Электрорадиоизмерения (В. И. Винокуров), страница 6

В реальном приборе закон распределения вероятности погрешности измерения определяется композицией рассмотренного закона распределения вероятности погрешности дискретизации и законов Рза. пределения погрешностей, обусловленных нестабильностью частоты генератора счетных импульсов, неточностью преобразования измеряемой величины во временной интервал и т.

д. Нормальный закон распределения. Нормальный закон распределения вероятности случайной составляющей погрешности наиболее часто встречается в природе и технике. Он является следствием одновременного действия большого числа независимых факторов, каждый из которых в отдельности незначительно влияет на результат измерения. Строго говоря, нормальный закон представляет собой распределение вероятности суммы невавнсимых случайных величзн с конечнымн дисперсиями при неограниченном увеличении числа слагаемых. На практике число слагаемых (составляющих погрешности) всегда конечно, однако прн сложении даже четырех-пяти случайных величии с различными законами распределения, ио с соизмеримымн дисперсиями, приходим к распределению погрешностей, близкому к мормальному закону, особенно в области больших значений плотности вероят- ности, Для цеитрированной случайной погрешности, имеющей нормальное распрет деление, плотность вероятности определяется выражением 1 ! ха 1 р(х) ==ехр 11 — — ~.

а Р'2п '1 2ат 1 (2.13) ~ 1при любых значениях д. Вероятность того, что погрешность окажется в интервале от х= — г' до х=)г, определяется соотношением и Р( — ь'< х < и)= — ~ ехр ~ — — ~(ггх. (2.14) а к~ям,) 'т 2аэ ) — к Для проведения расчетов удобно связать величину г' со среднеквадратическим 'етклонением, т. е. принять 1' = Га, (2.15) где à — безразмерный коэффициент.

Тогда заменой переменной интеграл (2.14) приводится к известному интегралу зероягносгед, значения которого табулированы: Р( — га< х < га)- = ) ехр ~ — — )Ни=2Ф(г).. (2.16) г'2п,) '1 2 ! ,тго соотношение широко используется при практических расчетах.

Иэ (2.16) следует, что Р ( — За < х < За) = 2Ф (3) =0,9972, (2.17) Величину Зо принимают за максимальную погрешность при нормальном законе Распределения: Л4 =За. (2. 13) Вероятность того, что случайная составляющая погрешности измерения не выходит эа пределы интервала -~.зо, составляет 0,9972, с вероятностью 0,99 ее находят в пределах интервала -~-2,6п, с вероятностью 0.95 — в пределах интервала ш2о. $ 2.2.

Прямое однократное измерение Однократные измерения физических величин. являются наиболее простыми и широко распространенными. Погрешность результата прямого однократного измерения оценивается до его выполнения. При этом нужно помнить, что погрешность измерения и погрешность средства измерения не одно и то же.

Погрешность результата измерения включает, кроме того, 25 Графики нормального распределения вероятности случайной погрешности при двух значениях и приведены на рис 2.5. Кривые симметричны относительно оси г)1, тан как функция р(х4 — четная. Максимум кривых соответствует зйачению :,,т=о. Иэ формулы (2.!3) следует, что распределение плотности вероятности прй .

мормальном законе зависит от параметра о — среднеквадратического отклонения. С увеличением о максимальное.значение р(х) уменьшается, кривая расширяется, становится более пологой (рис. 2.5). Площадь, ограниченная графиком р(х) м осью абсцисс, остается при этом неизменной, равной единице, т. е. ) р (х)гтх = погрешность метода и личную. Все составляющие погрешности результата прямого однократного измерения бчитываются на основе анализа априорной информации.

Она извлекается из опыта проведения подобных измерений, из технической документации, монографий, отчетов о научно-исследовательских работах и других источников информации. Если до проведения измерений удается ~установить границу неисключенного остатка систематической погрешности 8 и среднеквадратическое отклонение о случайной составляющей погрешности, то оценивают их соотношение. При 6<0,5 (2.19) пренебрегают НСП, а при 6 >8э (2.20) — случайной составляющей погрешности. В первом слб чае границу погрешности результата измерения устанавливают равной Ь=2о, за исключением особо ответственных измерений„когда она может приниматься равной Ь=2,6о или Ь=Зо. Во втором принимают Ь=й.

Если 0,5а(6 ..8ч, (2.21) то границу погрешности результата измерения находят по формуле 6=0,8(6+2о), где коэффициент 0,8 учитывает малую вероятность того, что систематическая и случайная составляющие погрешности одновременно имеют свои граничные значения. В том случае, когда оказывается, что априорная оценка погрешности результата измерения превышает допустимую по условиям измерительной задачи, изменяют метод или (условия измерения, заменяют средство измерений или ~уточняют его метрологические характеристики путем дополнительных исследований. Если же ожидаемая погрешность оказывается приемлемой, то выполняют измерение, вносят поправки и записывают результат, например, в следующей форме: Ач-Л, Р=0,95, где А — алгебраическая сумма показания средства измерений и всех поправок.

ГОСТ 8,011 — 72 предусматривает и другие формы представления результата измерения. Распространены прямые однократные измерения в нормальных условиях, при которых всеми погрешностями, кроме инст)Хументальной, можно пренебречь. Анализ составляющих погрешности таких измерений не проводится, а рецультат измерения записывается в виде А ~-Ь, где А — показание средства измерений; Ь вЂ” погрешность, определяемая его классом точности. Во всех случаях числовые значения результата измерения и показателей его точности должны быть округлены так, чтобы их наименьшие разряды были одинаковы, причем в числовых значеннях показателей точности должно быть не более двух значащих цифр.

26 ф 2.3. Прямое многократное измерение А= — ~ ~~а,, 1 (2.2з1 где а; — результат отдельного измерения с ~учетом поправок; У— число измерений. Дисперсия среднеарифметического при некоторых обычно выполняющихся условиях М (и.. — и) = — Маг= —, (2.23) 1 аг 1аг 1Ч ' 1 1 'Вг — г 1 — (аг — а) =— 1Чг ~ ~ ' 1Чг 1 т. е. в У раз меньше дисперсии отдельного измерении. Следова- тельно, если за де й с т в и тел ь н о е значение измеряемой фи- 27 Многократное измерение одной и той же физической величины позволяет уменьшить случайную составляюпаую погрешности измере»на, Если бы можно было найти среднее значение результата отдельного измерения, то сл1учайная составляющая погрешности измерения была бы полностью исключена, так как среднее значение случайной величины есть величина неслучайная.

Однако для этого потребовалось бы бесконечное количество измерений, На практике оио всегда конечно„и вместо среднего значения возможно найти лишь его оценку. Оценки числовых характеристик законов распределения вероятности сггучайных величин (среднего значения, дисперсии и т. д.), изображаемые точкой на числовой оси, называются т о ч е ч н ым и; интервалом — и н те р в а л ь и ы м и. В отличие от самих числовых характеристик оценки являются сггучайными величинами, причем их значения зависят от числа измерений, а распределение вероятности — от закона распределения вероятности отдельного измерения. Оценки должны удовлетворять трем условиям: быть состоятельными, несмещенными и эффективными. Состоятельность указывает, что при увеличении числа измерений оценка сходится по вероятности к истиниомр значению оцениваемого параметра.

Оесмещенность оценки означает, что ее математическое ожидание равно истинному значению оцениваемого параметра. 34фективиость означает, что дисперсия данной оценки меньше, чем дисперсия любой другой оценки. Перечисленным требованиям удовлетворяет такая точечная оценка среднего значения, как с р е дне а р и ф м ет и ч еское зической величины, которое используется на практике вместо истинного, принять среднеарифметическое (2.22), то его среднеквадратическое отклонение, характеризующее случайную составляющую погрешности результата многократного измерения, будет в ~/7ч' раз меньшесреднеквадратического отклонения отдельного измерения, которым определяется случайная составляющая погрешности результата однократного измерения. Среднеквадратическое отклонение отдельного измерения щ входящее в формулу (2.23), точно так же, как и среднее значение а, нельзя определить экспериментально, При конечном числе измерений И вместо него можно найти лишь его состоятельную, несмещенную и эффективную оценку: (2.

24) откуда следует, что точечная оценка среднеквадратического откло- нения результата многократного измерения Таким образом, (увеличивая Л1, если это возможно, случайную составляюш~ую погрешности многократного измерения можно сделать пренебрежимо малой по сравнению с систематической. Такой прием называется ф и л ь т р а ц и е й случайной составляющей погрешности измерения. Числовые значения и качество точечных. оценок также зависят от У. Поэтому при записи результата многократного измерения число )т' указывается обязательно, например: А; зл; У; 8. Форма записи результата многократного измерения регламентирована ГОСТ 8.207 — 76.

Этим же стандартом предбсматривается возможность интервальной оценки погрешности результата многократного измерения. Интервальная оценка погрешности состоит в указании д о в ер и т е л ь н о го и н т е р в а л а, в котором измеряемая 'величина находится с доверительной вероятность.ю. За середиыу интервала принимается среднеарифметическое (2.22). Если число отдельных измерений велико (У~38), то определяемые по форм|улам (2.22), (2.25) оценки А=а; зл=~л (2.26) в силу их состоятельности.

Тогда при нормальном законе распределения результата многократного измерения доверительная вероятность того, что он на (пл отличается от середины доверительного интервала, определяется по формуле (2.16). Задавшись значением доверительной вероятности Р, по таблипе функции Ф(1) находят ее аргумент ! и границы доверительного интервала А.ьгал, называемые доверительны ми границами. Если ПСП можно пренебречь то рез1ультат измерения записывают в виде А+!од; Р, если же ни одной из составляющих погрешности пренебречь нельзя, то, согласно $ 2.2, результат измерения А:йЛ; Р.