Сиберт.У.М том1 (Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы), страница 52

о Если й (1) каузально, то Ь (1 — т) = 0 при т > 1 и мы можем заменить верхний предел оо в интеграле суперпозиции ') на ! без каких-либо последствий. Для объяснения нижнего предела запишем У(1) = ~х(н))т(1 — т) е(т = ( х(3)й(7 — т)»(т 1 ( х( ) ь (1 ),1 Второй интеграл является ранее исследованной РНС-реакцией при 1 > 0 на входное воздействие х (1) при 7 > О, если входное воздействие (и, следовательно, состояние были нулевыми при ») Более формалыюе оцределение каузальности дано и упражнении 10.3. ») Каузальный, т. е. цричициый.

— Прим, ред. ') Интеграл суяерцозиции иногда называется «интегралом наложения», так как описывает суммироианяе мгноаеиных значений сигнала х (т) с весом Ь (! — т), см., например, И. С. Голароеекий, Радиотехнические цепи и сигналы, М., Радио и связь, 1986, гл. 6, 5 6.3, с. !77. — Прим, ред. 10.3. Каузальность и устойчиаость 317 1 < 0). Первый интеграл, таким образом, представляет собой Р1!В-реакцию при ! > 0 на состояние, определяемое входными воздеиствиями при 1( О. Действительно, если Й (1) есть сумма экспонент Й(1) = 2а а;е ' и(1) (что соответствует случаю конечной Я(.С-цепи, если характеристическое уравнение не содержит кратных корней), то сразу имеем, о Г о — ч» .!!»!~- !« =~ [1 !ч '"»~ "' — » что представляет собой сумму членов с собственными частотами, амплитуды которых определяются предшествующими входными воздействиями, находящими отражение в состоянии в момент 1 =- О, точно так же, как при рассмотрении в частотной области в гл.

3. Для аспространения методов анализа в частотной области вгл..'ляр р на некаузальные системы нужен подход, отличающийся о д стороннего преобразования Лапласа, рассматривавшегося в гл, 2, Таким подходом мы начнем заниматься в гл. 12. В некоторых случаях каузальность можно связать с другим фундаментальным свойством системы. Про систему говорят, что она пассивна, если при любых возможных условиях возбуждения поглощенная ею за все предшествующее время энергия положительна ').

Интересно заметить, что пассивная линейная цепь ',. В сл чае должна быть каузальной, что мы сейчас и покажем,, у двухполюсной электрической цепи энергия, поглощенная до момента времени 1 выражается как ~ и (т) ! (т) е(т'1, где в (1) и 1 (1) — напряжение и ток на ее зажимах; если система пассивна, то энергия должна быть положительна при любом в (1) (представляющем собой входное воздействие) и при любом 1. Пусть пе ь те р и (!) = 0» (1) + аоа (1) где о, (1) — некоторое произвольное напряжение, па (1) — другое напряжение, которое также произвольно, за исключением наложенного условия па (1) : =0 при 1( („и а — произ~ы~ю~ постоянная. Если цепь линейная, то можно записать 1 (1) = 1, (1) + а(з (1), ») П. С.

Уои!а, а. Л Саз!Но!а, апд Н, У. Сагнл, «Воцпдед цеа! Бса ег! 3 ") См. разд. 4.1. Ма!псе» ацд Фе роцпданолз о1 1.!пеаг Разяче )чеьчогй Тйеогу», !цн Тгацз. С!гсщг Тьсогу, СТ вЂ” б (Магсь !959): !02 — 124. ») Запись предполагает о (!) и» (!) дейстаительиыми функциями. — Прим, ред. 3!8 !О. Применение свертки лли систем непрерывного времени 13 3 Кауввльиость и устойчивость ЗЕ3 где Е, (Е) и Ее (Е) — реакции соответственно на о, (Е) и ве (Е).

При Е ( Е, имеем в (Е) = о, (Е) и интеграл входной энергии с ) о(Е)Е(т)с(т = ) о,(т)(Е«(т)+аЕ,(тЦ«Ет= м Ш с Ф ~ о, (т) Е„(т) с(т + а ~ о, (т) Ее ( с) с(т ) О, О Е( Ее. Поскольку а произвольное, это неравенство может выполняться при ненулевом о„(т) только при условии, что второй интеграл обращается в нуль при любом о, (Е) и всех Е ( Е,. Но отсюда вытекает требование Ее (Е) = 0 при Е ( Е„что и означает каузальность (см. упражнение 10.3).

Студенты часто задают вопрос, зачем, если все физические системы преимущественно должны быть каузальными, нужно все же заниматься и некаузальными системами. Один ответ (как было отмечено в гл. 9) состоит в том, что это предположение некорректно — независимая переменная может (как в случае линзы или антенны) быть пространственной координатой, а не временем, а тогда точки слева от начала координат столь же «реальны», как и справа от него. И, конечно, любая система, которая обрабатывает накопленную информацию (например, цифровой компьютер), может легко моделировать работу некаузальной системы, хотя, разумеется, и не в «реальном времени». Другой ответ заключается в том, что мы не в состоянии оценить смысл и следствия каузальности, если не воспользоваться более широким контекстом. Каузальность — весьма сильное допущение, налагающее на поведение системы ряд существенных ограничений, и в этом заключается причина его важности.

С другой стороны, подобные ограничения, создавая лишь эффекты второго порядка в характеристиках системы, вносят эффекты первого порядка в аналитические трудности и превращают простую и ясную задачу в трудную и запутанную. Важно поэтому располагать свободой осуществления аппроксимаций по отношению к каузальности так же, как мы это делаем по отношению ко многим другим свойствам ради упрощения анализа и выявления смысла.

Многочисленные примеры таких упрощений мы увидим в последующих главах. ОВОВ-устойчнвость систем была определена в гл. б как дающая ограниченный выход при нулевом состоянии на каждый ограниченный вход. Мы показали, что необходимым и достаточным условием ОВОВ-устойчивости конечных Е(Е.С-цепей является расположение всех полюсов Н (3) в левой полуплоскости. Условие ОВОВ-устойчивости можно распространить на системы, описы- ваемые выражением (10.2.2)', независимо от того каузальны они или нет: Необходимым и достаточным условием ОВОВ-УСТОЙЧИВОСТИ НВ ЛИВ-системы является абсолютная интегрируемость импульсной характеристики, т.

е. СО ') ! й (Е) ! сЕЕ ( оо. (10.3.1) Второе условие существования интеграла свертки с бесконечными пределами (см. начало данного раздела) является, таким образом, условием устойчивости. Доказательство необходимости и достаточности условия абсолютной интегрируемости полностью аналогично соответствующему доказательству, проведенному для ДВ-систем в равд. 9.2. Пример 10.3.1. В случае ЛИВ ЯВС-цепи и (Е) будет содержать конечную сумму комплексных экспоненциальных членов (умноженных на степени Е, если характеристическое уравнение содержит кратные корни). Е» (Е) будет, очевидно. абсолютно интегрируемой, если все экспоненты имеют (ненулевые) отрицательные действительные части (полюса расположены в левой полуплоскости), и не будет абсолютно интегрируемой, если любые из экспонент имеют (ненулевые) положительные действительные части (один или большее число полюсов лежат в правой полуплоскости).

Полюсы, лежащие точно на Его-оси соответствуют цепям, содержащим только элементы без потерь (ВС) (или аналогичным устройствам, как, например, идеальные интеграторы); импульсные характеристики таких цепей имеют постоянные амплитуды при Е ) 0 (или растут как степени Е, если на оси Его располагаются полюсы высокого порядка). Некоторые примеры приведены на рис. 10.1б. Во всех этих примерах ) ) 11 (Е) ) 31-~- оо. В общем случае цепи, полюсы которых лежат на Ео»-оси, не обладают ОВОВ- устойчивостью: они при ограниченных входных воздействиях в каждом случае создают неограниченные выходы. Так, нетрудно показать, что ограниченные входные воздействия, представленные на рис.

10.17 и взятые из трех примеров (а, б и в) рис. 10.!б, создают неограниченные реакции, изображенные на рис. 10.!7. в в 4 Физические системы, аппроксимирующие идеальные цепи без потерь, — в общем случае ЛИВ-системы, системные функции ко- Задачи к главе 1О 323 УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 10 Упражнение 10.2 Рнс. 10.19. Упражнеяне 10.4 Е у (Е) = ) Л (т) е(т. ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 10 Задача 10.4 Рис. 10.13. 322 10.

Применение свертки для свстем непрерывного времени Упражненне 10.! Имея пронзвольную снстему, о которой ничего не известно, предложите после- довательность входных воздействнй, так чтобы соответствующие реакции позво- лили вам утверждать, что данная система является линейной (или нет) в (илн) инварнантной во времени (илн нет). Если у (Е) — выход ЛИВ-системы, докажите, что интеграл ~ у (Е) бЕ (т. е. площадь, под кривой, описывающей выход) равен произведению площадей, ограниченных кривымн входного воздействия н импульсной характеристики. Упражнеине 10.3 В общем случае система (линейная иля нелинейная) должна быть каузальной, еслн при подаче на нее любых двух входных воздействий, равных при Е( Е„ соответствующие выходы также равны при Е( Е.

На основании общей формулы свертки (10.2.3) покажите, что Л (Е) ж 0 при Е ( О является необходимым н достаточным условием для того, чтобы ЛИВ-система была каузальной в указанном смысле. На основанни интеграла свертки покажите, что реакцию каузальной ЛИВ.цепи на единичную ступенчатую функцию можно запнсать в ниде Опираясь на этот результат, покажите непосредственно во временной области, что нмпульсная характеристика является производной реакции на ступенчатую функцию. Задача 10.1 Выход уе (Е), показанный на рис. 10.13, наблюдается, когда некоторый (ненз- вестный) вход х, (Е) воздействует на некоторую ЛИВ-снстему с (неизвестной) нмпулъсной характеристнкой Ле (Е).