Берс (Берс Л., 1961 - Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики), страница 11

1гезультат гласит: течение сжимаемой жидкости вокруг профиля топологически эквивалентно некоторому течению несжимаемой гкидкости вокруг округкности ,'с~ =- 1. Как хорошо известно, последнее дается комплексным потенциалом где д > О есть скорость в бесконечности, а Г- циркуляция. В соответствие с тем, будет лп (1'1'2тд ) : 1, =. 1, ) 1, имеется одна разделяюгцая линия тока, или линия тока с точкой возврата на окружности, или одна самопересекающаяся линия тока (рис.

8.1). Согласно нашему результату, одна из этих трех возможностей должна иметь место и в течении сжимаемой жидкости. Следует отметить, что эти результаты получены при единственном предположении, что плотность ограничена сверху Э у Леевдоинанитииеекие функции и снизу положительными числами. В частности, они применимы как к дозвуковым, так и к околозвуковым течениям. Однако их справедливость может быть нарушена в случае присутствия слабых скачков. 5 9. ПСЕВДОАНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В теории квазиконформных функций используется только дифференциальное неравенство, вытекающее из эллиптической системы вида (8.5). Если принять во внимание все, что дают дифференциальные уравнения (8.5), то можно с каждой такой системой связать теорию комплекснозначных функций, развиваемую параллельно классической теории функций, связанной с уравнениями Коши — !'имана. С достаточной общностью эта теория была сформулирована Берсом [8[. Для полноты картины, в частности для ссылок на работы других авторов (Положив, Векуа [2) и другие), мы отсылаем к работам Берса [!3, !9!.

Теория возникла из газодинамических рассмотрений. Однако для читателя, по-видимому, будет удобнее, если мы сформулируем основные определения в общем случае. Псевдоаналитические функции. Мы будем писать систему (8.5) в каноническом виде цк=т(х, уН„+о(х, у)Ф„, ~у„= — о(х, у)фк-[ — (х, у)Ф„, (9.!) где о ) О.

Любая линейная эллиптическая система (8.5) может быть приведена к этому виду посредством введения таких новых независимых переменных с, т[, что С +юц = ((г) есть некоторый гомеоморфизм, конформный по отношению к метрике а ге(хя — (ам+а )е(хе(у+аз,е(уа. Следовательно (см. теоремы 1 и 2 из 9 8), это мои<но сделать, если только коэффициенты уравнений непрерывны по Гйльдеру. Пусть Г (г) и 6 (г) — две комплекснозначные, непрерывные по Гальдеру функции, такие, что 6/Р = — к+!о. 5 Л Вере 66 Гл П.

Основы теории дозвукового течения Мы называем (Р, 6) производящей парой, принадлежащей системе (9,1). Заметим, что любая пара непрерывных по Гвльдеру функций (Р, 6), такая, что 1ш(Р6) ) О, является производящей парой, принадлежащей некоторой системе (9.1). Удобно рассматривать не только комплекснозначное решение й(в) =о+(ф системы (9.1), но также функцию '~ = Ф'(з) = о (з) ~ (з) + Ф (в) 6 (з) (9 2) Еистема (9.1) может быть записана в виде у,-Г+;,-6 = О. (9.3) Если это уравнение выполняется, то йт мы называем (го, 6)- псевдоапалитической функцией первого рода, а Я называем (с', 6)-псевдоаналитической функцией второго рода.

(е, 6)-производная от псевлоаналитической функции (9.2) определяется формулой 1ъ=о Р+ф 6. (9.4) Примеры. Рассмотрим линейные уравнения (8.1), описывающие течение с переменной плотностью. Положим Г=1, 6=1/р. Эта концепция порождзет много бояьшее, нежели просто формальное сходство с комплексной производной, используемой в теории функций. Прежде всего, Ф' может быть определена как предел комплексного „разностного отношения", объяснение деталей которого мы опустим.

Во-вторых, и это наиболее важно,(то, 6)-дифференцирование переводит псевдо- аналитические функции в псевдоаналитические функции. Точнее, основная теорема о псевдоаналитических функциях утверждает, что для каждой производящей пары (Г, 6) существует другая производящая пара (Р,, 6,), такая, что (Р, 6)-производная от любой (р", 6)-псевдоаналитической функции является (Рн 6,)-псевдоаналитической, и обратно. Пара (Рп 6,) называется преемником пары (Г, 6).

Можно показать, что любая производящая пара является преемником некоторой другой. Зная (Г, 6)-производную Ж', можно восстановить функцию й с помощью не зависящего от пути криволинейного интеграла 2т 'йт вг ра — Ра 2 Е6 — ж ' З 9 Псевдоаналигические финкяии ,модифицированный комплексный потенциал" ж'=.7+(11р) ф является (1, йр)-псевдоаналитпческой функцией первого родэ. Его (1, гф)-производная есть т. е.

комплексная скорость. В качестве другого примера рассмотрим производящую пзру вида е =1, О=)а(у). Если в=в+гф есть (е, 6)- псевдоаналитическая функция второго рода, то она удовлетворяет системе (6.7) с с, = — ся — — в. В этом случае (е, 0)-дифференцирование есть просто дифференцирование по х, а (г., 0)-интегрирование эквивалентно сигма-интегрированию, определенному в й 6.

Поэтому эта пара (Г, 6) является своим собственным преемником, или, как мы говорим, имеет период 1. Аналогичными элементарнымн средствами можно изучить (е, 0)-функции для производящих пар вида е = — 1, 0 =— .=в(у) з(х); см. Берс и Гельбарт (1, 2~, В этом случае преемником (е, 0) будет Р, = 1, 01 — а(у)(в(х), так что преемник преемника совпадает с (Р, 0), Мы говорим, что эта производящая пара имеет период 2.

Проттер 12~ показал, что существуют производящие пары с произвольными периодами и что, вообще говоря, производящая пара не обладает никаким периодом. Отправляясь от данного определения (7е, 6)-дифференцирования и интегрирования, можно построить теорию, сохраняющую все характерные черты теории аналитических функций. В частности, эта теория содержит важные аналоги таких конструкций, как интеграл Коши, „формальные" степени (содержащие описанные в й 6 формальные степени как частный случай), разложения Тейлора и Лорана и т.

д Это развитие мы здесь не будем обсуждать, а опишем только центральный результат, нашедший много приложений в залачах газовой динамики. Другое определение. Начиная с этого места булем предполагать, что производящие пары (В, 0) являются дифференцируемыми функциями (нх производные либо непрерывны по Гельдеру, либо являются обобщенными производными, локально интегрируемыми с некоторой степенью р ) 2). С на- Гя.

П. Основы теории дозвукового течения рой (В, ст) мы связываем комвлекснозначные функции а, Ь, А, В, определяемые уравнениями В, -— а — ЬР = О, О-, — аΠ— Ю = О. (9.6) Вя — А — ВГ = О, Стя — АΠ— Вй = О. (9.7) Легкое вычисление показывает, что (В, 0)-псевдоаналитические функции нт характеризуются уравнением М7- — аЮ" — Ь11т = О (9.8) и что (Г, 6)-производная от йт равна пт = Ф = Ф; — АЮ вЂ” ВФ. (9.9) Согласно общей теории, мы можем ожидать, что тв удовлетворяет некоторому уравнению, аналогичному (9.8).

И, действительно, легко видеть, что тв- — ачв +Втв= О. г Уравнение (9.8) можно использовать для определения псевдоаналитических функций. Заметим, что если с есть какое-нибудь решение эллиптического уравнения вида т„-г-~ +а(х, у)~р„+~(х, у)~,=О, (9.11) то комплексный градиент тв= чㄠ— рсз удовлетворяет (9.8) с а=-Ь= — (а+118)/4. В частности, если гс есть потенциал скорости некоторого течения с переменной плотностью и если предположить, что плотность р дифференцируема, то р удовлетворяет (9.11) при а=у„/р, р = — р /р, а комплексная скорость пг удовлетворяет (9 8) при а=Ь=(1пр)-12.

В общем случае можно также показать, что каждое решение уравнения (9.11) является вещественной частью некоторой псевдоаналитической функции второго рода с надлежащим образом выбранной производящей парой. Так как любое линейное эллиптическое уравнение с достаточно гладкими коэффициентами может быть приведено к виду (9,11), то теоремы о псевдоаналитическнх функциях применимы ко всем таким уравнениям, 69 Э У Пеевдааналигичеекие функции Тринцип подобия. Теперь мы установим результат, опипощий структуру решений уравнения (9.8). Эта теорема, ~ваемая принципом подобия, относится к решениям, опренным в области у.

Коэффициенты а и Ь должны удоворять определенным ограничениям слабого роста. Если ограничена, то достаточно предположить, что а и Ь огра:ны. Если ~ не ограничена, то достаточно предположить, а и Ь обращаются в бесконечности в нуль порядка больо единицы. Допустимо также, чтобы а и Ь стремилясь есконечности порядка меньшего единицы вдоль опредечых гладких линий. Более слабые условия, при которых азедлив принцип подобия, можно найти в диссертации ~окского (1). Принцип подобия утверждает, что каждое решение уравия (9.8) может быть записано в виде (9.1 2) %'(Е) = Епе1,/ (г), у (г) — некоторая аналитическая функция, а г(л) непре~ва по Глльдеру в замыкании ~ и ограничена, причем эта ница н условие Гельдера зависят только от области и ффициентов а и Ь. Обратно, какова бы ни была аналитическая функция г(г), гда существует решение уравнения (9.8), имекщее вид(9.!2).