Сиберт.У.М том1 (Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы), страница 51

Так, для цепи в примере 10.1.2 любое из двух выражений , лс. о(!) ., " е-т/лсь(! я)йт ~1(т) е-и-синеет (10 2 6) С о о описывает РНС при произвольном входном воздействии 1 (!), ! > О. Следовательно, любое из них должно дать общую РНС по отношению к дифференциальному уравнению, описывающему данную цепь, о 0) до (1) — + с „=-;(!). (10.2.9) Это утверждение доказывается несколько проще для второго выражения, так как при дифференцировании первого выражения 10.2. Свертка и общие ЛИВ системы 300 могут появиться производные 1 (!), от которых придется избавляться интегрированием по частям. Для второго же выражения мы просто имеем ') =;(!) ',-<~-~>глс+ Г1(т) 1' ' ') е-и-т)гнсйт (10.2.10) ЯС' / о из которого следует, что формула свертки фактически является решением дифференциального уравнения.

(Решение дифференциальных уравнений в виде свертки обычно получают методом интегрирующих множителей.) Применение свертки особенно эффективно для исследования систем, импульсные характеристики которых можно представить, по крайней мере приближенно, в виде суммы задержанных импульсов простой геометрической формы. Так, например, ингпег)затор е конечным временем интегрирования характеризуется им- Рис. 10.6. Импульсная характеристика интегратора с конечным временен инте- грирования. пульсной характеристикой, показанной на рис, 10.6. Такую систему нельзя описать обыкновенным дифференциальным уравнением и, следовательно, нельзя точно реализовать в виде конечной )с!.С-цепи (хотя хорошей аппроксимации можно достичь при достаточно большом числе компонентов).

Более простым вариантом т) Напомним правило Лейбница дифференцирования интеграла по параметру: 1ь 1Ю ь 1и! !(л, д) х =!(Ь, д) — — 1(а, д) — + ) аЬ да Г д(!х, У) бу ' ду ~ дУ а (в] а у) г-г О у (() = ( х (т) Ь (1 — 'т) е(т. Ю 310 10. Применение свертки длн систем непрерывного аремеии реализации может стать схема рис. 10.7, использующая линию задержки, которая является элементом с распределенными параметрами (более подробно о линиях задержки пойдет речь в гл. 11). Рис. 10.7, Реализация интегратора с конечным временем интегрироеаиия с нс. пользованием идеального элемента задержки. В данном примере мы можем считать, что импульсная характеристика Ь (1) (рис.

10.6) — это просто измеренная импульсная характеристика некоторого «черного ящика» (являющегося по предположению ЛИВ-системой). Для произвольного значения зависимость Ь (1 — т) от к будет иметь вид кривой, показанной Рис. 10.8. Ь (1 — т) и х (т) для интегратора с конечным временем интегрирования на рис. 10.8. Следовательно, интеграл свертки для этого случая можно записать в форме у(1) =- ~ х(т)Ь(1 — т)г)т=- ~ х(т)г(т.

Ф г — г Иными словами, для любого значения 1 получаемая на выходе функция у (1) является интегралом входного воздействия за предшествующие Т секунд, что и объясняет название «интегратор с конечным временем интегрирования». Предположим теперь, что нам нужно оценить у (1), задаваемую сверткой, если входное воздействие представляет собой длинный импульс А, 0<1< ЗТ х(1) = О, при всех иных = А(и(1) — и(1 — ЗТ)). значениях 10.2. Свертка я обигне ЛИВ-системы 311 Входное воздействие х(и) и импульсная характеристика Ь (1 — и) изображены на рис. 10,9 при пяти значениях 1, соответствующих ,г зг г,<0 <'г<г<~з<ЗТ< ~<< 4г< 'з Рис.

10.9. Графическая оценка х 1!) ел О). пяти разным видам перекрытия, которые могут иметь место между х (т) и Ь (1 — с). Рассмотрим каждый из этих случаев и оценим а) 1<0: При таких значениях 1 (например, при 1 = 1з) перекрытия между х (т) и Ь (1 — и) нет, так что у (1) = 0„1< О. б) 0<1<Т1 При 1 = 1, перекрытие х (т) и Ь (1, — к) дает в результате перемножения импульс амплитудой А (вторая эпюра на рис. 10.9); функция у (1,), представляющая собой интеграл этого произведения, есть площадь импульса, т. е. А1,. Таким образом, для любого значения 1 в этой области у (1) = А1, 0 < 1 < Т. в) Т <1< ЗТ: В данной области значений (например, при 1 = )з) временной интервал, в котором Ь (1 — я) отлично от нуля, полностью лежит 312 10.

Применение свертки лля систем непрерывного времени внутри интервала, в котором х (т) отлично от нуля. Их произведение (третий график на рис. 10.9) дает импульс высотой А и длительностью Т, независящей от 1, а площадь импульса у (1) постоянна и равна у (!) =- АТ, Т<1<ЗТ. г) ЗТ<(<4Т: 11рн ! =1, Ь (!4 — т) лишь частично перекрывается с х (т) и площадь импульса получается (четвертый график на рис. 10.9) равной А [37' — (14 — Т) ) = А (4Т вЂ” 1,) или в общем виде у (() =- А (4Т вЂ” (), З7 1 4Т. д) 1>4Т) Перекрытия между Ь (1, — т) и х (т) нет; это означает у(() =О, 1>47'. ) ет зт 2т Рнс, 10.10.

Результат вычисления х (!) « 3 (!). Объединяя полученные результаты, можно построить у (() (рис. !0.10). 1-1а основании данного примера отметим, что свертка двух импульсов дает импульс, длительность которого равна сумме пх длительностей. Этот результат в общем справедлив даже для «импульсов>, форма которых отличается от простой прямоугольной, и по меньшей мере приблизительно справедлив для сигналов, строго говоря не являющихся импульсами, т.

е. для таких сигналов, которые не дают точного нуля за границами некоторого интервала. К этому вопросу мы еще вернемся в гл. 16, Заметим также, что все интегралы данного примера оценивались площадями простой геометрической формы. Такой подход ограничен в значительной мере формами сигналов, образованными отрезками прямых линий; но он может быть полезным для получения приближенных результатов, поскольку сигналы сложной формы можно часто аппроксимировать последовательностью отрезков прямых.

10.2. Свертка и общие ЛИВ-системы 313 Г)ос врем О, 3, Зе — и — 2)/3 1(0, 0(1(2, 1> 2. 2« и+П,!» — ! х(1) = е! +и) 1( — ! Рис. 10.1!. х (1) н 3 (0 для примера 10.2.3. на рис. 10.11. Конечно, формулы, справедливые для всех значений 1, можно записать для графиков х (() и Ь ((), приведенных на этом рисунке, используя единичные ступенчатые функции. Так, х (1) = 2е- и ') и (1+ 1) + е!г>п)2 и ( — г — 1) Ь(1) = 3 [и (() — и (1 — 2)]+ Зе- и-')ми (1 — 2). Следовательно, у (1) = х (1) в Ь (г) можно формально записать в виде м у(1) = ) х(т)Ь(( — т) е(т = сс се ~ [2е-!т+и и (н [ 1) + е!т+1))>и ( — т — 1)] ° Ю [З [и (( — и) — и (( — т — 2)] + Зе- и-т-з)сзи (1 — и — 2)] с(т, однако это выражение слишком сложно для оценки.

м2 Рнс. 10.12. х (т) и 3 (1 — т) прн 1( — 1. Наиболее простой путь обычно начинается с построения графиков, подобных тем, какие рассматривались в предыдущем Пример 10.2.3 Вычисление интегралов свертки требует повышенного внимания, если х (1) и (или) Ь (1) определяются различными формулами на разных участках их области задания, как, например, показано 314 10. Применение свертив дли свстем непрермвного времена примере, для типичных значений й Так, для 1( — 1 х (т) и /) (! — и) будут такими, как показано на рис. 10.12. Интеграл свертки при 1( — 1 имеет вид С-2 у (!) — ~ е(т+1)/2 Зе- (с-т-2)/3 с(м + аа формула дла формула длл л (т), о < /-2 Ь;С-т), т < /-2 С + ~ Е(т+1)/2 3 (!т= С-2 ) ) формула дла формула дла л (т).

с-2 < т <с а (с-т), с-2 < т < с = Зе-'/'ет/6 ) е'('/6) с(т+ с + Зе(/г ~ ет/гс(т = с-г Зе-с/зег/6 е(с-г)(6/6) + 0 3 + Зе'/22 (е'/' — е('-')/21 = = бе(с+1)/г — 2,4е('-!)Сг, !:. — 1. 10.3. Каузальность и устойчивость 313 Наконец, для ! > 1 и х (с) и /( (! — т), показанных на рис. 10.14, ь(а- ) 1) 2 3 4 з б С-г С Рнс. 1О.!4. к (т) и Ь (с — т) при С ) 1.

1 с †у(!) ~ е(т+и/гбе-(с-т-2)/3 с(т 1 ~ 2е-(т+1)3е-и-т-2)/3 ((т -1 с + ~ 2е (""Зс(т = С вЂ” 2 = 12,бе-(с-')/з — Зе-(с ') — бе-('") ! ) 1. — т) т 3 !-2 Рис. !0.13. к (т) и А (С вЂ” т) прв — 1 ~ С( 1. Для — 1 ( ! «.- 1 и х (т) и й (! — т), показанных на рис. 10.13, интеграл свертки определяется подобным же образом: с-г 1 у(!) = ) е(т+1)/23е-(с-т-2)/з с(т+ ') е(™)/23(!и+ — оа с †+ ) 2е- ("') 3 с(т = -1 = 12 — 2,4е('-')/г — бе "и+'1, — 1 < ! < 1. Рис. 10,13. р (Е) — — к (С) ел (С).

Объединяя полученные результаты, можно построить у (!), как показано на рис. 10 15 10.3. Каузальность и устойчивость Чтобы интеграл свертки (10.2.2) существовал в бесконечных пределах, х (1) или й ( — !) (или обе), должны достаточно быстро стремиться к нулю при стремлении ! к +оо и — оо. Как мы уже отмечали в связи с аналогичной проблемой для дискретного времени есть несколько важных методов, позволяющих это гарантировать.

Конкретизируя: 1. Можно ввести ограничение Ь (1) == 0 и х (!) о— а 0 при ! ~ О. 2. Можно принять, что для И (!) выполняется условие о ~ /((!) ) (!! ( оо и рассматривать только ограниченные входные воздействия. 310 10. Применение саерткн для сястем ненрермаиого иремеин ЛИВ-систему, у которой г! (1) = 0 при 1( 0 называют каузальной — отклик не может опережать стимулирующее воздействие '). «Каузальность» ') — традиционный термин теории систем, используемый для описания свойства отсутствия упреждения, хотя возможно выбор его по ряду причин неудачен. С одной стороны, поскольку мы утверждаем, что все наши системы дают единственную реакцию на каждое полностью определенное воздействие, все наши системы «каузальны» независимо от того, упреждающие они или нет.

Подаваемое на них входное воздействие определяет выходную реакцию. С другой стороны, только то, что одно событие предшествует другому, разумеется, не означает, что первое является причиной второго. Это хорошо известное в логике ошибочное утверждение роз! )»ос егяо ргор1ег )!ос — «после этого — следовательно, вследствие этого». И все же мы будем придерживаться традиции и пользоваться термином «каузальный» вместо менее привычного «неупреждающий». В случае каузальных ЛИВ-систем мы можем установить связь интеграла свертки общего вида У(1) = ~ х(т))г(7 — т) е(т Ф с нашим предыдущим представлением для РНС некоторой цепи с сосредоточенными параметрами в виде свертки, одной из форм которого было у (1) = ~ х (т) й (1 — т) е(т.