Сиберт.У.М том1 (Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы), страница 50

9,25 для случая й( = 2 и М = 5. Сплошнымн лнннямн на трех верхних рисунках наказаны шшроксн мации по методу наименьших квадратов для пятя соседяид тачек. а) Рассмотрите многочлеи второй степени Р Ы = Р» + Р»л + Рэл» ') Понятие «тренд» находят широкое примеиеяие в теории временных рядов, см. например, Д. Брцлллнджер, Времеиийе рядн, обработка данных н теория, М., Мнр, 1980, с. 52. — Прил.

Рэд. подобранный для пяти точек х [ — 2), х ] — 1), х [О], х ]Ц, х [2]. Покажите, что значения р», р» н р», прн которых достигается мийнмальйая квадратическая ошибка 2 (х [л] — р [л])' л 2 вапнсываются в виде — Зх[ — 2]+ 12х[ — Ц+ 17х[0) + 12х[Ц вЂ” Зх[2] Р« = 35 » — 2х [ — 2) — х [ — Ц + х [Ц + 2к [2] л— 1О Ф 2х [ — 2] — х [ — Ц вЂ” 2х [О] — х[Ц + 2х [2) Р» 14 Постройте р[л] для значений х]л] на рис.

9.25 н покажите, что результат согласуется со сплошной кривой левого графика. б) Сглаженное значение у ]О) — это р [О] = р». В общем случае, следовательно, должно быть очевидно, что 1 у [л] = — ( — Зх [л — 2] + ! 2х [л — Ц -]- 17х [л] .1- 1 2х[и + Ц вЂ” Зх [л + 21) . 35 Покажите, что эта формула дает сглаженные значения на рнс. 9.25 для оговоренных там х [л). в) Что собой предстаиляет реакция ДИВ-системы Д ]и] на единичный отсчет, когда система описывается раэностным уравнением из пункта (6)? Является ли И ]и) каузальной? Является лн она конечной нли бесконечной импульсной характеристикой? Начсртите структурную схему с элементамн задержки, уснлнтелямн н суиматорамн, реалнзующую й [л) с точностью, быть может, до некоторой общей задержки.

1О ПРИМЕНЕНИЕ СВЕРТКИ ДЛЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИСТЕМ НЕПРЕРЫВНОГО ВРЕМЕНИ 10.1. Теорема о .У-пРеобразованяя свертки ЗОЗ доточим внимание на наиболее важных свойствах интеграла свертки в форме, которая описывает РНС множества каузальных систем в более общей форме ОО у(() = [ х(о)Ь(1 — к)йн, ОО характеризующей (как мы покажем в следующей главе) реакцию любой ЛИВ-системы непрерывного времени, каузальной или нет. 10.0. Введение Операция ДВ-свертки у [и! = Е х[т)Ь[п- пг! М= — ОО описывает класс ЛИВ-систем, более широкий, чем определяемый линейными разностными уравнениями с постоянными коэффициентами, но (как будет показано в последующих главах) для них характерны многие аналитические упрощения и структуры, которые делают разностные уравнения столь же полезными.

Операция свертки дает также в явном виде формулу для вычисления реакции ЛИВ-систем во временной области, которая дополняет явную формулу в частотной области У(г) = Х(г) Н(г) для РНС каузальных систем. Подобные же утверждения справедливы для систем непрерывного времени, В данной главе мы покажем, что интеграл свертки у(1) = ( х(т)Ь(( — т)йт о является во временной области эквивалентом обратного .У-преобразования формулы "г' (з) = Х (з) Н (з) для ЛИВ-цепей или аналоговых каузальных систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Как и в случае ДВ-систем, Ь (1) — это обратное 2'-преобразование системной функции Н (з). Мы называем Ь (() реакцией на единичный импульс, но, к сожалению, в НВ-системах не так просто, как в предыдущей главе, сказать, каким может быть «единичный импульс», чтобы Ь (1) было реакцией на него. Поэтому мы отложим до гл.

11 рассмотрение вопроса о том, что собой представляют эти импульсы и подобные им. В данной главе мы сосре- 10.1. Теорема об 2'-преобразовании свертки Начнем о доказательства теоремы. ТЕОРЕМА ОБ 2'-ПРЕОБРАЗОВАНИИ СВЕРТКИ: Пусть (10.1.1) у(() = [ х(т) Ь (1 — к) йк. о Тогда 2'-преобразование у (1) имеет вид У(з) =Х(з)Н(з), где Н (з) = 2' [Ь (1) ! и Х (з) = 2' [х (1) !. Доказательство проводится аналогично доказательству соответствующей теоремы о г,-преобразовании в равд. 9.1. Таким образом, прямая оценка )г (з) дает ГО Г Ф ты=[и<О -"н«~-[[[*~Е»З-Е«] -* «~- о о о = [~[*()»з — е з — ) ш~ 'з. ~10.1.2) о (.о Меняя порядок интегрирования з), получаем г(О=[по !»з — ч з — е~ а~«. оо~з) о о Поскольку во внешний интеграл входит только т ) О, выражение Ь (г' — т) и (1 — т) представляет собой просто задержанное Ь(1) и(1) и внутренний интеграл становится Н (з) е — *'.

Выполнение внешнего интегрирования завершает доказательство. з) Кзк н в случае днскретного во времени аргумента, изменение порядка ннтегрнровання оправдано для значений внутри сбпгей областн сходнмостн О (з) н Х (з). у(() = ~ х(т)с(я+у(0) о (10.1.7) (10.1.8) с с« яс Н(з) =— (10.1.4) и, следовательно Следовательно ) -г(ас ! ) 0 (10.1.9) У(!) = ~ х(т) Ь(! Т),(т о 304 1О. И ркмеиенне свертки дли систем непрерывного времени Эта теорема о свертке применима к сигналам любой формы и их преобразованиям. Если, в частности, х (!), у (!) и Ь (!) являются соответственно входом, выходом и импульсной характеристикой какой-либо схемы или системы с сосредоточенными параметрами, то только что полученный результат У(з) = Х(з) Н(з) для РНС означает, что можно также найти РНС во временнбй области, используя формулу свертки (10.1.1). Несколько примеров помогут уяснить, как это осуществляется.

Пример 10.1.1 В за аче 2.1 б д . было сделано допущение, что интегратор можно представить во временнбй и частотной областях так, как пока- Рис. 1О.!. Блок интег ато а. р р . Рис. 10.2. Импульсная характеристика. вано на ис. 10.1. Э р... то означает, что системная функция интегратора имеет внд Ь(1) = и(г), как представлено на рис. 10,2'). Теорема свертки оп еделяет таким об азом, что РНС, р, РНС, являющаяся частью полной реакции, ки определяет должна иметь вид с = ~ х (т) и (! — к) с(т = ~ х (т) дн. (Рй 1 8) о о Строго говоря, то обстоятельство, что Л (О есть обратное Ы-преобразование (з) = 1!з, свидетельствует лишь о том, что Л (О = 1, (» О. Этого по с ° ществу достаточно для оценки интеграла свертки в ире ел заданных в теореме об Я'-и еоб а ерткн в пределах интегрирования, „с е -цре разованнн свертки. Но в более широком контексте -систем общего вида интегратор представляет собой ка з длн которой Л (Г) = 0 пря 1 ( О.

о каузальную систему, 10.1. Теорема о Я'-преобразовании свертки ЗОЗ Полная реакция, таким образом, равна и в точности соответствует тому, что называется «интегратором». Пример 10.1 2 Системная функция ЯС-схемы (рис. 10.3) имеет вид У (з) 1/С Н(з) = — „з, (РНС) =,+„„„. Рис.

10.3. Цепь и импульсная характеристика к прцчеру 10.1.2. Воспользуемся теперь формулой свертки для нахождения РНС- реакции схемы, показанной на рис. 10.3, при входном воздействии, изображенном на рис. 10.4, ») Обратим внимание на размерность Л (О в данном примере, которая, как очевидно, есть «р ' = В((А с). Если Л (Г) рассматривается как реакция на единичный импульс н сели зта реакция представляет собой некоторое напряжение, то у входного «единичного импульса» тока должна быть размерность А с (а не А', чащобы можно было получ»пь выход — вход = выход вход [В/(А с)1 (А с) = В. Эт бражевия несомненно необходимы для того чтобы формул р н соо 11. была сбалансирована по размерности, н будут развиты в гл, 11 Сиберт У. М.

о !1) - ~ 1 (т) 3 (/ — ) Нт и Пт)о)/,-т) /)г) П)/а-т)) п»ащ»д»= »1/~) ~Ф Пмщ»д.» г(/,) 111) = Кв~~, 1)0; 3 )= 1 е е/лп, 1)0 (10.2.1) щ» у(1) = ) х(т)Ь(1 — х)с)т, Ф (10.2.2) 300 10. Применение свертки дня систем непрерывного времени д, ыее )/еа )/а яс Рнс. 10.4„Вход и выход цепи, приведенной на рнс. !0.3. Исходя из (10.!.1), запишем г и(!) = ) 1(т)Ь(! — и) дт = О ~ (К„-ат) )» е- 1/-т)/Нс) с)т ~ С (10.1.10) О Вынося за знак интеграла множитель (К/)С) е — //нс (не зависящий от переменной интегрирования) и объединяя оставшиеся экспоненты, получаем К и(!) = — е //яс е 1 нс / с)т= С О К (е-//нс — ещ/), ! щ О.

(10.! .11) с~"- лс) Этот результат графически проиллюстрирован на рис. 10А, и его легко проверить, выполнив преобразования. В случае когда а — щ 0 получается реакция на ступенчатую функцию и (1) = К)с (1 — е-//нс), 1) О, проверка которой может быть выполнена элементарными средствами. Имеет смысл исследовать нашу задачу графически, представив подынтегральное выражение формулы (10.1.10) в зависимости от и для нескольких значений 1 и интерпретируя интеграл как площадь (рис. 10.5). Заметим, что график Ь (! — т), построенный в зависимости от т не что иное, как повернутый (построенный в обратном направлении) график Ь (1), начало координат которого перенесено в точку, где ! — и = О, т.

е. т = К 10.2. Свертка и обо)не ЛИВ-системы 307 Рис. 10,5. Графическая интерпретация пыраженяя (10,1„10). 10.2. Свертна и общие ЛИВ-системы Точно следуя аргументации равд. 9.2, формулу / у(/) = ~х(т)Ь(/ — к)с)т о можно рассматривать как частный случай общей формулы свертки получаемый, когда х (/) = О, ! ( 0 (т. е. система находится в нулевом состоянии при 1 =- 0) и когда Ь (1) = — О, ( 0 (т. е. система каузальна). Общая формула (10.2.2) полностью удовлетворяет в случае непрерывного времени условиям линейности (суперпозиции) и инвариантности во времени, приведенным в равд. 9,2, и действительно представляет собой наиболее общее функциональное описание системы, удовлетворяющее этим условиям.

Однако в противоположность случаю дискретного времени показать, что (10.2.2) является наиболее общим для описания ЛИВ-систем, совсем не просто; обсуждение этого вопроса мы продолжим в гл. 11. Примечание, сделанное в сноске равд, 9.3 применительно к ДВ-свертке, можно распространить на случай описания общей НВ-свертки у(1) = ~ х(.с)Ь(Š— т) с)т = х(!)вЬ(/). (10.2.3) Принимая, что интегралы вида (10,2.2) допускают изменение порядка интегрирования, легко показать, что НВ-свертка удовле- 11» (10.2.4) или до(1) 1О) ар) С )тС ' (10.2. 5) (10.2.11) Пример 10.2.2 308 1О. Применение свертки для систем непрерывного времени творяет законам коммутативности, ассоциативности и дистрибу- тивности. Пример ! 0.2.1 Закон коммутативности утверждает, что х (!) * И (!) = И (!) а х (!) или ) х ( г) И (! — т) йт =- ) И (т) х (! — т) от.

Это означает, например, что выход системы с импульсной характеристикой И (!) при входном воздействии х (!) будет таким же, как у системы с импульсной характеристикой х (!) при входном воздействии И (!). Коммутативность для РНС каузальных систем вытекает из соответствующего свойства произведения 2'-преобразований Х (з) Н (з) =- Н (з) Х (з). (10.2.6) Это легко доказать в обо!ем случае путем прямой замены переменных. Так, если ввести переменную р = ! — т, йр = — с(т, то левая часть (10.2.5) становится х(т)И(1 — т)йт == — ') х(! — р)И(р)с()ь = ~ И(т)х(г -),(я Ф (10,2,7) где во втором равенстве мы использовали возможность замены р как переменной интегрирования любым другим символом, на- пример т. Часто один порядок интегрирования бывает более удобным, чем другой, в особенности когда предполагается выполнить ка- кие-либо дальнейшие манипуляции с интегралом свертки.