В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Вб) является упрошенной моделью реального крыла, однако позволяет определить критическую скорость полета, при превышении которой начинаются нарастаюшие поперечные колебания крыла — флаттер— одно из самых опасных явлений, ставших причиной многих катастроф. На рис. В7 показан гибкий стержень (вал), находяшийся в жестхом канале, осевал линия которого, в обшем случае, может быть пространственно-криволинейной. Вал предназначен для передачи крутяшего момента от точки 0 (вход) к точке К ~выход).
Подобные стержневые элементы конструкции используют в роботах и манипуляторах в производстве, имеюшем дело с радиоактивными вешествами. Рис. ВТ Очень широкое распространение в технике (системы амортизации и виброзащиты) имеют различного типа пружины, в том числе, цилиндрические (рис. В8, а) и фасонные (рис.
В8, 6), математической моделью которых является пространственно-криволинейный стержень. Рис. ВВ Различного типа трубопроводы и шланги (рис. Вй), предназначенные для транспортировки жидкостей, рассчитывают с использованием модели стержня. Рис. ВЯ Элементы конструкций, которые рассчитывают с использованием математических моделей пластин и оболочек, рассмотрены в гл. 10. Математическая модель включает силы, которые действуют на конструкцию; их особенности и характер поведения при нагружении. Условно все нагрузки, действующие на реальные конструкции, можно разделить на детерминированные, о которых все известно, и случайные, поведение которых непредсказуемо.
зе В курсе сопротивления материалов, также как и в курсе теоретической механики, рассматривают детерминированные нагрузки. Методы учета случайных нагрузок, действующих на конструкции, изучают в курсах статистической механики н теории надежности. Рис. Вто В качестве примера на рис. В10 показано действие случайных сил на автомобиль, движушийся по дороге с неровностями (к сожалению, очень распространенный случай). В результате возникают случайные колебания подвесок, что может привести к усталостному разрушению (более подробно об этом см. в гл. 12). ВЗ. Силы внешние и внутренние.
Уравнения равновесия стержня Силы подразделяют на екешкпе, приложенные к конструкции, и виугпрепнне, возникаюшие в элементах конструкции. На рис. В2 показаны внешние силы, приложенные к стержню. Различают поверяносгпные, как на рис. В2, и объемные внешние силы. Поверхностные силы могут быть приложены к малым участкам поверхности (это сосредогпоченные силы, например Р1 и Р„на рис. В2) или к конечным участкам поверхности (это распределенные склы, например о и оь на рис.
В2 и ВЗ). Они характеризуют взаимодействие конструкции с другнмн конструкциями или с внешней средой, например взаимодействие конструкций с потоком воздуха (см. рис. ВЗ, В6) или жидкости (см. рис. В9). Объемные силы распределены по объему тела (например, дз на рис. ВЗ). Это силы тяжести, магнитного притяжения, силы инерции при ускоренном движении конструкции. К числу внешних относят не только заданные силы, которые часто трактуют как первопричину возможного разрушения, но также и реакции связей (например, сила В, показанная на рис.
В9). Взаимодействие между частями рассматриваемого объекта характеризуют внутренние силы. Они возникают не только между отдельными взаимодействующими узлами конструкции, но также и между всеми смежными частицами объекта при нагружении. Рассмотрим стержень, показанный на рис. В11. Внутренние силы в стержне можно наглядно представить, если мысленно рассечь его на две части.
Такой прием выявления внутренних сил в сопротивлении материалов носит название метода сечений. Наиболее удобно рассматривать сечения, ортогональные осевой линии стержня. Рис. В11 Метод сечений основан на следующем принципе: если конструкция поп действием внешних сил находится в равновесии, то и любая ее часть находится в равновесии. Этот принцип позволяет установить связь между внешними н внутренними силами.
Так как связи между выделенными частями стержня устранены, необходимо действие правой части на левую и левой на правую заменить системой сил в сечении, т.е. ввести систему внутренних сил (3л и М,~, где ЧА — вектор га О+1з=б; М+ Яй= О, (В1) (В2) где (3 — вектор внутренних сил, приведенных к точке Π— центру тяжести сечения; М вЂ” вектор момента от внутренних сил относительно точки О' (рис. В12).
Каждое из векторных уравнений (В1) и (В2) в проекциях на декартовы оси дает три внутренних сил; МА — вектор внутренних моментов в сеченик А стержня (см. рис. В11). Таким образом, внутренние силы определяют взаимодействие между частицами тела, расположенными по разные стороны от мысленно проведенного сечения. В различных сечениях возникают, естественно, различные внутренние силы. Внутренние силы по принципу действия и противодействия всегда взаимны. Правая часть действует на левую точно так же, хак левал на правую, и система сил, возникающих в плоскости А(4) обратна по знаку системе сил, действующих в плоскости А(1 ). Внутренние силы распределяются некоторым образом по поверхности проведенного сечения, но во всех случаях они должны быть такими, чтобы удовлетворялись условия равновесия для правой и левой частей стержня в отдельности, Например, как следует из основных положений статики, для правой части стержня (см.
рис. В11) систему пространственных сил и моментов можно привести к точке О' сечения (центру тяжести сечения). В результате получим главный вектор сил М и главный момент йЛ. Опускал индекс "А", запишем уравнения равновесия правой части стержня: скалярные уравнения, позволяющие (если среди внешних сил нет неизвестных реакций) определить три проекции вектора внутренних сил Ч и три проекции вектора момента М как на оси г, у, х, так и на связанные с сечением оси я', у', х'. Если, например, для проекций вектора сил С4 и проекций вектора момента М в связанной системе г', у', х' ввести соответственно обозначения Я,о Яя~, Я ~ и М ~, М,~, М ~, то векторы Я и М для произвольного сечения можно представить так: (3 = (~д'е1 + (~егия + Де1ез) М = М, е1+ Мягез + М,~ез.
(вз) (В4) го В сопротивлении материалов приняты следующие обозначения и определения для проекций векторов Я и М: Я, = Л— осевая сила, направленная по касательной к осевой линии стержня; Яя~, Я . — перерезыеающие силы; М г = ̄— крутящий момент; М,~ и М ~ — изгибающие моменты. Уравнения равновесия конечной части стержня позволяют наглядно представить связь между внешними и возникающими при нагружении внутренними силами. Если считать стержень (в более общем случае конструкцию) абсолютно жестким и прочным, как это принято в теоретической механике, то внутренние силы особого интереса не представляют.
Считая конструкцию абсолютно жесткой ( не деформируется) и абсолютно прочной (не разрушается), предполагают,что конструкция может выдержать любые нагрузки. Однако опыт показывает, что это, к сожалению, далеко не так. Реальные конструкции под действием внутренних сил деформируются и прн превышении определенных значений внутренних сил становятся неработоспособными.
Поэтому в механике сплошной среды основное внимание уделяется анализу внутренних сил, что можно сделать, если рассматривать равновесие не конечной части стержня, пластины или оболочки, а бесконечно малого их элемента (это основной метод исследования в механике сплошной среды). Недостатком уравнений равновесия (В1), (В2) является, как уже говорилось выше, то, что использовать их можно только тогда, когда все внешние силы, приложенные к отсеченной части стержня, известны. Но если на стержень наложены локальные связи (например, шарнирное закрепление, как показано на рнс. В9), то эти уравнения мало полезны. Кроме того, получить из этих уравнений зависимость внутренних сил, например, от осевой координаты я (см.
рис. В11) практически невозможно. Поэтому рассмотрим общий метод, позволяющий исследовать внутренние силы, возникающие в стержне при любых внешних силах и условиях его закрепления. Рассмотрим элемент стержня бесконечно малой длины Нз, показанный на рнс. В13. Элемент находится в равновесии, так как стержень в целом находится в равновесии. Поэтому внешние нагрузки, действующие на элемент стержня (распределенные сила с1 и момент и), и внутренние сила Я и момент М должны быть уравновешены. Считается, что линии действия распределенной силы и проходят через осевую линию стержня.
Внутренние сила Я н момент М в общем случае изменяются по длине стержня, поэтому в правом и левом сечении они отличаются между собой на бесконечно малые приращения НЯ и НМ. ис. Элемент стержня находится в равновесии, поэтому сумма сил равна нулю: Я + Щ) — Я + с1 Из = 0> или — +с1 = О. Щ (В5) Ня Сумма моментов от распределенных и сосредоточенных сил и моментов, например, относительно точки О (см. рис.
В13) — центра тяжести левого сечения — должна быть равна нулю, т.е. я = Чл1з + Чя1г + ч,1з. Аналогично можно записать векторы Я и М: Ч = Я 11 +Яя1г+Юя1з; М = М,з1 + М„1г + М,зз. (В7) (В6) гг (М+ ИМ) — М+ 7зйя+ Из]ез х (Ц+ ~Щ)] = О. После преобразования, сохраняя только слагаемые первого порядка малости, получаем НМ вЂ” + м + (е1 х Ся) = О, Из (Вб) где е1 х Ц вЂ” векторное произведение единичного вектора ез, направленного по касательной к осевой линии стержня, и век- тора внутренних сил Ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
