В. И. Феодосьев - СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ (995486), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Сделаннал оговорка относится не только к растяжению и сжатию, но и ко всем другим видам нагружения, которые будут рассмотрены в дальнейшем. Гиены <пиж ясли Х Рис. г.з При растяжении, однако, не всегда возникает однородное напряженное состояние. Например, у стержня с переменной площадью поперечного сечения (рис. 1.5, о) напряжения меняются по длине и напряженное состояние неоднородно. То же самое имеет место и для стержня, нагруженного собственным весом 1рис. 1.5, б).
1.2. Удлинения стержня и закон Гука. Уравнения равновесия Размеры растянутого стержня меняются в зависимости от величины приложенных сил. Если до нагружения стержня его длина была равна 1, то после нагружения она станет равной 1 + Ы (рис. 1.6). Величину Ы называют абсолюгикым удлинением скзержкя. А йя Ркс. 1,6 Ы е = —. Эта величина называется о~икоскгкелькым удлккекке.к скгержкя. Если стержень нагружен сосредоточенной силой Р и распределенными силами о (наиболее обший случай), то относительное удлинение е не будет постоянным по длине стержня. Получим выражение для относительного удлинения стержня, рассматривал элемент стержня между плоскостями АА и ВВ (1,2) Будем считать, что абсолютное удлинение и деформадии связаны только с напряжениями, возникающими в стержне. В действительности имеются и другие факторы, влияюшие на деформации.
Так, деформации зависят от температуры и времени действия нагрузки. Неупругие деформации зависят от "истории" нагружения, т.е. от порядка возрастания и убывания внешних сил. Пока, однако, этих вопросов мы касаться не будем. Если стержень нагружен только силой Р, то напряженное состояние является однородным и все участки растянутого стержня находятся в одинаковых условиях; деформация е по оси стержня остается одной и той же, равной своему среднему значению по длине 1: до и после нагружения (см. рис. 1.6).
Если обозначить перемещение плосхости АА элемента стержня через и, то плоскость ВВ будет иметь перемещение, равное а+ Ыи, где Ни = Ь(Не)— дополнительное перемещение нз-за растяжения элемента Из стержня. Тогда относительное удлинение элемента будет рав- но (1.4) Величина Е представляет собой коэффициент пропорциональности, называемый модулем упругосши переоео рода. Модуль упругости является физической константой материала и определяется экспериментально. Величина Ю измеряется в тех же единицах, что и о, т.е.
в мегапаскалях. Вместе с тем, поскольку модуль упругости может иметь довольно большие числовые значения, его предпочтительнее измерять не в мега-, а в гигапасхалях: 1 ГПа=1000 МПа. Лля наиболее часто применяемых материалов модуль упругости Ж имеет следующие значения, ГПа: и+ Ии — и Иа е = оз де Заметим, что вследствие равномерного распределения напряжений по сечению удлинения для всех элементарных отрезков (см. рис. 1.6), взятых на участке Иа, сказываются одинаковыми. Следовательно, если концы отрезков до нагружения образуют плоскость, то и после натруженна стержня они образуют плоскость, но смещенную вдоль оси стержня. Это положение может быть взято в основу толкования механизма растяжения и сжатия и трактуется хан аиоошеэа плоская сечений (гипотеза Бернулли).
Если эту гипотезу принять как основную, то тогда из нее, уже нак следствие, вытекает высказанное ранее предположение о равномерности распределения напряжений в поперечном сечении. В пределах малых удлинений для подавляющего большинства материалов справедлив закон Гука, который устанавливает прямую пропорциональность между напряжениями и деформациями: Сталь Медь Латунь . Алюмкнкй и алюмкниево-мвхнкевые сплавы . Беркллкй . Вольфрам Молибден Титан Алмаз дерево вдоль волокон .
Стекловолокно . Кварцевое волокно . Бороволокко Карбидное волокно....... Промышленное углеродкое волокно высокомодульное . Промышленное углеродиое волокно высокопрочное .. Эпоксидиые смолы Усы (нитевидные кристаллы): Графит. Сапфир (А1гОз) Асбест . Гба-200 ша 100-120 та-за 240 410 зза 1аа 1030 3 — 12 та-вз та аза 330 310-343 220-250 2-3 < баа < 330 170 Закон Гука представляет собой простейшую и очевидную аппрохсимацию наблюдаемой в опытах зависимости удлинения от напряжения. Естественно, что точность этой аппроксимации определяется в первую очередь тем, сколь широкий диапазон изменения напряжения имеется в виду.
Всегда можно подобрать достаточно малый интервал напряжений, чтобы в его пределах функцию б = у(о) можно было бы с заданной точностью рассматривать ках линейную. И конечно, для разных материалов это выглядит по-разному. Лля некоторых материалов, таких как, например, сталь, закон Гука соблюдается с высокой степенью точности в широких пределах изменения напряжений. Для отожженной меди, для чугуна этот интервал изменения напряжений существенно меньше. В тех случаях, когда закон Гука явно не соблюдается, деформацию задают и виде некоторой нелинейной функции от напряжения б = Дп) с таким расчетом, чтобы эта функция отвечала кривой, полученной при испытании материала. Вернемся к выражению (1.4) и заменим в нем а на Ф/Г, а с на аи/ою Тогда получим ЖИг Нв = — > ЕГ' илн Ии Л вЂ” — — = О.
Ыя ЕГ (1.5) С ! Ы= Ии= (1.7) 0 0 В том случае, когда стержень нагружен только по концам, нормальная сила Л = Р не зависит от ю Если, кроме того, стержень имеет постоянные размеры поперечного сечения Г, то нз выражения (1.5) получаем Р1 Л = —. ЕГ (1.7 а) При решении многих практических задач возникает необходимость наряду с удлинениями, обусловленными напряжением о, учитывать также удлинения, связанные с температурным воздействием. В этом случае пользуются способом В результате получаем систему, состоящую из двух уравнений: первого уравнения системы (В9) (полагал 1~~ = /У) и уравнения (1.5), которзл позволяет определить напряженно- деформированное состояние прямолинейного стержня, нагруженного осевыми силами: ИЛ~ — + д(з) = О; Ыи М вЂ” — — = О.
Ыз ЕГ Из первого уравнения системы (1.6) находим осевое усилие Л(я), а из второго — и(к). Получаемые выражения для 57 и в будут содержать две произвольные постоянные, определяемые из двух краевых условий: при х = О и г = 1. Абсолютное удлинение стержня переменного сечения на длине 1 будет равно наложения и деформацию е рассматривают как сумму силовой и чисто температурной дврормации: и е = — +а1 Е ! где а — коэффициент температурного расширения материала. Ляя однородного стержня, нагруженного по концам и равномерно нагретого, получаем Р! Ы = — +1а1.
ЕР Таким образом, силовая и температурная деформации рассматриваются как независимые. Основанием этому служит экспериментально установленный факт, что модуль упругости Е при умеренном нагреве слабо меняется с температурой, точно так же как и а практически не зависит от о. Лля стали зто имеет место до температуры порядка 300... 400 оС. При более высоких температурах необходимо учктывать зависимость Е от 1. Рассмотрим примеры определения напряжений и перемещений в некоторых простейших случаях растяжения и сжатия.
П р и и е р 1.1. Требуетса вызвмть закон изменение нормальныи сил, напрзженик к перемещений по длине ступенчатого стержне, иагружеикого на какие силой Р (ркс. 1Л, а), определить числовые значение наибольшего напражениа и наибольшего перемещение, если Р = БЕ кн, Р = 2 смз, 1 = 1 м. Материал — сталь„Е = 20е ГПа. Поскольку сила Р велика, собствемный вес стервсна можно ие учитывать. Из усяовий равновесия любой отсечеллой частя стержия вытекает, что нормальная сяла Ф в каждом сечевяя стержня раааа вяашней сале Р. Построим график кзмененмя склы Ф вдоль ося стержня. Графиня подобного рода называются в сопратмвлеяыи матеряалов зпюрами.
Они дают наглядкое представлеыие о законах кзмеяеняя различных мсследуемых велкчмн. В данном случае эпюра нормальной силы лрецставлена на рмс. 1.7, и прямоугольямком, поскольку К = Р = савве. На рвсунке элюра Ф заштрихована линиями, которые проведены параллельно отклалываемым ла графике значениям К. В дакыом случае значение силы 17 откладывают вверх, поэтому штриховка проведена вертыкальмо. Пля того чтобы получить эпюру напряженый а, надо ордмнаты эпюры Ф измеямть обратыо пропорцмонельпо велмчмве Г (рмс. 1.7, е). Большее значение а равно а„„= Р/Ген, = бб кН/2 смз = 250 МПа. Определям перемещение и (см) каждого ссчемня стержня по иалра.- влеямю смлы Р.
Перемещекке я-го сечеяия равна удлкиеняю отрезка длиной г, Следовательно, согласна формуле (1.6), в = Ра)(ЕГ). Такмм образом, на участке изменения я от муля до 1 перемещенме и пропорционально я (ряс. 1.7, е). На втором участке стер1лня перемещеияе а = РЦ(ЕГ) + Ря1((2ЕГ). Завлсимость и от з1 таяне будет линейной. Наибольшее перемещение имеет торцевое сеченые стержня: вэ„„= = 2Р1ДгЕГ) = 1, 87 П р л м е р 1.2.
Построить зпюры нормальных сил, напрюкенпй и перемещекий для свободно подвешенного цмляндрическага стержня, нагруженного силамм собственного веса (рмс. 1.8, а). Длина стержня 1, площадь поперечного сечеякя Г, плотность материала 7. г 1Е Рмс. 1.8 Нормальная сила в сечепнм я равна весу нижележащей частк стержня: У = тГз.
Следовательно, нормальная сила пропорциональна я. Элюру Ф в данном случае штрихуют горизантальнымм линиями, иоснольку 46 значения Ф откладмвают в горизонтальном направлении (рис. 1.В, 6). Напряжение в сечении равно а гя (см. ркс. 1.8, а). Перемещение е в сечении з равно удлинению верхнего участка стержня. Согласно формуле (1.б), н= / — = — (( — з). 7ИеС 7 з з ЕР 2Е Таким образом, закон изменения и изображается квадратичной функцией з, Наибольшее церемещеине км„имеет ниягнее торцевое сечение (рнс. 1.8, е): 1з 2 2Е П р к м е р 1.3. Колонна (рнс.
1.9, а) нагружена силой Р к силами собственного веса. Требуется подобрать такой закон изменения площади поперечного сечения Г = Р(з), чтобы напряжения во всех сечениях были одинаковы к равны Р(ге. Построить эпюры нормальных скл, капряженик н перемещений.
Ре ~Р а е е г Рнс. 1.9 На расстоянии з от торца нормальная сжимающая сила Ф равна 1У = Р+7 е По условию задачи Р+7 /Гс е Р = — = сопэз, Ге откуда « Р+7 / Гйс = — Г. Р Го а дифференцируя обе части этого равенства по «, получим 7Г Р 6Г Р 6Г = — —, или 6« = — —. После интегрирования находим Га 7Ге « = — (1п à — 1пС), или Г = Се17~«««~ 1. 7 Ге Прн г = 0 Г = Ге, следовательно, С = Го и тогда искомый закон изменения площади Г принимает вид Г = Геет «« Построение эпюр удобнее всего начинать с эпюры напряжения к, которое вдоль оси колонны по условию ие меняется (рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
