В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Особый класс задач, где, по сушеству, необходимо отступить от принципа начальных размеров, образуют задачи устойчивости, приведенные в гл. 13. Лля того чтобы характеризовать интенсивность изменения формы и размеров, рассмотрим точки А и В недеформированного тела, расположенные одна относительно другой на расстоянии з (рис. В20). Пусть в результате изменения формы тела это расстояние увеличится на Ьз. Отношение приращении длины отрезка Лз к его начальной длине назовем средним Рис. В20 28 удлинением на отрезке ж Ьз/з = гср. Будем, далее, уменьшать отрезок з, приближая точку В к точке А. В пределе получим Вт Ьг/з = г„в., з О величина г„в называется линейной деформацией (или просто деформацией) в точке А по направлению АВ.
В той же точке в другом направлении деформация, вообще говоря, будет другой. Если рассматривают цеформации в направлении координатных осей х, у и г, в обозначенке г вводятся соответствующие индексы. Тогда имеем гг, гя и гз. Следует подчеркнуть, что слово "деформация" кмеет двоякий смысл. В обиходном языке под деформацией понимается вообще всякое изменение формы без количественной оценки.
В сопротивлении материалов и в теории упругости деформация имеет данное выше строгое определение и является количественной мерой изменения геометрических размеров в окрестности точки. Пеформация является безразмерной величиной (ее измеряют также в процентах Ьз по отношению к з). Поскольку форма тела меняется незначительно, деформации также имеют малую величину. Пля конструкционных материалов, в частности, деформации лежат в пределах долей процента.
Кроме линейной деформации введем понятие угловой дефармации. Рассмотрим прямой угол, образованный в недеформированном теле двумя отрезками ОР и ОС (см. рис. В20). После нагружения тела внешними силами зтот угол изменится и станет равным С'О'Р'. Будем уменьшать отрезки ОС и ОР, приближая точки С и Р к точке О и оставляя при этом угол СОР прямым. Предел разности углов СОР и С'О'Р' 7соо = Нт 1 СОР— С'О'Р' ) ос-о ~ оо-а называется угловой деформацией, или углом сдвига в точке О в плоскости СОР. В координатных плоскостях углы сдвига обозначают через 7я„7зг и 7гя. Совокупность линейных деформаций по различным напра; влениям и угловых деформаций в различных плоскостях для одной точки образует деформированное состояние в точке.
Леформированное состояние, так же как и напряженное состояние, определяется шестью числовыми величинами. Более подробно этот вопрос будет рассьютрен в гл. 7. Рис. наг Следует четко различать понятия деформации и перемещения и не допускать довольно распространенной ошибки, когда абсолютное удлинение стержня или осадку витой пружины называют деформацией. Это — не деформации, а перемешения. Заметим также, что если какой-то участок стержня перемешается, то зто вовсе не значит, что он деформируется.
Наглядный тому пример показан на рис. В21. Участок стержня ВС получает перемещения вследствие деформации участка АВ, но сам не деформируется. Вб. Закон Гука и принцип независимости действия сил Многочисленные наблюдения за поведенкем твердых тел показывают, что в большинстве случаев перемещения в определенных пределах пропорциональны дейстеуюшим силам.
Эта закономерность была дана Гуком в 1660 г. в формулировке "каково удлинение, такова сила", что по латыни звучало "пг гепа1о гбс ч! з". Но закон был опубликован только в 1676 г. в виде анаграммы лсешпоаааг1ич". Так выглядела приоритетнал заявка того времени. Если рассмотреть перемещение произвольно взятой точки А (см. рис.
В17) по некоторому направлению, например по оси х, то ил — — беР, (В12) где Р— сила, под действием которой происходит перемещение и„, а бх — коэффициент пропорциональности между силой и перемещением. ае Очевидно, этот коэффициент зависит как от физических свойств материала, так и от взаимного расположения точки А и точки приложения силы и вообще от геометрических особенностей системы. Таким образом, выражение (В12) следует рассматривать как закон Гука для системы.
В современной трактовке эакон Гука определяет линейную зависимость межпу напряжением и деформацией, а не между силой и перемещением. При этом устанавливаются линейные зависимости, свойственные состоянию материала в тпочке. Коэффициенты пропорциональности в этом случае представляют собой физические константы материала и уже не связаны с геометрическими особенностями системы в целом. Зв; кон, таким образом, выражает свойства самого материала. На основе такой формулировки закона Гука могут быть получены линейные зависимости типа (В12) между перемещениями и силами для конкретных систем.
Физические константы материала будут введены в последующих главах при рассмотрении частных случаев напряженного и деформированного состояний. В обобщенной трактовке закон Гука будет сформулирован в гл. 7. Пока же для выявления основных свойств напряженных тел ограничимся рассмотрением соотношения (В12), типичного для подавляющего большинства систем. Заметим сразу, что принятая линейная зависимость между перемещениями и силами сохраняется как при возрастании, так и при убывании сил и предопределяет, следовательно, упругие свойства системы. Это же подтверждается и опытом, который показывает, что в случае указанной линейной зависимости твердое тело полностью восстанавливает свои первоначальные размеры и форму после устранения внешних сил. Системы, для которых соблюдается условие пропорциональности между перемещениями и внешними силами, называются линейными и подчиняются принципу суперпоэиции, или принципу неэависимостпи деостпвия сил.
В соответствии с этим принципом перемещения и внутренние силы, возникак~щие в упругом теле, считаются не зависящими от порядка приложения внешних сил. если к системе приложено несколь. ко сил, то можно определить внутренние силы, напряжения, 31 перемещения и деформации от каждой силы в отдельности, а затем результат действия всех сил получить как сумму действий каждой силы. Положим, что к некоторой системе приложена сила Р1. Перемешение, которое вызовет зта сила в произвольной точке А по направлению, например, оси к, будет, согласно выражению (В12), следующим: (В13', ия, — — бя1Р1.
Примем теперь, что сила Р1 снята и в некоторой другой точке упругого тела приложена сила Рз. Перемещение, которое вызовет зта сила в точке А, будет таким: (В14) ияз = бяаРз. и„= б„Р1 + б' Рз. (В15) Коэффициент бя, будет тем же, что и в формуле (В13), поскольку силу Р1 прикладывали к ненагруженной системе. Коэффициент же б', в отличие от формулы (В14), помечен штрихом, так как силу Рз прикладывали не к свободной системе, а к системе, предварктельно нагруженной силой Р1. Если коэффициенты б'„и бяя различны, то следует признать, что б' зависит от силы Р1.
Но это противоречит принятому предположению о линейной зависимости перемещений от пействуюших сил. Следовательно, б' от сил не зависит. Выражение (В15) при Р1 = 0 должно переходить в выражение (В14). Поэтому б' = бя, и тогда ия — — бя, Р1 + бя. Рз.
Таким образом, перемешенне определяется как сумма результатов независимых действий сил Р1 и Рз. Если изменить зз Коэффициенты пропорциональности б, и бя будут различными, поскольку силы Р1 и Рз приложены в разных точках тела. Рассмотрим теперь совместное действие сил Р1 и Рз. Приложим сначала силу Р1, а затем, не снимая ее, силу Рз. Тогда перемещение, которое получит точка А, можно представить следуюшнм выражением: порядок приложения сил, то можно путем аналогичных рассуждений прийти к тому же выражению (В15).
Следовательно, результат действия сил не зависит от порядка их приложения. Это положение легко обобщается и на случай любого числа сил. Итак, в основе принципа независимости действия сил лежит предположение о линейной зависимости между перемещениями и силами, а также связанное с ним предположение об Ьбратимости процессов нагрузки и разгрузки. Системы, не подчиняющиеся изложенному в предыдущем параграфе принципу начальных размеров, обнаруживают нелинейные зависимости между силами и перемещениями, поэтому к таким системам неприменим также и принцип независимости действия сил (см., например, систему, представленную на рис.
В19). Вместе с тем не всякая система, подчиняющаяся принципу начальных размеров, будет подчиняться и принципу независимости действия снл. Ксли при малых перемещениях сами свойства материала таковы, что перемещения зависят от сил нелинейно, то такал система, подчиняясь первому принципу, не подчиняется второму. Принцип незавксимости действия сил является основным при решении большинства линейных задач сопротивления материалов. В7. Обпгие принципы расчета элементов конструкции В результате расчета нужно получить ответ на вопрос, удовлетворяет или нет конструкция тем требованиям надежности, которые к ней предъявляют.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
