Берс (Берс Л., 1961 - Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики), страница 8

Второе решение (рм фя) демонстрирует предельную линию, совпадающую со звуковой окружностью д.= 7„р. При этом получаются два течения с радиальными линиями тока, простирающимися от бесконечности до окружности, на которой д=-а,р (дозвуковой и сверхзвуковой „источники"). Линейная комбинация Р = ' КР~ +) РРа 'ть = )чФ1+ '.аФа дает течение с линиями тока в форме логарифмических спиралей. Это течение частично дозвуковое, а частично сверхзвуковое, и предельная линия в нем получается при некотором сверхзвуковом значении е7 (Толлмин [1[, Кейлель [1[). Продолжение в комплексную область. Теперь мы рассмотрим методы получения частных решений уравнений голо- графа, относящиеся к лозвуковой области и к случаю, ко~да связь плотности со скоростью аадается вещественной аналитической функцией.

В этом случае уравнения годографа имеют аналитические коэффициенты, откула следует, что зсе дозвуковые решения сами являются вещественными ана- 4 д Частнике реегения уравнений гвдоерафа 49 литическимп функциями. Поэтому эти решения могут быть продолжены в комплексную область. Нам будет удобно рассматривать уравнения для потенциала и функции тока, записанные в виде уравнений (3.19) и (3.20).

Мы снова будем обозначать независимые переменные через х и у. Уравнения (3.19) и (3.20) имеют вид Жггг+- Ю'и — 4УЛ/ =-- О, где 1 — -аналитическая функции от х и у, Будем рассматривать х и у как независимые комплексные переменные. Тогда мы можем в качестве новых независимых переменных ввести величины г=х+-гу, г=х — гу и считать Ф' и г' функциями от г и г. Заметив, что (6.12) — = — (д — — (-д-;), = -= --( — +Š— ), (6.!3) д 1 д . д д 1 д . д перепипеем уравнение (6.!2) в виде гг (6. 14) Пусть теперь К обозначает оператор, который преооразует аналитическую функцию д (г, г), определенную в окрестности точки г = г = О, в функцию г г ~ дг(г, )е(гг( . о о сг(г, г)=ТГ== Г+ Й!р -~УЛУГ+ Этот ряд будет сходиться в некоторой окрестности точки г=- г =.

О, и непосредственно видно, что 4 Л Веог Другими словами, К преобразует двойной степенной ряд ~~' а„гнгж (и, т= О, 1, ...) в степенной ряд~,(а„~гн~'гм '/ /!(и +1)(лг-(-1))) Пусть Г(г, ) будет комплекснозпачная гармоническая функция от х и у, определенная в окрестгюсти начала координат; это означает, что Г(г, г) =7(г) -г— — ~-д(г), где функции )' и д' аналптические, Положим 50 Гл. 1. Уравнении потенциального тгпгния газа Следовательно, оператор Т преобразует прокзвольную гармоническую функцию В(г, г) в некоторое решение (6.14).

Конечно, это решение может быть комплексновначным, но мы получим вещественное решение, просто взяв его вещественную или мнимую часть. Решения с особенностями. Оператор Т можно также использовать для получения так называемого фундаментального решения (6.!4).

Положим А(2, г)=Т1. Эта функция А является решением (6.!4) и имеет разложение А= — 1+гг~~'.,аимг"г . Следовательно, функция А" А, является регулярной аналитической при г = г = О. Теперь положим В(г, г)= ТРА и 'йт = — А 1п (гг) + В. Эта функция Ю(г, г) имеет вещественные значения для сопряженных г и г, т. е.

для вещественных х и у, имеет логарифмическую особенность в начале координат и является решением уравнения (6.14). Следовательно, она является фундаментальным решением этого уравнения. В предыдун!ем построении мы могли бы интегрировать от переменной точки го=хо+!у,, г =--хо — 1уо вместо начала координат, что дало бы фундаментальное решение (6,14) с особенностью в (хо, уо), аналитически зависящее от (хо, уо).

Дифференцируя это решение по хо или уо, получим решение уравнения (6.14), имеющее полюс первого порядка в (хо, уо); повторное дифференцирование приводит к особенностям высших порядков. Этот метод получения фундаменгального решения является классическим и восходит к Гильберту. Он был использован Бергманом !4) для получения особенностей в решениях уравнения годографа, соответствующих бесконечно удаленной точке в случае обтекания тела, Для этого описанный метод Э" Г> Частные решения уравнений гооографа 51 применяется к уравнениям (3,!9) и (3,20). Получив фундаментальное решение одного из этих уравнений, вычисляют решение другого с помощью (3.!8) и (3.3).

Это решение, сопряженное к фундаментальному, является многозначным и ведет себя как арктангенс. Этот же метод доставляет многозначные решения с логарифмическими и более высокими особенностями. Действительно, рассмотрим' уравнение — из((г)н-1т ((а Сн).т где и — целое положительное число.

Если Х(ч, С) есть какое-нибудь решение этого уравнения, скажем фундаментальное решение, то 1Р'(з, з)==Х(з"", зй") будет многозначным решением уравнения (6.14). Это замечание (см. Ладфорд [1) ) важно ввиду того, что годограф обтекания тела может быть многолистным. Интегральные операторы Бергмана.

Определенный выше оператор Т служит примером интегрального оператора, преобразующего аналитические функции комплексного переменного х+1у или гармонические функции от х и у з решения эллиптического уравнения (6.12). Общзя теория таких операторов была развита Бергманом в ряде работ и независимо от него Векуа [1, 4). Возможность построения таких операторов вытекает из того, что в случае аналитических коэффициентов эллиптическое уравнение можно записать в формально гиперболическом виде, см. (6.!2) и (6.14) Операторы, испольвозанные Бергманом [! — 7], имеют ряд преимуществ перед простейшим оператором Т. Они были применены к газодинамическим задачам Бергманом и его последователями.

Полное описание этой теории здесь дать невозможно; детальное изяожение с полной библиографией было недавно дано Кшизоблоцким [!), Читатель может также для первого знакомства посмотреть упрощенное изложение Ыизеса и Шиффера [![ и заметку Хенричи [1[. вОм. также Диас и Ладфорд [3, 4) '". гЛава Математические основы теории дозвуковоГо течения 5 7. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Математической основой изучения дозвуковых потенциальных течений является теория линейных и квааилинейных дифференциальных уравнений эллиптического типа. Эга теория представляет собой, конечно, хорошо развитый отдел математического анализа и прз формулировании основных реаультатов, таких, как теория линейных краевых задач, мы ссылаемся на учебники и монографии, в частности на книги Курапта и Гильберта(1), Петровского 121 и недавно появившуюся книгу Миранда (1).

Однако в этом и следующих параграфах мы дадим набросок некоторых характерных свойств, особо выделяя более современные достижения, относящиеся к потребностям гааовой динамики н частично порожденные этими потребностями. Мы начинаем с некоторых свойств эллиптических уравнений, не ограничиваясь случаем двух переменных.

Гладкость решений. Линейный дифференциальный оператор второго порядка ~~вы(хп '''' х") д д т:„~л ( ) д,.+с( )Р дх;дхь ' '1 ' ''' дх; (7.1 ) называется эллиптическим, если матрица (а, ) является положительно определенной, н называется равномерно эллиптическим, если коэффициенты а,„ равномерно ограничены и ~~'., аг„(...)1Л ) сопз1 ~)ч. (7. 2) Как уже упоминалось выше, решения эллиптического уравнения (.7= О (7.З) В 7 Зяяиагинееиие уравнения являются настолько гладкими, насколько это позволяет им само уравнение. Точнее, согласно классическим реаультатам (Хопф [2[), если коэффициенты агн, Ьр с удовлетворяют условию Гальдера (илн имеют производные до порядка й, удовлетворяющие условию Гйльдера), то решение имеет вторые производные, удовлетворяющие условию Гальдера (производные до порядка )з +2, удовлетворяющие условию Гйльдеря).

Напомним, что функция 7 называется удовлетворяющей условию Гельдера с постоянной К и показателем и, О < и < 1, если [ У (Р) — 7 Я) [ < КРО'. Роль условия Гйльдера существенна. Например, если коэффициенты непрерывны, но не непрерывны по Гельдеру, то дважды непрерывно дифференцируемые решения пе обязаны существовать.

Во многих случаях требуется рассматривать уравнения с разрывными коэффициентами. Тогда от решения обычно требуется наличие первых производных, в свою очередь имеющих обобщенные производные в смысле (Относительно обобщенных производных см. Соболев [![, фридрихс [1[, Смирнов [![.) Если коэффициенты в (7.!) вещественные аналитнческие, то это же верно для всех решений.

Аналогичные результаты справедливы для квазилннейных уравнениИ, т. е. для уравнений вида (7 3), в которых коэффициенты оператора (7.1) зависят также и от искомой функции и ее первых производных. Наиболее сильные результаты в этом направлении можно найти в статье Ниренберга [1[. Единственность. Другим характерным свойством эллиптических уравнений (7.3) является квазнаналитический характер их ре1нений. Под этим мы понимаем общее с аналитическими функциями свойство единственности решений.

Точнее, если каьое-нибудь решение з некоторой точке, например в начале координат, обращается в нуль бесконечного порядка, т. е. если ~у(хп ..., х„)=0 ~(хек+ ... +х-'„) / (Аг=!, 2...,), то это решение тождественно равно нулю. Отсюда такгкс следует, что если задача Коши для уравнения (7.3) вообще разрешима, то она имеет единственное решение. Доказательство теоремы единственности было дано в двумерном случае Карлеманом [1) в 1933 г.

Хотя доказательство 54 Гл П. Основы теории доэвукового теченил Карлемана требует определенной гладкости коэффициентов, этот результат может быть получен другим методом для наиболее общего случая равномерно эллиптических уравнений с ограниченными измеримыми коэффициентами (Морри [1], Берс и Ниренберг [2]). В случае большего числа измерений теорема единственности была доказана только совсем недавно ечроншайном [1] (другое доказательство было дано Кордесом [2]; Ландис [1[ и Педерсон [1] показали теорему единственности для задачи Коши). Во всех этих результатах требуется, чтобы коэффициенты в (7.!) были некоторое число раз дифференцируемы.