — 21 ал — о.„, 0 О, а;, ма„з,...,О о О, ..., ....,.а, Порядок составления матрицы Гурвица следуюший.

В левом верхнем углу матрицы записывается коэффициент а„о по главной диагонали располагаются коэффициенты характеристического уравнения с младшими индексами, над элементами главной диагонали записываются коэффициенгы с убываюшими индексами, под элементами — с возрастающими. Для оценки устойчивости системы РА необходимо вычислить определители Гурвица, которые получают из матрицы (5.6) путем отчеркгвания равного числа строк и столбцов в левом верхнем углу матрицы.

Например, первый определитель Л, .=а„ь второй а„-ь а„з азф а~ — 2 третий а;,ьа„-з,а,з а„, а„з, а„4 О, аз — ь а„з Система РА устойчива, если при а„~О Ьз)0 Ь )О Лз)0'" Ьп)0 (5,7) Раскрыв Л, по последнему столбцу, получим ~з аз Ал — ° (5.8) Так как аз)0, то для проверки устойчивости системы достаточно уточнить знаки только до йы з определителя. Если определитель Ьп=О, то система РА находится иа границе устойчивости. Возможны два случая: !) свободный член характеристического уравнения равен нулю, что соответствует нейтрально устойчивой системе; 2) опРеделить Ь, ~ — — О, что соответствует колебательной гра- 67 К(1+ рт) р (1 + ртй (1+ ртса) ' Р е ш е и и е. Характеристическое уравнение системы ФАПЧ Т, Тел рз+ (Тт+ ТЕ„) р'+ (1+ КТ,) р+ К = О.

Матрицу Турника можно представить так: (5.! 0) т+тея, к, о . т,тфц, 1+Кть, О о т,+т,, к В соответствии с (5,7) условия устойчивости получаются следуюшими; т,те.>0;А~ т,+ть >О; ат (Г~+та,) (!+ктз) — Ат,та,> )О. Первые два условия выполняются при любых значениях параметров, посдедпее — в том случае, когда т,+тел К < Акр= тол(т,— те) — т,та ' Из этого выражения следует, что форсируюшее звено улучшает устойчивость системы, повышает критический коэффициент усиления. Действительно, если при Т,=О К„„=ИТ,+1/Гч„то при таят, ' т Кнр ='"' тфд+ т, $5,3, ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОИЧИВОСТИ Частотные критерии устойчивости базируютсн на принципе аргумента, Рассмотрим этот принцип, для чего загишем выражение для характеристического вектора, которое получим из характеристического уравнения (5.5) путем замены р на !в: 6(!в) = а„(!со — )ь,)()в — Ая)...()в — )„), (5.!1) На рис.

5.2 изображены сомпожители характеристи- 68 нице устойчивости. Из условия Л !=О можно определить параметры, при которых система РА находится на границе устойчивости. Например, можно вычислять критический коэффициент усиления К„р, соответствующий границе устойчивостк. Отношение сс =- К, р/К (5.9) называют запасом устойчивости ло усилению. Для нормального функционирования системы необходимо, что. бы а>2. Пример 5.!. Найти условия устойчивости системы ФАПЧ (см.

рнс. !.8), передаточная функция которой в разомкнутом состоянии имеет внд ческого вектора. Определим изменение аргумента вектора 6(рв) при изменении частоты от — оо до +со и Ь агй 6 (1оз) = ~~„'агу ((тв — )ч). ее<-~-о~ Если корень характеристического уравнения Рм расположен па комплексной плоскости слева от мнимой оси, то вектор )ьз — )ч поворачивается на угол и, если этот корень находится на комплексной плоскости справа от мнимой оси, то вектор )ез — Х; поворачивается на угол — и, Допустим, что т корней характеристического уравнения расположены справа от мнимой оси, а остальные и — зп корней — слева. Тогда изменение аргумента характеристического вектора равно Лагяб(/ьз) = (п — 2т)п. Это — а~кок+: выражение и определяет принцип аргумента.

В устойчивой системе т=О, и изменение аргумента характерпстическо- / го вектора получается следующим: Л агд 6 (/со) =- п —" . (5.12) екмс 2 Из выражения (5.12) следует критерий устойчивости Мн. хайлова, согласно которому изменение аргумента характери- Рис. 6.2.

К оценке измене- стического вектора определя- нни аргумента карактернсется по годографу вектора, ко- хивинского вектора тарый записываюз в виде 6()ы) =-6(»)+М ). где У(ьз), Р(се) — действительная и мнимая части характеристического вектора. Система РА устойчива, если годограф характеристического вектора, начинаясь на положительной части действительной оси, обходит последовательно в положительном направлении и квадрантов, где и — порядок характеристического уровнл системьь Только в этом случае выполняется условие (5.!2).

На рис. 5.3,а — в, приведены примеры годографов для устойчивых и неустойчивых систем. Если годограф проходит через начало координат (рис. 5.3, в), то система находится на границе устойчивости, В этом случае и(ы„,)=О, )т(ы„,)=й. (5.13) Из этих уравнений можно определить значения пара- 69 метров, при которых система находится на границе устойчивости. Пример 6.2. Нзйтн критическое значение коэффициента усиления которан рассматривалась в примере 5.1. в системе ФАПЧ, Рвс. 5.3. Общий внд характеристического вентора: а — устойчнной енстемы; б — неустойчивой енсгемы; н — сметены не гра- нице устойчнностн На пракгнке более широкое по сравнению с критерием Михайлова применение нашел частотный критерий Найквиста, который позволяет судить об устойчивости системы по частотным характеристикам разомкнутой системы.

Рассмотрим случай, когда разомкнутая сис- Рис. 5.4. Годогрзф характеристического некторз системы ФАПЧ 70 Решение, Характеристический вектор определяется из выражения (5.10): 6 ()ю) = К вЂ” гоз (Тт + Тфд) + Гю (1 + К7е — юз 7т Тьд) . В соответствии с выражениями (5.13) условия, определяющие границу устойчивости, получаются следующими: ы (1-,'-КТ) — ю Т Т =О. Следовательно, 1+КТ, 7, + тея Т,тф, ' "' 7 „(Т,— 7,) — 7,7, ' При значениях коэффсциента усиления меньше критического систеыа ФАПЧ устойчива, в противном случае она неустойчива. На рнс.