Сиберт.У.М том1 (Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы), страница 53

Постройте соответствуквцне реакции для каждой из трех других ЛИВ-систем, входные воздействия и импульсные характеристики которых запасены ниже. а) лг (Е) = 2х, (Е), Ле(Е) = О,бйе (Е). б) хз (Е) = ке (Е) — ле (Š— 2), Л, (Е) = Ле (О. в) хз (Е) = хе (Š— 2)з Лз (Е) = Ло (Е + 1). Задача !0.2 Ответьте на следующие вопросы для случая, когда входное воздействне н импульс- ная характеристика нмеют вид, показанный на рис.

!0.19. а) Каково полное множество значений Е, прн которых у (О = Л (Е) в т (Е) = = О? б) Прн каком значенни Е реакция у (Е) прнннмает наибольшее положительное значение? в) Что собой представляет у (+1)? Задача 10.3 Соотношение между сверткой каузальных временнйх функций н произведением нх преобразований нетрудно представнть в виде Я* (л, (Е) в кз (Е) в лз (ЕЦ = Я (лг (ЕЦ Я (хз (ЕЦ .У [кз (ЕЦ.

а) Используйте зто соотношение для того, чтобы найти обратное преобра. аование 1 ?((з) = б) Проверьте полученный результат определением вычетов, Рассмотрнте функции а (О, О (Е] и ф (О, определенные на бесконечной прямой — со < Е < оо. Пусть О, Е>1, мц-~гг~, О <~. и-( а(Е), Е> О, !!( — Е), Е~О. О, Е(О, В каждом нз интервалов значений Е запишите у (Е) = Л (О в л (Е) в виде суммы определенных интегралов содержащих гь (Е), О (1) н ф (Е) Задача к гтаве 10 323 324 10. Применение сверткн для систем непрерывного времени Задача 10.5 Рассмотрнте, являются лн показанные на рас. 10.20 н !0.21 цепи лннейнымн н (нлв) ннварнантнымн во времени по отношению к нх входам. !(г] г 2 Э»с»с»с»с» с »асса» »сй »р»»»с.зс ! !с) 2 Рвс.

)0.20. с!!) г — —— ) с!') ! С(ыл ! г » !<О к)!) » )- э)о2»гг, ! > О Рнс, 10.21. Рнс. 10.22. Здесь С (!) н й ()) — меняющнеся во времени влемевты, так что б с( со(!)= — „! (оо(!)С(1)) оь(!)= д (!ь(!)й(!)1. Задача 10,6 Найдите с помощью свертка форму реакции для каждой пары входного воздей- ствня х (!) ЛИВ-снстемы н импульсной характеристики й (!) (Рнс. 10.22). Полу- ченные результаты представьте по своему выбору в графической нлн аналнтнче. ской форме. Рнс. 10.23. Задача 10.7 Пусть температурную реакцию электрической печи на изменение входного тока можно моделнровать, как показано на рнс.

10.23, последовательным соединением прибора с квадратнчной характеристикой н некоторой ЛИВ-снстемы. Реакция всей снстемм на ступенчатое приращение тока показана на графике. а функции В (!) н С (!) чнсленно равны ь' (!) = С (!). ! Идеальные , диоды ! ! ! ) ) ! Чтобы ускорять резкцню снстемм. предложено ввести компенсацию прн помощи устройства, по«»тесного на рнс. )0.24. а) ВыбеРите Кг н Кз (включаа нх знаки) так, чтобы 1) окончательное значение температуры в печи достнгалось в процессе реакцнн на ступенчатое приращение тока точно через б секунд.

2) температура установившегося режима была такой же, как н до прнращення. Изобразите действнтельное входное воэдействне ка печь прн ступенчатом изменении тока к(!), как показано на рнс. 10.23. 326 !О. Применение свертки для систем непрерывного времени Задачи к главе 10 327 б) Практически что ограничивает скорость реакции, которая может быть получена таким путем? а» П»ч»»»е»г»Р Рис. 10.24. Задача 10.8 ЛИВ-систему с импульсной и называемой пропадя»гтим характериствкай И (Г), показанной на рнс. 10.25 косанусаидольнмм импульсом 1), часто используют в качестве интерналирующего нли сг.тажнвающего фильтра.

(Причины такого выбора мы рассыотрим в аднон из последующих гяав.) Один нз способов построения подобного фильтра сводится к последовательному нключению интегратора с конечным временем интегрирования, имеющего импульсную характеристику 2»г Т ориг ! Т Рис. !0.25 1, 0<1<Т, Ит (1) = О, нри других значениях 1, н высокодабротного резонансного контура с идеализированной импульсной характеристикой 2п 2пг И, (1) = — з!и — и(г) Т Т (ои. рис.

10.28) 2 г т Рнс. !0.26. а) Покажите, что показанная на рис. 10.25 импульсная характеристика И (1), задается выражевием И(1)= Ь;(1) э И,(1). 1 ) Такие временнйе функции используются в качестве временнйх окон для снижения спектральных боковых лепестков и называются либо окнам Ханна (фон Ганна), янбо окном Хеннинга, см., например, Л, Рабинвр, Б.

Гоулд, Теория и применение цифровой обработки сигналов, М., Мвр, 1978, гя. 3, 4 3,9, с. 107; Р. В. Хеммипг, Цнфровьгс фильтры, М., Сов. Радио, 1980, гл. 5, 4 5.9, с. 99; Ф. Двх. Харрис, Использование окон при гармоническом анаяизе методом дискретного преобразования Фурье, ТИИЭР» )з» 1, 1978, с.

71. — Прим. Рвд. б) Выполняя свертку, покажите, что реакции у (1) полной ЛИВ.системы 2пг (рис. !0.25) на воздействие х (1) = саз — — се < 1< оо (реакция чустэно- Т ' вившегося режима») имеет вид Т 2п1 у (1) = — — сов — — оо < 1 < оо. 2 Т в) Покажите, что если рассматривать данную систему как последовательвое соединение двух ее частей с нмпульснымя характеристнкамн Л1 (1) н И» (1) и если пытаться расс»».1,1 реакцгно 12 входное воздействие (случай б) покаскадна, то мы встретимся с большими трудностями.

Покажите, в частное~и, что если н»РЯдок вкл~ ес *оЯ игдгисцм токай, пРи котоРам зэ И; ()) следУет Ь, (1), то Реакция одной И, !1) на х (!) будет нулевой (и, следовательно, полная реакция, по-видимому, окажется нулевой). Но если порядок подсистем такой, что И, (1) следует за И» (1), то реакция одной Иэ (1) на х (1) будет бесконечной (и, значит, общая реакция системы также будет бесконечной). Аналитически зги трудности являются результатом того, что тройная свертка х (1) «и„(1) «л, (1) в данном случае ие обладает свойством ассоциативности. Конкретно х (1) * (И, (1) И, (1)) = — — савв Т 2п( 2 (х (1) з И1 (1)) э И, (1) = О, (х (1) з И» (1)) е И, (1) = оо (или неопределенность).

Указанные трудности легко понять при расоиотреиии в частотной области: Я'-преобразование функции И1(1) имеет нуль в точности на тай частоте, на которой идеальный (без потерь) настроенный контур ь (1) имеет полюс. трудности исче- ззют, если несколько изменить частоту х (Г) нли длительность Ь» (1) илн если к И, (1) добавить немного «потерь». На практике, если нужно получить импульс- ную характеристику И (1) прн подобном каскадном включении н если возмож- ными входными воздействиями являются сигналы, приближенна описываемые 2п1 носииусоидой соз — иа протяженных иитерваяах, та яучшие результаты, Т веРоЯтно, УдастсЯ полУчнттч когда подсистема с И, (1) бУдет стоЯть после под- системы с И1 (1), а не наоборот, поскольку амплитуда сигнала в точке между Ит (1) и И» (1) будет в этом случае меньше.

Задача 10.9 Свертку сигнала с самим собой, повернутым во времени, называют автокорреляциониой функцией этого сигнала: г»(ч) = ~ х(1) х(1 — т)81. Ф а) Сравнением с интегралом свертки определите импульсную харахтеристику фильтра, зная, что конкретное входное воздействие х (Г) дает нэ его выходе г„(1). (Такой согласованный филылр обладает интересными свойствами улучшения отношения сигнал,'помеха. См.

задачу 10.10.) б) Нарисуйте импуяьсную характеристику И (1) согласованного фильтра, соответствующего показанной на рис. 10.2? форме сигнала х (Г). в) Изобразите ныход этого фильтра при входном воздейстнии х (1), т. е. найдите автокорреляцианяую функцию г» (т), соответствующую х (Г). г) Импульсная характеристика, пояученнзя в п. 6) является нереализуемой. Покажите, однако, что И'(1) =- И (1 — 7) явяяется импульсной характеристикой реализуемого фияьтра и найдите соотношение между г' (1) (выход Ь' (1)) н г» !1) (выход И (1)).

Задачи к главе 10 329 Рис. 10.27. $ й ~~ « ч г-5 Рис. 10.31. ис. з !г! Ь !с! Рис. 10.32 Рис. 10.29. Сигналы букв. 328 1О. Применение саерткн для систем непрерывного времени д) Покажите, что Ь' (() можно реализовать при помощи показанной на рнс. 10 28 линни задержки с отводами и определите велячины коэффициентов усиления аь Задача 10.10 Рассмотрим алфавит, содержащий ради простоты всего три буквы: а, Ь и с. Пусть для передачи по телефонной линии некоторого сообщения, записанного этим алфавитом, со скоростью одна буква за каждые Т секунд мы сопоставим каждой ! Рис. 10.30. Совокупный передзваемый сигнал, соответствующий последователь.

ности ЬассЬаа. букве конкретный электрический сигнал длительностью Т секунд (рис. 10.29). Тогда последовательность букв, образующая сообщение, будет выглядеть так, как показано на рис. 10.30. Приемник в этой системе приводит з действие автоматический букэопечатающий аппарат. Сигналы, воздейству«ощие на клавиши, получаются тэк, как показано на рнс 103!. Импульсные же характеристики трех ДИВ-фильтров приведены на рис. 10.32. Зги фильтры называют согласованными, поскольку ях импульсные харзктеристики представляют собой соответствующие сигналы, обращенные по времени (повернутые на !80') (см, задачу !0.9).

Формы сигналов на рпс. !0.31 соответствуют конкретным х (!) на «рис. !0.30, Пороговые цепи являются нелинейными ие обладающими памятью устройстаами, которые пропускают лишь сигналы, превышающие уроаень 3«4 АТ вольт. Задача проектирования системы этого типа сводится, очевидно, к такому выбору сигналов (рис. 10,29) и фильтров (рис. 10.32), при котором реакция каждого нз фильтроа на согласованный с ним сигнал была бы большой и «положительной>, а реакция других фильтроа на тот же сигнал была мзлоз или отрицательной.

Расс««отрим работу этой конкретной системы, проанализировав канал а на рис. 10 31. а) Найдите реакцию цепи с Ь (1) отдельно для каждого из сигналов х«П), х, (0 н х„(0 б) Если п. з) выполнен правильно, то должно быть ясно, что Ьз (Г) лает бояее сильную реакцию на х (г), чем на х, (!) или х«(г). Однако этого еще недостаточно для гарантии успешной работы. поскольку реакция ь, (г) на каждый из буквенных сигналов превышает его длительность вдвое, то реакции на следующие друг за другом буквенные сигналы будут перекрываться. Такая межсимвольная инамрференция может вызвать ошибки г). Найдите реакцию для по- г) О влиянии межсимвольной интерференции на эффективность передачи дискретных сигналов см., например, Помехоустойчивость и эффективность систем передачи информапин, под ред.