Берс (Берс Л., 1961 - Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики)

Л. БЕРС МАТЕМАТИЧЕСНИЕ ВОПРОСЫ ДОЗ ВУНОВОЙ И ОНОЛОЗВУНОВОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИНИ Перевод с английского Л В ОВСЯННИКОВА Под редакцией А. В. БИЦА ЯЗВ Излательство ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЪ| Москва 1рб1 ажно глггия Книга Л, Берса представляет собой третий том серии обзоров по прикладной математике, которая стала недавно выходить в США. Автор вводит читателя в современное состояние математических задач, тесно связанных с задачами газовой динамики и представляющих большой интерес как в теоретическом, так и в прикладном отношении. Несмотря на то, что доказательства в книге, как правило, отсутствуют, читатель может получить представление не только о результатах, но и о применяемых методах.

Значительный интерес представляют поставленные автором проблемы, еще не нашедшие своего решения. Книга снабжена обширной библиографией. Книга будет полезна всем математикам, механикам, физикам и инженерам, интересующимся задачами газовой динамики и связанными с ними задачами теории уравнений с частными производными. Редакция литературы по математическим наукам по с В ящлю мовмг огпу ПРЗДИСЛОВИ3 АВТОРА К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ Я очень рад, что моя монография о некоторых иатематическнх задачах газовой динамики появляется в русском переводе. Я благодарен переводчику н редактору, а также и тем коллегам, которые указали ошибки и опечатки, допущенные в английском издании.

Когда рукопись была закончена, я имел смелость надеяться, что она представляет собой достаточно полный обзор состояния теории в тех узких пределах, которые были намечены. Сегодня этот обзор по необходимости несколько устарел. Я упомяну только о трех вопросах, которые непременно следовало бы включить в случае пересмотра текста. Это прежде всего результаты Де-Джордяки [1] и Наша [1), которым удалось существенно проникнуть в теорию квази- линейных уравнений многих переменных, з также недавнее упрощение доказательства, предложенное Мозером [1). Затем необходимо было бы отразить большую работу, проделанную по численным расчетам течения за сильным отсоединенным скачком [в частности, методы Дородницына [1,2), Гарабедяна [1), Рихтмайера [1) и Ван Дайка [1,2)), и, наконец, данное Жерменом описание течения вблизи пересечения скачка с звуковой линией (решающее задачу, поставленную на стр.

134 — 136). С другой стороны, можно отметить, что большая часть задач, сформулированных в этой книге, все еще остается нерешенной, Лииман Берс 30 мая 196)) г. в 1. ВВЕДЕНИЕ Этот обзор теории дозвуковых и околозвуковых течений газа написан с точки зрения математика. Эта точка зрения и личные интересы автора окавали большое влияние на выбор материала. Мы рассмотрим лишь весьма ограниченн ую часть теории течения сжимаемой жидкости — двумерные установившиеся потенциальные течения — и ограничимся проблемами, которые изложены в литературе с определенной степенью математической строгости; в силу этого отдельные важные вопросы останутся незатронутыми.

Более того, ограниченность объема не позволяет привести детальные доказательства и заставляет исключить некоторые рассуждения, включающие сложные манипуляции со специальными функциями. Мы попытаемся, однако, ясно выделить основные используемые идеи и описать новые математические концепции н методы, которые возникают в связи с этими главами динамики жидкости. Гл. 1 содержит общие соображения, относящиеся к уравнению для потенциала течения сжимаемого газа, к различным видоизменениям и приближенным формам этого уравнения, а также к методам получения частных решений.

Все это известно тем, кто работает в области динамики жидкости, и может представить интерес для математиков, собирающихся работать в этой области. Гл. !! и !1! посвящены чисто дозвуковым течениям. Б настоящее время аэродинамики не очень сильно ааннтересозаны в этом предмете, так как лаже грубо приближенные теории достаточны для истолкования н предсказания опытных фактов. Перед математиком, однако, теория дозву- з 1 Введение кового течения выдвигает много трудных и пнтересных проблем, положивших начало или позволивших развить различные направления математического исследования, как-то: уточнения классического принципа максимума, применения квазиконформных отображений, интегральные операторы Бергмана, теория Левнера законов сохранения, псевдоаналитическке функции и т. д.

Краткий обзор некоторых из этих направлений дан в гл. !1, а в гл. П! методы гл. П применены к ряду специальных проблем дозвукового течения. Околозвуковые течения описываются уравнениями с частными производными смешанного, эллиптико-гиперболического типа Начало теории таких уравнений было положено Трикоми еще з !923 г., а ее интенсивное развитие за последнее время явилось откликом нз потребности аэродинамики больших скоростей. Обзор этой теории, включзющнй некогорые еще не опубликованные реаультаты, дан в гл.

1Ч. В гл. Ч даны применения к специальным проблемам околозвукового течения. Приложение содержит некоторые аамечания, относящиеся к численным методам. Этот краткий перечень показывает, что мы делаем ударение скорее на математических методах, нежели на физических проблемах как таковых, и что мы подчеркиваем не только использование математики в динамике жидкости, но также „применения" последней как источника математических проблем и концепций. Поэтому наш обзор весьма мало перекрывается с различными недавними публикациями на ту же тему, написанными с физической точки зрения (например, упомянутыми Сирсом [3]).

Особое внимание будет уделено вопросам существования и единственности решений задач о дозвуковых и околозвуковых течениях (относительно сверхзвукового течения см. Фридрихс [4]). Такие вопросы едва лн когда-нибудь возникают в той части прикладной математики, где преобладают линейные задачи определенного типа, для которых существование и единственность давно известны.

Но течение сжимаемой жидкости есть нелинейное явление, и оно приводит к уравнениям смешанного типа, где основные вопросы о существовании и единственности получают ответ только теперь. В действительности мы являемся участниками своеоб- й ! Введение разной удивительной полемики по этому поводу — почти неслыханная вещь в современной математике В связи с этими проблемами Карман [51 писал: „Я уверен, что математик может точно доказать существование и единственность решений в случаях, когда для физика или инженера ответ очевиден из фиаических соображений. С другой стороны, если имеются действительно серьезные сомнения насчет ответа, от математика бывает мало пользы'.

Справелливость этого аамечания Кармана забавным образом подтверждается. Следует помнить, конечно, что дифференциальные уравнения описывают сильно идеализированные модели физической действительности. Поэтому теорема существования и единственности может быть очевидна из физических соображений только в предположении, что модель достаточно точна. Строгое доказательство является тем самым косвенной проверкой модели. В этом заключается содержание математического требования: дать „очевидному" результату далеко не очевидное подтверждение.

Вдобавок математик мог бы возразить на замечание Кармана, сказав, что если он догадывается о корректной постановке задачи для данного дифференциального уравнения, то он в состоянии и строго проверить свою догадку, в то время как физик только твердит ему, что он всегда знает ответ. Но когда математик сталкивается с уравнением, для которого правильные краевые условия еще надо найти, то от физической интуиции физика ему мало пользы.

Каждая из жалоб не вполне справедлива. Математическое и физическое понимание проблемы часто идут рука об руку. Рассуждениями математика часто руководит физическое воображение, а так называемые физические соображения опираются, сознательно или нет, на очень хорошо понятые и, следовательно, хорошо знакомые математические законы. Поэтому не удивительно, что иногда математики и физики встречают затруднения в одном и том же месте. Проблемы околозвукового течения представляются нам примером такого рода. Эти проблемы, будучи по общему признанию трудными, заслуживают вместе с тем весьма серьезного внимания и представляются нам проблеском давно ушедшего золотого века единства науки.

В самом деле, интересующиеся ими физики д д Введение требуют строгих математических доказательств, а занимающиеся ими математики нуждаются в руководстве со стороны результатов экспериментов. Замечание. Рукопись этого обзора была закончена в сентябре 1956 г„ввиду чего не было возможности, вообще говоря, включить многие последние результаты. Несколько дополнительных замечаний и ссылок, добавленных позднее, отмечены звевдочками. глава Дифференциальные уравнения потенциального течения газа 5 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ Мы кратко повторим вывод уравнения для потенциала течения сжимаемой жидкости.

Ьолее детальное описание можно найти во многих книгах (см., например, Курант и фридрихс 11) ). Основные уравнения. Течение совершенной жидкости описывается з так называемом эйлеровом представлении заданием плотности р и компонентов скорости и,, им из как функцкй декартовых координат х,, хм ха и времени Полное описание требует также знания двух других термодинамических величин, скажем лавления р и температуры или давления и энтропии.

Однако мы имеем дело с алиабатическим и изэнтропическнм течением. В этом случае давление есть известная функция плотности. Для идеального газа (2.1) р = сопз1 р1, где Т ) 1 †постоянн (отношение удельных теплоемкостей). Стандартное значение Т для воздуха равно 1,4.

Нам будет улобно не ограничиваться этим соотношением между давлением и плотностью, а рассматривать также общий случай баротропной жидкости, т. е. жидкости, в которой (2.2) р=р(р), где Р (Р) — некоторая достаточно гладкая воврастающая функция. Гл ~'. Ураонения аогенциалоного гонения газа Компоненты скорости н плотность связаны уравнением неразрывности, выражающим закон сохранения массы, (2.3) С другой стороны, компоненты скорости должны удовлетворять эйлеровым уравнениям движения, являющимся выражением второго закона Ньютона. Если пренебречь массовыми силами, в частности тяжестью, то эти уравнения имеют вид з Пг +~~~~~а,-~ — '+ — ~ — — 0 ((=1, 2, 3) (2е4) у=! "т Заметим, что с помощью соотношения (2.2) давление может быть исключено из уравнений Эйлера. Уравнения движения и уравнение неразрывности удовлетворяют принципу относительности классической механики, т.