Берс (Берс Л., 1961 - Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики), страница 12

Г!ерзая часть этой теоремы может быть доказана про~м указанием функции г, а именно я доказательства второй части требуется решить некото. *интегральное уравнение. Если граница Я содержит некоторую достаточно гладкую эстую замкнутую кривую Я, то высказанные утверждения аются верными, если потребовать, чтобы функция з была цественна на 18 и обращалась в нуль в некоторой задан- точке ьт Полное доказательство принципа подобия жно найти в работе Берса (14). Принцип подобия, помимо всего прочего, показывает, что евдоаналитическая функция%', т.

е. решение уравнения (9 8), жет обращаться в нуль только в изолированных точках, пи она не есть тождественный нуль (теорема Карлемана). то Гл УА Основа> теории дозвукового течения Он показывает также, что в точках, где %' имеет нуль или изолированную особенность, ее поведение такое же, как и у аналитической функции в нуле или особой точке В то >ке время из принципа подобна следует су>цествование псевдоаналнтических функций с заданными нулями и особенностями. Течение вокруг профиля.

В качестве другого приложения рассмотрим задачу об определении потенциального течения с данной переменной плотностью р вокруг некоторого профиля тхв. Мы предположим, что профиль гладкий, за возможным исключением задней кромки, и что плотность р такова, что принцип подобия применим к комплексной скорости з„ вЂ” Со = ю. Нетрудно заключить, что если р есть потенциал искомого течения, то комплексная скорость подобна комплексноМ скорости тов течения несжимаемой жидкости вокруг того же самого профиля, т. е. тв = влас>, причем з вещественна на тгв.

Это приводит к более точному описанию характера течения сжимаемоЛ жидкости, чем то, которое вытекает из теоремы представления для квазиконформных отображений (см. й 8) С другой стороны, для данного течения несжимаемой жидкости вокруг тг' должно существовать течение сжимаемой жидкости с заданноЗ плотностью р = р(х, у), такое, что его комплексная скорость и> подобна комплексной скорости то этого течения несжимаемой жидкости. Множитель пропорциональности в' может быть выбран вещественным и положительным на тг . Это приволит к теореме сусцествования и единственности для течений с переменной плотностью, которая звучит в точности так же, как и соответствующий результат для течения несжимаемой жидкости.

(Подробный вывод этого результата можно найти в работе Берса [16).) й 10. ЗАМЕЧАНИЯ О КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЯХ Уравнение для потенциала течения газа имеет вид Л(и, и) ср„„+2В(и, о)р + С(и, и) рз, =-О, (10.1) где сс .=-:р„, В этом параграфе мы сделаем несколько замечаний, касающихся общей теории таких квазилинейных уравнений. э' 10 Замечания в квазилинейнвгх уравнениях 71 Законы сохранения. Сначала заметим, что уравнение вида (10.1) часто может быть получено из вариационной задачи, заключающейся в минимизации интеграла ~ Г(и, о)г(хе(у (и=~а», о=в„).

(10,2) Действительно, уравнение Эйлера — Лагранжа для этой вариационной задачи имеет вид д дг д дг" - — — — + — — = — 0 дх ди ду дв н, следовательно, совпадает с (10.1) при Л = — Рви, В = г'„„ С=В„,. В часгностн, уравнение для поченцнала (2.14) пояучается из вариационной задачи (10.2), если функция Р(и, о) определена формулой и- '~ ы г'( ) = ~ Р[[' г)ггг. о Точно так же и уравнение, которому удовлетворяет функция тока дозвукового течения, может рассматриваться как уравнение Эйлера — Лагранжа некоторой вариационной задачи.

В самом деле, это уравнение длч функции тока имеет внд дх ( Ф") + д ( ° "г) а в дозвуковой области 1/р есть известная функция от и =[ф'.+ ф',)" Стоит отметить (Берс [12[), что любое квазилинейное эллиптическое уравнение (10.1) может быть записано в виде „закона сохранения" дЛ, (т», т„) ддя(р тт) + 0 с надлежаще выбранными функциями Л,(н, в), иьт(и, о). То обстоятельство, что уравнения газовой динамики имеют характер закона сохранения, послужило отправным пунктом в теории Лавнера [3[ законов сохранения. В этой теории Левнер вводит некоторый класс отображений, которые, как н квазиконформные отображения, характеризуются дифферен- Гл П.

Основы теории дозвукового течения циальными и разностными неравенствами второго порядка. К сожалению, здесь невозможно дать изложение этой очень интересной работы. Поэтому мы ограничимся тем, что отошлем читателя к оригинальной статье. Некоторые поразительные неравенства для дозвуковых течений, следуюгцие из теории Левнера, будут обсуждаться позже. Уравнения в вариациях.

Так как уравнение (10.1) нелинейно, то разность ос=о — со двух его решений ~, ср уже не будет решением этого уравнения. Однако она будет решением вполне определенного линейного дифференциального уравнения, а именно уравнения Ап (ссох Чсу) от»»+ 2В(срх 'ту) соху+ + С (срх, ру) соуу+ асях + Ьсоу = 0 (10 4) где а =- с, „ / А„ ((1 — )) сох+ )»ох, ( 1 — )с) с!с + Х~„] г0, + о 1 1 + 2р„~ ~ В„(...)г0-+чс ~ С„(...)Ж и аналогично определяется Ь.

Отметим, что обычный вывод этого уравнения предполагает определенную гладкость коэффициентов А, В и С. Уравнение (10.4) для разности со имеет тот же самый тип, что и уравнение (10.1) для „первого" решения с!с. Большинство доказательств единственности решения краевых задач для квазилянейных уравнений основано на этом простом замечании.

Например, если для первого решения уравнение (10.1) эллнптично, то разность со будет удовлетворять принципу максимума. Отсюда следует, что задача )лирихле для квазилинейного уравнения (10.1) может иметь не более одного эллиптического решения. Часто бывает полезно рассматривать разность и двух „бесконечно близких" решений. В этом случае со приближенно удовлетворяет линейному уравнению "1 (Рх 'Ру) сох» + 2В(ссох 9у) "1»у+ Сг~», ссчу) соуу+ +(А (...)р „+2В„(...)ср„у+С (...)~уу) со =О, (105) 10 Замечания а квавияинейных уравнениях ЧЗ которое называется уравнением в вариациях, ассоциирояанным с решением ~у уравнения (10.1).

Точный смысл уравнения в вариациях состоит в следующем. Предположим, что мы можем включить данное решение т в некоторое семейство решений уравнения (10.1), зависящее от параметра в, так, чтобы а=у(в; х, у) была дифференцнруемой функцией трех своих аргументов и чтобы и(0; х, у) =и(х, у). В этом случае, как это немедленно проверяется, ы=(д~/дв), удовлетворяет уравнению в вариациях. Если у является решением некоторой краевой задачи и если уравнение в вариациях при соответствующих однородных краевых условиях имеет решением только м = О, то говорят, что ~в является инфинитезимально единственным решением этой краевой задачи. Теперь мы кратко опишем различные методы доказательства теорем существования решений краевых вадач для квази- линейных уравнений.

На практике эти методы применимы только в эллиптическом случае. Прямой метод вариационного исчисления. Если уравнение возникло из вариационного принципа, то теоремы существования иногда могут быть доказаны при помощи так называемого прямого метода вариационного исчисления. Пусть А обозначает некоторый класс функций, удовлетворяющих требуемым краевым условиям. Для решения уравнения пытаются найти среди всех таких функций ту, которая минимизирует интеграл (10.2). Таким образом, имеются в сущности две задачи: доказательство существования минимизирующей функции и доказательство того, что эта минимизирующая функция обладает достаточной гладкостью для того, чтобы ее можно было считать решением уравнения Эйлера — Лагранжа (!0.1). При решении первой задачи класс А должен быть достаточно широк.

Например, если в минимизируемом интеграле не встречаются производные второго порядка, то не следует ограничивать класс А дважды дифференцируемыми функциями. Если А содержит достаточно много функций, то существование минимизирующей функции часто может быть доказано для строго регулярной вариационной задачи (т. е. для равномерно эллиптического уравнения Эйлера — Лагранжа) и при определенных дополнительных предположениях также для регуляр- 74 Гл гд Основы теории доввуеового течения ной вариационной задачи (т. е. для эллиптического уравнения Эйлера — Лагранжа).

Методы установления регулярности минимизирующей функции, т. е, того факта, что минимизирующая функция является решением дифференциального уравнения, были даны различными авторами. Превосходный обзор всей этой области можно найти в статье Сигалова [1[; см.

также основные статьи Морри [2], Шнффмана [1] и Ниренберга ]1]. Решения как неподвижные точки. Независимо от предположения о том, является ли уравнение (10.1) уравнением Эйлера — -Лагранжа некоторой вариационной задачи„отыскание решения некоторой краевой задачи можно интерпретировать как отыскание неподвижной точки определенного преобразования в функциональном пространстве. Точнее, мы предположим, что если в коэффициенты А, В, С урзвнения (10.1) подставить производные некоторой известной функции <Р(х, у), принадлежащей определенному классу В, то рассматриваемая краевая задача может быть решена единственным образом для полученного линейного уравнения '1 (чх фу) 'Рхх+ 2В(фх Фу) уху + С (фх фу) 'Руу и что это решение р прйнадлежит В.

Напишем р=-ТФ, тогда Т есть отображение В в себя, а функция р будет решением краевой задачи для квазилинейного уравнения тогда и только тогда, когда она является неподвижной точкой этого преобразования, т. е. когда р =- Т р. (10.7) Обычно предполагается, что класс В допустимых функций есть вещественное пространство Банзха. Это означает, что линейная комбинация с вещественными постоянными коэффициентами йр,-] — )чеЭ любых двух функций из В принадлежит В и что с каждой функцией р из В сопоставлено неотрицательное число []р][, называемое нормой функции, такое, что ]]р]] = 0 тогда и только тогда, когда р = О, ]])гр]].=]) ] ° ]]:р[] для любой постоянной ). и []~р, + ря]]( ~~]]рт]] +-]]рт]].