Электрорадиоизмерения (В. И. Винокуров), страница 5

Так удается исключить влияние погрешностей, обусловленных постепенным падением напряжения источника питания (батареи или аккум1улятора), уменыпением электронной эмиссии катодов в радиолампах и другими фактопами. Эффективным способом уменьшения систематических погрешностей является их рандомизация, т. е. перевод в.случайные. Например, если измерить напряжение несколькими вольтметрами разных типов одновременно и усреднить результаты наблюдений, то можно ожидать, что систематические методические и инструментальные погрешности, присущие каждомуу прибору, вследствие саучайного выбора приборов в какой-то мере скомпенсируются. Того же эффекта добиваются, изменяя случайным образом методику и условия эксперимента или те параметры, от которых не зависит значение измеряемой величины, но могут зависеть систематические погрешности ее измерения. В о в р е м я о б р а б о т к и результатов наблюдений обнаруживают и оценивают те систематические погрешности, которые не удалось исключить, и в результат измерения вносят поправки.

П о п р а в к о й называется величина, одноименная с измеряемой, добавление которой к результату измерения исключает систематическую погрешность. П о п р а в о ч н ы й м н о ж и т е л ь — это число, на которое умножается результат измерения с целью исключения систематической погрешности. Поправки (поправочные множители) прилагают к паспорту прибора в виде таблиц, графиков или формул. Они могут быть 19 е=+ 'у'е, 8-1 (2.1) где 9~ — граница (-й составляющей НСП. Эта оценка является завышенной, так как маловероятно, чтобы все составляющие одновременно приняли свои максимальные значения, причем одного знака.

С ростом числа составляющих такая оценка становится все менее приемлемой. 'При т>4 необходимо учитывать, что составляющие НСП могут быть различными на интервале их возможных значений. Обычно считают, что эти неслучайные величины с равной вероятностью ьюгут иметь любые значения в пределах бстановленных границ. Такое предположение соответствует вероятностно-статистической оценке составляющих НСП сверху.

Далее будет показано, что дисперсия равновероятного центрированного распределения случайной величины на некотором интервале равна квадрату границы интервала, деленному на три, и-что сумма большого числа случайных величин, подчиняющихся равномерномб закону распределения вероятности, подчиняется нормальному закон(у и с вероятностью 0,95 не выходит за пределы интервала Ч=2п, а с вероятностью 0,99 находится в пределах интервала Ч=,2,6о.

Поэтом~у при т>4 границу НСП результата измерения с вероятностью 0,95 принимают равной 20 функциями времени, значения измеряемой величины, частоты, темперапуры и т. д. Поправка, прибавляемая к ревультацу измерения, должна быть численно равна систематичвской составляющей поггрешности, но противоположна ей по знаку, Если систематическая погрешность-является функцией какого-либо параметра, то поправку представляют в виде обратной функции того же аргумента. Так как источников систематических погрешностей много, то в поправок может вноситься множество.

Некоторые из них, например определяемые экспериментально, бывают известны не точно. Нужно следить, чтобы погрешность, с которой известно значение поправки, не увеличивала погрешности измерения. Следует помнить, что из-за неточного знания поправок систематическая составляющая погрешности измерения компенсируется не полностью. Нескомпенсированная ее часть называется н е и с.к л ю ч е н н ы м о статком систематической погрешности (НСП). Он должен быть оценен по ГОСТ 8.207 — 76. При небольшом числе составляющих систематической погрешности (гч~4) граница НСП результата измерения 6 может определяться по максимуму: а с вероятностью 0,99 8; яг 6=+ 2,6з=-+ 2,6 ~1Ь вЂ” ' — яр 1,4 ~ч~й~~й,' (28) 1 г-г г При пг ='4 коэффициент перед радикалом можно выбирать по ., графику, приведенному в ГОСТ 8.207 — 76.

Есть погрешности, учет которых вызывает дополнительные трудности. 1( ним относятся погрешности, возникающие из-за старения элементов прибора. Очевидно, что изменения, появившиеся после его поверки, влегчут за собой такие систематические погрешности, (учесть которые трудно. Они чаще всего встречаются при проведении сложных измерений, однако могут появиться и в относительно простых случаях, если наблюдатель недостаточно знаком со свойствами исследуемого объекта и измерительного прибора. Для исключения подобных погрешностей целесообразно повторить измерение, изменив его условия, методику, измерительные приборы. Совпадение результатов может явиться определенной гарантией отсутствия систематических погрешностей, об(условленных неизвестными причинами.

Случайная составляющая погрешности измерения. Закон рас.пределения вероятности случайной составляющей погрешности определяется как ~устройством (схемой, конструкцией) измерительного прибора, так и условиями его эксплуатации, т. е. условиями измерений. Реально каждой серии измерений, производимой с определенной группой измерительных приборов, соответствует свой закон распределения погрешностей. Установление и анализ этого закона „существенно усложнили бы процедуру расчета погрешностей измерений. Поэтоьау на практике обычно пользуются аппроксимацией реального закона распределения, сводя его к наиболее простому виду. Согласно ГОСТ 8.011 — 72, предусмотрено несколько стандартных аппроксимаций законов распределения вероятности случайной составляющей погрешности, в том числе равномерный, треугольный, нормальный, а также трапециевидный, который здесь не рассматривается.

Равномерный закон распределения. Прнмерамн погрешностей, имеющих равномерное (прямоугольное) распределение, могут служить погрешности: а) об-. условленные трением в опорах злектромеханического измерительного устройства; б) прн отсчете показаний по равномерной шкале стрелочного прибора; в) некоторых цифровых приборов. Рассмотрим природу-погрешности с равномерным распределениеи на-примере цнфрового вольтметра с генератором ступенчатого напряягення. х(ля упрощения рассуждений считаем высоту всех ступенек одинаковой, а измеряемое напряжение в постоянным (рис.

2.Ц: 8=соней их=сопя(. Как следует .нз рисунка, в рассматриваемом случае погрешность измерения связана с конечной высотой ступенек (нли с конечным числом ступенек). Показания прибора определяются величиной УЬ, где Ф вЂ” число импульсов, поступающих на цифровой счетчик, а измеряемое напряжение 21 их = Лгб+ л, (2.4) нли их = ЛГЬ+ л', их = Фь + д, где Л (Л', Л") — случайная величина, называемая погрешностью дискретности илн погрешностью квантования. С 0 до лучайная величина Л может с равной вероятностью принимать значения от до Ь (рис. 2.1), т. е. имеет равномерный закон распределения вероятности в интервале от О до Ь. и„-гллгр' ! СчРялыР гютулвгы Рис.

2.1. Пример возникновения погрешности квантования (дискретности) На рип 2.2, а. б приведены графики плотности вероятности р(Л) и функции а распределения Е (а) = ) р (Л) а'Л для рассматриваемого случая. Определим числовые характеристики равномерного закона распределения вероятности. Математическое ожидание величины Л (его можно трактовать как систематическую погрешность) ь Г Л Ь еа = ~ лр (л) ~и = ~ — «и = —. ,)Ь 2 За наиболее вероятное значение измеренной. величины следует принять, йх =-МЬ+ Ь/2. (2.6) При этом центрированная случайная погрешность Л =Л вЂ” ЕЛ может принимать значения от — Ы2 до Ь|2, т.

е максимальная погрешность измерения М Ь/2. Среднеквадратическое отклонение результата измерения определяется нак корень квадратный из дисперсии: ь аз = ~ (а — еа)з и (л) = — ) ~л — — ) ги = — ° (2.7) б,)~ 2! 12 а Среднеквадратичесхое отклонение является наиболее употребительной мерой случайной составляющей погрешности измерения, так как имеет такую же размерность, как и измеряемая величина. С максимальной погрешностью измерения среднеквздратнческое отклонение связано соотношением Л = $'"Зз.

(2. 8) Формулы (2.5) и (2.8) характериауют погрешность измерения лишь в том случае, когда высота всех ступенек одинакова и неизменна во времени (измене. ине длительности ступенек не оказывает влияния на точность измере- у рИ) ний). В реальных условиях всегда имеет место неодинаковость высоты ступенек и нестабильность ее во времени, что приводит к появлению дополнительных составляющих по- А грешности. При этом погрешность иэмерсния определяется суммарным действием всех факторов, и в случае ( Л их соизмеримости заков рзспределе- ф иия вероятности погрешности приближаетсн к нормальному. Этот вопрос л А подробнее рассматривается далее.

Треугольный закон распределения. Этот закон встречается у циф Рис. 2.2. Плотность распределения овых п нборов, Характерным для вероятности и функция распределеэтих приборов является преобразо- ння вероятности ванне измеряемой величины в пропорциональный ей интервал времени, называемый временем счета. Длительность этого интервала измеряется с помощью счетных импульсов,'формируемых иэ колебаний генератора с высокой стабильностью частоты (рис. 2.3, а — в).

В общем случае расположение счетных им° пульсов относительно начала времени счета случайно; также случайным яв- Ф р~) уу„ о 'т„ Тл-Гп, г,) 4г (4Р Рйс. 2.4. Плотность распределения вероятности по грешностей дискретности Рнс, 2.3. Пример дискретного счета импульсов Тз и временем счета по длительности временных нн- ляется соотношение между периодом счетных Т„.

Это приводит к образованию случайных тервалов г„ и 1„ в начале и конце счета. Измеряемая длительность времени счета Т,„< „1 — — )уТо, (2. О) где Ф вЂ” число счетных импульсов за время счета, т. е, число импульсов, поступающих на цифровой счетчик. Интересующая нас истинная длительность времени счета, пропорциональная измеряемой врличине, определяется выражением „г~т1 — )" 7 О 4н + гк. (2.10) В данном случае погрешность измерения (погрешность дискретизации) определяется суммой двух независимых случайных величин. Найдем закон распределения суммарной погрешности и его числовые характеристики, пользуясь ос- новнымн положениями теории вероятностей. дм! Определим законы распределения случай- бгь бг ных величии Г„и Г .

Величина 1„может приl нимать с равной вероятностью любые значения от О до Ть т. е. имеет равномерное распределение вероятности в пределах (О, .— То)1 величина Г распределена равномерно в пребг ~/ЯУ делах (О, +Те). Суммарная погрешность диска ретизации будет иметь треугольный закон распределения (рис. 2.4, а — э). Из условия нормировки плошадь, ограни- ченная треугольником, должна быть равна гг единице; следовательно„ максимальное значе- ние плотности вероятности равно зуе.

Йля Рис. 2,5. Графики нормаль- определения среднеквадрзтнческого отклонеиого распределения вероят- ния воспользуемся известным свойством днсности случайной'погрешно- персии. Имеем две независимые случайные вести личины, поэтому Щгн+ г,) =.И„+ Вг„, "Т~~ "Т, ая = 1МГя + 1Хя = 2 — =— 12 6 с учетом соотношения (2.7). Среднеквадратическое отклонение при треугольном законе распределения плотности вероятности погрешности равно а = Тайl 6. (2. 11) С максимальной погрешностью оно связано соотношением М = )' б аж 2, 45а. (2.12) l Проведенный анализ овпеделяет погрешность измерения лишь в том случае, когда все погрешности измерительного прибора, эа исключением погрешности дискретизации, пренебрежнйо малы.