В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (Учебник - Сопротивление материалов - В. И. Феодосьев), страница 4

Момент от распределенной силы с1 пз Мд — — Ч и†2 не учитываем, так как он является величиной второго порядка малости. Векторные уравнения равновесия (В5) и (Вб) являют- ся инвариантными (независимыми) по отношению к систе- ме координат. Уравнения (В5) и (Вб) справедливы при исследовании как прямолинейных (см. рис. В5, Вб), так и криволинейных плоских стержней (см.

рис. В4, В9), а так- же пространственно-криволинейных стержней (см, рис. В8). В последующих главах учебника будут более подробно рас- смотрены частные случаи общих уравнений равновесия (В5), (Вб). В качестве примера получим уравнения равновесия для прямолинейного стержня, нагруженного произвольной по на- правлению распределенной силой а (рис. В14). Вектор ц в декартовых осях можно представить так: Рис. В14 Из уравнения (Вб) можно получить три скалярные уравнения равновесия прямолинейного стержня, считал, что осевая линия стержня мало отклоняется при нагружении от прямой (т.е.

дз — «Ь): ~а й~у й~я — +д«=0; — +дя=О; — +«1х=О (В9) «Ь ' «Ь " ' «Ь При малых отклонениях точек осевой линии от прямой можно положить е 1, поэтому векторное произведение (ч 1з 1з1 х С« = 1) х Я = 1 0 0 = — Яя1з+Яу«з. (В10) Яз Яя Яя +1«~ =0; (вп) -~я+Ил=О; +а,+р, =О. Если на каком-то участке стержня в поперечных сечениях возникает нормальная сила Я, = Ф, а прочие внутренние силовые факторы обращаются в нуль, то на этом участке имеет место рос«пяжек««е или сэ«са«пие в зависимости от направления силы ««'. Если в поперечном сечении возникает только момент М, = М„, то в данном сечении стержень испытывает кручение.

Наконец, в случае, если внешние силы приложены таким образом, что в поперечных сечениях возникает только изгибающий момент Мя (или Ми), имеет место час«пый изгиб Из векторного уравнения пения ИМ, «Ь «Ь ИМ, «Ь (Вб) получаем три скалярные урав- в плоскости яОу (или гОх). Обычно в поперечном сеченяи наряду с изгибающим моментом (например, Мя) действует и поперечнал сила Яя. Такой случай нагружения называется поверенным изгибож (в плоскости яОу). Возможны случаи нагрузок, когда стержень работает на кручение, изгиб к растяжение (сжатие)одновременно.

В4. Напряжения Чтобы характеризовать распределение внутренних сил по сечению, необходимо ввести для них числовую меру. За такую меру принимается напряжение. Рис. Втб Рассмотрим сечение А некоторого тела (рис. В15). В окрестности точки К выделим элементарную площадку ЬГ, в пределах которой выявлена внутренняя сила ЬЯ. За среднее напряжение на площадке ЬГ принимаем отношение ЬЯ/ЬГ = = р,р.

Будем уменьшать площадку ЬГ, стягивал ее в точку К. Поскольку среда непрерывна, возможен предельный переход при ЬГ -+ О. В пределе получаем ЬЯ 1пп — = р. ~Г еЬГ Векторная величина р представляет собой полное напряжение в точке К сечения А. В Международной системе единиц (СИ) напряжение измеряется в паскалях (Па). Полное напряжение р может быть разложено на три составляющие: по нормали к плоскости сечения и по двум осям Рис.

Втв в плоскости сечения (рис. В16). Составляющую вектора полного напряжения по нормали обозначают через а и называют нормальным напряженнем. Составляющие в плоскости сечения называются насатнельными напряжениями и обозначаются через т. В зависимости от расположения и наименования осей обозначения а и т снабжают системой индексов, порядок которых будет установлен в дальнейшем. Если через точку К в теле провести другую секущую плошадку, напряжение р в той же точке будет, вообще говоря, другим.

Совокупность напряжений для всего множества площадок, проходящих через точку, образует напряженное состнояние в точке. Напряженное состояние, как мы узнаем в дальнейшем, определяется шестью числовыми величинами и является в сопротивлении материалов одним из наиболее важных понятий. Оно будет подробно рассмотрено в гл. 7.

Начало же курса связано с рассмотрением наиболее простых и часто встречающихся частных случаев напряженного состояния. Вб. Перемещения и деформации Ни один из существующих в природе материалов не является абсолютно твердым; под действием внешних сил все тела в той или иной мере меняют свою форму (деформируются). Изменение формы напряженного тела существенно влияет на распределение в нем внутренних сил, хотя само по себе это изменение формы является, как правило, незначительным и обнвруживветсл в большинстве случаев толью при помощи чувствительных инструментов. 2б Под действием внешних сил точки тела меняют свое положение в пространстве.

Вектор, имеющий начало в точке недеформированного тела, а конец — в соответствующей точке деформированного, называется вектором полного перемещения тночкн. Его проекции на оси координат носят название перемещений но осям. Они обозначаются через и, э и ю соответственно осям х, у и г (рис. В17). Рис. Вгт Кроме линейного перемещения, введем понятие углового перемещения. Если рассмотреть отрезок прямой между двумя близкими точками до и после изменения формы тела, то легко установить, что этот отрезок поворачивается в пространстве на некоторый угол. Этот угол поворота также характеризуется вектором, который может быть разложен по осям х, у и ж Если на систему наложены связи, достаточные для того, чтобы исключить ее перемещение в пространстве как жесткого целого, то система называется кинематически неизменяемой.

Именно такие системы и рассматривают, как правило, в сопротивлении материалов. В противном случае из перемещений всех точек исключают слагающую переноса тела как абсолютно жесткого и сохраняют ту часть, которая характеризует только изменение формы. Тогда для большинства рассматриваемых в сопротивлении материалов систем перемещения и, е и ю любой точки являются малыми по сравнению с геометрическими размерами тела.

На основе малости перемещений в сопротивлении материалов в методику анализа внутренних сил вводят упрощения, 26 носящие принципиальный характер. Одно из них носит название принципа начальных размерое. Согласно этому принципу, при составлении уравнений статики (уравнений равномсия) тело рассматривают как недеформированное, имеющее те же геометрические размеры, какие оно имело до нагружения внешними силами. Так, если в точке А системы, показанной на рис. В18, а, приложить некоторую силу Р, то канат АВ удлинится, стержень АС несколько укоротится, да и вообще система изменится (рис. В18, 6). Зля определения внутренних сил в канате и стержне надо воспользоваться методом сечений и составить уравненкя равновесия для отсеченного деформированного узла А (рис. В18, в).

Здесь, однако, возникает затруднение, связанное с тем, что новые геометрические размеры системы остаются неизвестными, пока не определены внутренние силы, зависящие, в свою очередь, от геометрических размеров. При малых перемещениях указанным обстоятельством можно пренебречь, поскольку деформированная система мало отличается от недефармированной. В этом случае в соответствии с принципом начальных размеров уравнения равновесия составляют для недеформированного узла (рис.

В18, г), и тогда У1 = Р~/2; Ю,=-Р. Рис. В16 Понятно, что изложенный принцип нельзя применять в случае больших перемещений. Кроме того, принцип начальных размеров может оказаться неприемлемым и при малых перемещениях, если при этом форма системы меняется качественно. Например, для двух шарнирно связанных стержней, расположенных на одной прямой, условии равновесия узла А (рис. В19) следует составлять обязательно с учетом угла наклона сз, возникающего вследствие удлинения стержней.

Рис, В19 Системы подобного рода называются игновеииььии .иеяаиизз4амн. Это означает, что в какой-то момент система является кинематическн изменяемой, т.е. допускает перемещения элементов, не сопровождающиеся деформациями. В данном случае кинематическая изменяемость имеет место в окрестности исходного положения, в котором три шарнира находятся иа одной прямой. В отличие от мгновенного обычный механизм обладает кннематической изменяемостью независимо от взаимного расположения составляюших элементов.