Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (Учебник Беклемишева), страница 9

если дюйм равен примерно 2,5 см? Упражнении 1. Пусть в некотором базисе скалярное произведение вычисляется па формуле (2). Докажите, что базис ортонормированный. 2. Используя свойства скалярного умназкення, лаказките, чта высоты произвольного треугольника пересекаются в одной точке. 3. Найдите сумму векторных проекций вектора а на стороны заданного правильного треугольника. 4.

Построены векторы, перпендикулярные граням пронзвальнага тетраэдра, равные по длине площадям этих граней н направленные в стороны вершин, противоположных граням. Докажите, что сумма этих векторов равна О. б. Дав трехгранный утоп. Используя свойства векторного произведения, найдите выражение кякага-либо из ега лвугрвнных углов через плоские углы. 6. Пусть дан положительный базис аа ориентированной плоскости такай, что ~ел~ = 2, ~ез( = 3 и (ел, ее) = 2.

Найдите плошадь ориентированного параллелограмма, построенного на векторах аЛ1, 2) н ЬЛ2, 1). Т. При каком условии на матрицу перехода ат одного базиса к другому оба базиса ориентированы одинакова" .Вонрос поставлен как для плоскости, так и для пространства. 8.

Какова размерность векторов взанмнага базиса е,',е*,,ел, если векторы базиса ел, ем ел измеряются в савтиметрах? ГЛЛВЛ И ПРЯМЫЕ ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ 2 1. Общее понятие об уравнениях 1. Определения. Начнем с простого примера. Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат. Рассмотрим сферу радиуса г, центр которой находится в точке Г с координатами (а,Ь,с). Сфера множество всех точек, отстоящих от центра на одно и то же расстояние г. Обозначим через (х, у, з) координаты некоторой точки М и выразим через них равенство ~РЪ~~ = г: (х — а)з ч- (у — Ь)з + ( — с)з = Возводя в квадрат обе части равенства, мы придадим ему более удобную форму (х — а)з + ~у — Ь) ч- (з — с) = гз.

(2) Очевидно, что это равенство выполнено для всех точек сферы и только для них, и, следовательно, его можно рассматривать как запись определения сферы при помощи координат. Равенство (2) называется уравнением сферы в рассматриваемой системе координат. Приведем пример из геометрии на плоскости. Графиком функции ~ называется линия Е, состоящая из точек, координаты которых связаны соотношением у = Дх). Если нас интересует в первую очередь линия, а не функция, мы можем встать на другую точку зрения и считать, что соотношение у = Дх) есть уравнение линии Л. Вообще, под уравнением множества о в некоторой системе координат следует понимать выражение определения множества л' через координаты его точек, т. е.

высказывание, верное для координат всех точек множестяа и неверное для координат точек, ему. не принадлежащих. Чаще всего уравнение представляет собой равенство, записанное ьчатематическими символами, но это вовсе не обязательно: оно может быть словесным описанием, перечислением и т, д, Например, высказывание "обе координаты точки — рациональные числа" мы будем считать уравнением соответствующего множества в какой-либо заранее выбранной системе координат. Это должно звучать естественно для читателя, знакомого со способами задания функций. Часто уравнению множества точек в планиметрии можно придать вид Г(х, у) = О, а в стереометрии вид Г(х, у, з) = О, где Г функция соответственно двух или трех переменных.

Уравнение сферы (2) у1. Общее понятие об уравнениях 41 имеет такой вид, если не замечать то несущественное обстоятельство, что член г' написан в другой части равенства. Может случиться, что уравнение какого-либо множества удобнее записать в виде неравенства. Например,щар, ограниченный сферой с уравнением (2), имеет уравнение (х — а)~ + (у — Ь) + (з — г)з ( гз. Однако напрасно было оы надеяться разделить множества на такие, которые задаются равенствами, и такие, которые задаются неравенствами. Действительно, равенство Ф(х, у,з) = Г(х, у, з) — ~Р(х, у.з)~ = О задает то же множество, что и неравенство Р(х, у, з) > О.

Следует подчеркнуть зависимость уравнении от системы координат. При изменении системы координат меняются координаты точки, а потому уравнения одного и того же множества в разных системах координат, вообще говоря, различны. Обучаясь матоматике, мы знакомимся с логическими и математическими правилалеи, по которым из одного верного высказывания можно получить другое верное высказывание.

Строгое изучение этих правил относится к специальной науке -- математической логике. Мы же, формулируя приведенные ниже предложения, просто будем считать, что такие правила известны. Естественно поэтому, что о доказательстве этих предложений не может быть речи. ° Если Рл и Рт уравнения множеств 5 и Т, то уравнение пересечения Я П Т есть высказывание, состоящее в том, что Рл и Рг верны одновременно. Такое высказывание обозначается Ра Л Рг. В случае, когда Рл и Рт равенства, содержащие координаты точки, Гз(х„ у,з) = О и Рт(х.у,з) = О, уравнение пересечения есть система уравнений Рв(х,ууз) = О, Рт(х,у,з) = О. ° Если Рл и Рт уравнения множеств 5 и Т, то уравнение объединении НОТ высказывание, состоящее в том, что из Рз и Рт верно хотя бы одно.

Такое высказынание обозначается Ря 'У Рт. ° В случае, когда Рл и Рг - — равенства, содержащие координаты точки, Рл(х, у, е) = О и Рг(х у, з) = О, у равнение объединения можно написать в виде Гз(х, у, з) Рт(х, у, з) = О. ° Если Рл и Рт . уравнения множеств Я и Т и Я есть подмножество Т, то из Рл следует Рт. ° Множества Я и Т совпадают тогда и только тогда, когда их уравнения эквивалентны, т. е.

из Ря следует Рг, а из Рт следует Рэ. Проиллюстрируем два последних утверждения. Уравнения (1) и (2) эквивалентны. Переходя от (2) к (1), мы можем не ставить двойного Гл. Н. Прямые линии и плоскости 42 знака перед корнем, так как г ) О. Наоборот, уравнение (3) не эквивалентно уравнению (2). Действительно, хотя возведением в квадрат можно получить (2) из (3), при извлечении корня из (2) мы получаем г — с'=х Это означает, что равенство (2) выполнено не только для точек, удоя- летворяюших (3), но и для точек, удовлетворяющих уравнению (4) Уравнение (2) следует также и из (4). Таким образом, уравнения (3) и (4) определяют части сферы "верхнюю' и "нижнюю" полусферы. Иногда два последних утверждения считают определенинми атношений яследуетя и зэквивалептное для уравнений.

2. Алгебраические линии и поверхности. Изучение произвольных множеств точек задача совершенно необъятная. В этом пункте мы определим сравнительно узкий класс множеств, все ете чересчур широкий для того., чтобы быть подробно изученным. Определение. Алгебраической поверхностью называется множество точек, которое в какой-нибудь декартовой системе координат люжет быть задано уравнением вида (б) где все показатели степени -- целые неотрицательные числа. Наиболыпая из сумм' кз + 1г + ты ..., к„+ 1„+ т, называется степенью уравнения, а также порядком алгебраической поверхности. Это определение означает, в частности.

что сфера, уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид (2), являетсн алгебраической поверхностью второго порядка. Определение. Алгебраической линией на плоскости называется мно'кество точек плоскости, которое в какой-нибудь декартовой системе координат может быть задано уравнением нида А„хви у" + ...

+ А,х" у' = О, (б) где все показатели степени . целые неотрицательные числа. Наибольшая из сумм йг + 1г, ..., и, + 1з называется степенью уравнен я, а также порлдколг алгебраической линии. Легко видеть, что алгебраическая поверхность не обязательно является поверхностью в том смысле, который мы интуитивно придаем *) Разумеетсн, адесь имеется в виду наибольшая из сумм, фактически входящих в уравнение, т. е. предполагается, что после припедення подобных чяонов найдется хотя бы одно слагаемое с ненулевым нозффипиентом, имеющее такую сумму показатеясй. Вто же замечание относится и к опредезению порндка алгебраической яинии, приводимому ниже.

41. Оби1ее понятие об уравнениях 43 этому слову. Например, уравнению хз + уг + 21 + 1 = О не удовлетворяют координаты ни одной точки, уравнение (хе+ уз+ 22)[(х — 1) + (у — 1) + (г — 1)2] = О определяет две точки, уравнение у' + 22 = О определяет линию (ось абсцисс). Такое зке замечание надо сделать и об алгебраических линиях.

Читатель сам сможет найти соответствующие примеры. Приведенные определения имеют существенный недостаток. Именно, не известно, какой нид имеет уравнение поверхности в какой-нибудь другой декартовой системе координат. Если жс уравнение и имеет в другой системе координат уравнение нида (5), то порядок какого из этих уравнений мы будем называть порядком поверхности? Те же вопросы возникают и об алгебраических линиях. Ответом служат следующие теоремы. Теорема 1.

Алгебраическая поверхность порядка р в любой декартовой системе координат может быть задана уравнением вида (5) порядка р. Теорема 2. Алгебраическая линия порядка р на плоскости в любой декартовой системе координат может бь1ть задана уравнением вида (6) порядка р. Обе теоремы доказываются одинаково. Докажем, например, теорему 2. Для этого перейдем от системы координат О,е1,ез, о которой шла речь в определении, к произвольной новой системе координат О', е', е! . Старые координаты х, у связаны с новыми координатами х', у' формулами (7) Х 3 гл. 1: + агу + по "': = о1х +'11у + по.

1,2 1 ~ 1,, 2 ~ 2 ~ 2 (7) Чтобы получить уравнение линии в новой системе координат, подставим в ее уравнение Г(х, у) = О выражения х и у через х' и у'. При умножении многочленов их степени складываются. Поэтому (а,'х' + +азу'+ао)" многочлеп степени Й относительно х' и у', а (а х'+азу'+аг)' многочлен степени 1. Таким образом, каждый одночлен вида Ахьу' есть многочлен степени Й + 1 относительно х' и у'. Степень сумлзы многочленов не выше максимальной из степеней слагаемых.