В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Определмть усилия, возникающие в тягая, при нагреве их на Ь1'. 1лг 'У,~г А й Рис. 1.16 Разрезаем тяги и вводим силы № и Мз (рис, 1.1б, б). Палее, приравнивая нулю сумму моментов снл относительно шарнира О, получим №а+2№а=б. Положим, далее, что в результате нагрева стержней жесткая белка повернется в эакмет положение А'В' (см. рис.1.1б, б). Из подобкя треугольников ОАА' и ОВВ' получаем Ыз = 2Ы~ илк, согласяо формуле (1. 7), — + 1аЫ ж 2 ( — + 1аЫ Ф21 №1 ЕЕ (ЕЕ откуда №-г№ жЕЕ М. Решая полученное уравнение совместно с уравнением равновесия, найдем № = — (2(б)ЕГо61; /7э = Яб)ЕУо/Эг.
Знак минус перед № указывает на то, что первый стержень не растянут, как зто предполагалось ранее, а сжат. П р н м е р 1.8. При сборке стержневой системы (рис. 1.17, а) было обнаружена несоответствие длин стержней (см. узел А). Сборка была произведена путем принудительного совмещения шарниров А и С.
Определить усилия в стержнях после сборки. ц ~ю, / // Я(э фала В У а Рмс. 1.17 Имеем пять стержней и, следовательно, пять искомых сил. Лля узлов А и В может быть составлено четыре уравненик равновесия, по два иа каждый узел. Следовательно, система одни раз статически иеопределима. Из условий равновесия узлов А и В (ркс. 1.17, б и а) получаем № = /уэ = №~ № = /7з~ /уз + 2№ ажЗО' = О. бб Положки, что после сборки шарнир А сместился вниз на велкчкку в„к занял положение А', а шарнир В сместился вверх на вв (рнс.
1.17, г и д). Тогда, очевидна, Ыг — — вя я!и 30', Ы< — кв сое 30 Удлинение среднего стержня Ыз = гз — ка — ие. Исключая нз эткх выражений нг н кв, получим уравнение перемещений Ыз = сз — 2М + — М. 2 /з Преобразуем это уравнение, вырезке удлинения через силы, 2Фг — 2№ + 11гз = — ЕГ. Ь ( После совместного решения уравнения переыешекин с уравнениями рав- новесия получим Ф! = Фз = вгз = — ЕЕ; зГз гз 2+ззГЗ 1 1 гз №=№= — — ЕГ.
2+зэГЗ 1 Рассмотренные примеры уже дают достаточное представление о принципиальной стороне приемов, используемых при раскрытии статической неопределимости. Прочное овладение этими приемами может быть достигнуто при решении достаточно большого числа задач. Более общий метод раскрытия статической неопределимостн будет рассмотрен в гл. б.
В заключение необходимо обратить внимание на два последних примера. В одном определялись температурные, а в цругом — монтажные усилия. И те и другие могут возникать только в статически неопределимых системах, н это достаточно очевидно. Температурные и монтажные деформации принимаются в расчет только при составлении уравнений деформации. А для статически определимых систем в этих уравнениях нет никакой надобности.
Ь7 1.5. Напряженное и деформированное состояния при растяжении — сжатии Рассмотрим более детально особенности напряженного состояния, возникаюшего в однородном растянутом стержне. Рис. тлв где Г,„— площадь косого сечения, Го = Г/ сова. Таким обра- зом, полное напряжение на наклонной площадке р = осова. Раскладывая это напряжение по нормали и по касательной к наклонной плошадке (рис. 1.18, б), находим Оо = рсово, "те = рв!по, или о,„= псов а; 2 го = 1/2ов|п2а.
(1.10) (1.11) 56 Определим сначала напряжения в некоторой наклонной площадке, составляюшей угол а с плоскостью нормального сечения (рис. 1.18). Полное напряжение р на этой площадке, согласно условию однородности напряженного состояния для всех точек плошвдки, будет одним и тем же. Равнодействующая же внутренних сил в сечении должна быть направлена по оси стержня и равна растягиваюшей силе оГ, т.е. Как видим, для одной и той же точки растянутого стержня значения возникающих в сечении напряжений оказываются различными в зависимости от ориентации секущей площадки.
Поэтому, в частности, неточным было бы утверждение, что при растяжении возникают только нормальные напряжения. Это верно только для площадок, нормальных к оси стержня. Если положить а = О, то из выражений (1.10) и (1.11) мы получим напряжения в поперечном сечении стержня, т.е. о„= о; т,„= О.
Прн а = 90~, т.е. в пропольных сечениях, а,„= го = О. Это значит, что продольные слои растянутого стержня не имеют между собой силового взаимодействия по боховым поверхностям. В этом смысле растяжение стержня можно уподобить растяжению пучка не связанных между собой параллельных нитей. Касательное напряжение то, обращаясь в нуль в продольных и поперечных сеченкях, имеет наибольшее значение на площадках, наклоненных под углом 40" к осн растянутого стержня: стах = о/2 Если из растянутой полосы мы выделим прямоугольник (рис. 1.19, а), то на его гранях АВ и СВ следует приложить напряжения и и то, определяемые выражениями (1.10) и (1.11).
е Рис. 1.19 На рис. 1.19, 6 эти напряжения отмечены сверху штрихом. На гранях ВС и АР напряжения вычисляют также по формулам (1.10), (1.11), в которых только угол а заменяют углом а+ х/2. Эти напряжения отмечены двумя штрихами. Таким образом, то напряженное состояние, которое показано на рис. 1.19, б, представляет собой обыкновенное растяжение, но изображенное в непривычном для нас ракурсе.
Существенно отметить, что переход от произвольной площадки а к площадке (а + 90») не сказывается на абсолютной величине касательного напряжения г>„. действительно, ! 1 . 11 — аяп2а =1->гз1п2(а+ 90 ) . 2 12 Следовательно, на двух взаимно перпендикулярных площадках (еслн отвлечься пока от знаков) касательные напркжения должны быть равными. Это условие является общей особенностью любого напряженного состояния и носит название закона парностпи касап>ельных напрялсений.
Этому закону можно дать наглядное толкование. Если рассмотреть произвольно взятый элемент АВСР (см. рис. 1.19, а), то легко заметить, что, независимо от значений нормальных напряжений и> и ~тн, касательные напряжения г> н гн должны иметь такое значение и такое направление, чтобы моменты их пар взаимно уравновешивались (см. рис. 1.19, 6).
Пля произвольно взятого элемента, имеющего толщину Ь, очевидно, что т'АВ Ь АР = та АР 6 АВ. Таким образом> 1 =г. И При этом, как видно на рис. 1.19, б, векторы касательных напряжений в двух взаимно перпендикулярных площадках направлены либо оба к общему ребру (ребра А н С), либо от общего ребра (В и Р).
Закон парности касательных напряжений в самом общем виде сложного напряженного состояния будет рассмотрен еще раз в гл. 7. Теперь обратимся к анализу деформированного состояния растянутого стержня. 60 Наблюдения показывают, что удлинение стержня в осевом нэлравлении сопровождается уменьшением его поперечных размеров (рис.
1.20). Таким образом, при растяжении возникает не только продольная, но и поперечнал деформация стержня: Ж Ьа сорок = 1 спонер = ! а Рис. 1.20 Экспериментально установлено, что в пределах применимости закона Гука поперечнал деформация пропорциональна продольной: Спопер — Фепроп1 (1.12) где р — безразмерный коэффициент пропорциональности, называемый коэффипиепгаом Пуассона.
Коэффициент и характеризует свойства материала. Определяют его экспериментальным путем. Лля всех металлов числовые значения р лежат в пределах О, 25... О, 35. В дальнейшем, в гл. 7, будет показано, что для изотропного материала значение р вообще не может превышать 0,5. Вернемся к рис. 1.19, а. Полоса удлиняется в продольном направлении и сужается в поперечном. Стороны прямоугольника АВСР, начерченного на поверхности полосы, изменят свою длину, а сам прямоугольник перекосится и превратится в параллелограмм. Углы А и С уменьшатся, а В и Р— увеличатся.
Это изменение прямого угла для заданной ориентации сторон, как нам уже известно, называется угловой деформацией или углом сдвига. Чтобы найти его, мы определим сначала углы, на которые повернутся отрезки АВ и АР. Разность этих углов и даст нам искомый угол сдвига. 61 Начнем с отрезка АВ (рис. 1.21). Построим на нем, как на диагонали, вспомогательный прямоугольник АКВА, стороны которого КВ и АЬ ориентированы'по продольной оси стержня.
Вследствие продольного удлиненкя точка В переместится вправо и отрезок АВ повернется на угол ВВ ВК вЂ” сова = — вдрод сова. АВ АВ Рис. 1.21 В результате поперечного сужения отрезок АВ получит дополнительный угол поворота ВзВз . АК вЂ” в1по = е Б1по. 1В д<'ядР Сумма этих углов дает нам искомый угол поворота отрезка АВ: мх = (едрод + вдоддр) в1па сов а, или ыа = — (1 + р) в1п 2а. 2Ю Изменяя угол а на 90д, найдем положение отрезка АВ: мо+веа = — — (1+ р) в1п2а. 2Е Угловая деформация (угол сдвига) определяется разностью углов поворота отрезков, и, следовательно, о 7а = ~"а д~а+вв" = (1 + р) нп2о. 2К Сопоставляя это выражение с выражением (1.11), выведенным для напряжения то, замечаем, что угол сдвига между плоскостями АВ и АС независимо от а пропорционален касательному напряженкю, т.е 2(1+ м) 7а = та- Е Это соотношение в случае изотропного материала является единым для всех типов напряженных состояний и носит название эакаиа Гука для сдвига.
Опуская индекс о, напишем последнее выражение в виде т 7= дФ где величина С называется модулем сдвига, или модулем уиругосгаи вгиорого рода: Е 2(1+ р) Модуль С измеряется в тех же единицах, что и модуль Е. Таким образом, если закон Гука для растяжения постулируется при помощи соотношений (1.4) и (1.12), то для сдвига он вытекает из них как следствие. 1.6.
Испытание материалов на растяжение — сжатие При решении простейших задач на растяжение и сжатие мы уже встретились с необходимостью иметь некоторые исходные экспериментальные данные, на основе которых можно было бы построить теорию. К числу таких исходных экспериментальных данных относится в первую очередь уже знакомый нам закон Гука. Основными характеристиками материалов при этом являются модуль упругости Е и коэффициент Пуассона и. Понятно, что в зависимости от свойств материала эти величины меняются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
