Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (Учебник Беклемишева), страница 13

Прямая параллельна плоскости (а возможно, и лежит в ней) тогда и только тогда, когда соответственно (а,п) = О или (а, р, ц) = О. Если плоскость задана линейным уравнением Ах + Ву + Сз + Р = О, то по предложению 5 З 2 условие параллельности Асч + Воз + Саз = О. (3) Пусть прямая задана системой уравнений .4зх+ Взу+ С~а+ Р~ — — О, Азх+ Взу+ Сзз+ Рз = О.

б) (г, п1) -Ь Р1 = О, (г, пз) -Ь Р = О, (пь и ) = О. В задаче б) пе слишком трудно получить решение н без условия (пь и ) = = О. Попробуйте сделать это. 43. Основные задачи о прпмых и пласнастнх Тогда по предложению 10 д2 условие (3) переписывается в виде А Вз Сз В Сз Аз С А1 Вз Вг Сг Сз Аг Аг Вг или А В С Аз Вг Сз = О.

Аг Вг Сг (4) Легко проверить, что все приведенные здесь условия являются не только необходимыми, но и достаточными. Из формулы (4) следует, что три плоскости пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда коэффициенты их уравнений удовлетворяют условию А В С .4з Вз Сз ф О. А В С, (5) Действительно, это неравенство означает, что прямая, по которой пе- ресекаются две плоскости, не параллельна третьей. 4. Полупространство. Пусть даны плоскость Р и определенный ее нормальный вектор п. ХХолупространством, определяемым Р и п, называется множество точек ЛХ таких, что для некоторой точки Мо на плоскости вектор МоМ составляет с п угол, не больший х/2.

Если г радиус-вектор точки М, а го точки ЛХо, то определение полупространства, эквивалентно неравенству (г — го,п) > О. Это неравенство и есть уравнение полупространства. Нетрудно проверить, что определение полупространства не зависит от выбора точки ЛХо. Действительно, если М~(гз) ††др точка плоскости, то вектор а = гз — го лежит в плоскости, перпендикулярен п, и мы имеем (г — гы п) = (г — го — а, п) = (г — го, п). Мы получим уравнение полупространства в координатной форме, если вспомним, что согласно предложению 3 г2 выражение (г — го, п) в координатах записывается линейным многочленом Аг + Ву + Сг + + Р. Итак, полупространство в декартовой системе координат задается линейным неравенством Ах+ Ву+ Сг + Р > О.

Обратно, любое такое неравенство можно записать как (г — го, и) > О, откуда сразу видно, что оно задает полупространство. Плоскость Р и вектор пз = -п задают другое полупространство с уравнением (г — го,пз) > 0 или (г — го,п) < О. Его назовем "отрицательным', в отличие от "положительного" полупространства г— — го,п) > О.

Однако такое наименование условно †- оно определяется Хл. 11. ХХрллеле ликии и плоскости 58 выбором вектора и. Изменение направления этого вектора равносильно умножению уравнения плоскости на [ — 3). При этом "положительное" полупространство становится "отрицательным", и наоборот. Вот, однако, факт, це зависящий от выбора направления нормального вектора: если М1 [хм ума,) и ЛХ2[хз.,уоьлз) две точки, не лежащие в плоскости, то результаты подстаноиси их координат в левую часть уравнения плоскости Ах1 + Ву~ + Сл~ + Р и Ахз + Вуз + + Сзз+ Р имеют один знак тогда и только тогда, когда точки лежат в одном полупространстве.

Для решения задач бывает полезно следующее замечание: если точка Мо [хо, уо, зо) лежит на плоскости, то точка с координатами хо + + А, уо + В, ло + С лежит в "положительноме полупространстве. Иначе говоря, вектор с координатами А, В, С направлен в "положительное" полупространство. Это легко провернется подстановкой. Вполне аналогично сказанному о полупространствах мы можем определить, что такое полуплоскость, и доказать, что неравенство Ах+ Ву+ С > О, связывающее декартовы координаты точки на плоскости, определяет полуплоскость. Вторая полуплоскость, ограниченная примой Ах -~- Ву+ С = О, задается неравенством Ах+ Ву -~- +С<О.

Точки ЛХ1(хму1) и ЛХ2[хз,уз) лежат по одну сторону от прямой тогда и только тогда, когда (Ах1+ Ву + С)(.4хз + Вуз + С) > О. 5. Расстояние от точки до плоскости. Пусть дана плоскость с уравнением [г — го,п) = О и точка ЛХ с радиус-вектором В. Рассмотрим вектор ЛХоЛХ = К вЂ” го, соединяющий начальную точку плоскости с М [рис. 22). Расстояние от точки до плоскости равно модулю его скалярной проекции на век- М тор и, т. е. [(лк — ге, и)[ [6) [и! Если в декартовой прямоугольной системе координат точка ЛХ имеет координаты [Х, У, х), то равенство [6) запишется согласно предложениям 3 и 4 Л 2 так: О е1 Рис. 22 6.

Расстояние от точки до прямой. Если прямая задана уравнением [г — го, а) = О, то мы мооком найти расстояние Ь от точки М с радиус-вектором В. до этой прямой, разделив площадь параллелограмма, построенного на векторах К вЂ” го и а, на длину его основания 93. Основные задачи в прямых и плоскостях [рис. 23). Результат можно записать формулой [[К вЂ” ге, а)[ [8) [а[ Для прямой в пространстве мы не будем получать координатной записи этого выражения. Рассмотрим прямую на плоскости, заданную уравнениези Ах+ Вр+ С = О в декартовой прямоугольной систе- 1 ме координат. Пусть зьзо(хо, уо) — начальная точка прямой, а АХ[Х,Р) некоторая Ркс.

22 точка плоскости. В качестве направляющего вектора возьмем вектор а( — В,А). Из формулы [25) 9 4 гл. 1 следует, что площадь параллелограмма равна Я = [[Х вЂ” хо)А — [У вЂ” ро)[ — В)[. Тогда по формуле [9) 92 Я = [АХ+ Ву + С[ и [АХ ж Ву+ С[ зАх 4 Вх [9) Легко заметить также, что для нахождения расстояния от точки до прямой на плоскости можно воспользоваться форл1улой [6), считая, что и .— нормальный вектор прямой. 7.

Расстояние между скрещивающимися прнмыми. Пусть прнмые р и а не параллельны. Известно, что в этом случае существуют такие параллельные плоскости Р и ь,), что прямая р лежит в Р, а пРЯмаЯ 9 лежит в с,). [Если УРавнениЯ пРЯмых г = гз + аз 4 и г = гг + + а24, то плоскость Р имеет начальную точку гх и направляющие векторы аз и аг. Аналогично строится плоскость Ц.) Расстояние 6 между Р и Я называется расстоянием между пр мыми р и 9. Если р и а пересекаются, то Р и сг совпадают и А = О. Для того чтобы найти расстояние 6, проще всего разделить объем параллелепипеда, построенного на векторах гг — ты ах и ах, на площадь его основания [рис. 24). Мы получим Лз, в р 6= [(гг — гы аы а )[ [[аы аз) [ Рис.

24 Знаменатель этой дроби отличен от нулн, поскольку прямые не параллельны. Предложение 1. Прямьзе линии с уравнениялзи г = гз -Ь ад4 и г = гг+ агг пересекаются тогда и только тогда, когда Ь, = О, т. е. [гг — гм аы аг) = О, [аы аг) ф О. 60 Гл. 11. Прямые линии и плоскости 8. Вычисление углов. Чтобы найти угол между двумя прямыми, следует найти их направляющие векторы и вычислить косинус угла между ними, используя скалярное произведение. При этом следует иметь в виду, что, изменив направление одного из векторов, мы получим косинус смежного угла.

Для нахождения угла между прямой и плоскостью определяют угол 0 между направляющим вектором прямой и Рас. 25. Р--Рь='Рь нормальным вектором плоскости. Если векторы выбрать так, чтобы саед > О, и взять О < У < г12, то искомый угол дополняет О до к/2. Угол между плоскостями находят как угол между их нормальными векторами. Полезна бывает формула для угла между прямыми линиями на плоскости, заданными уравнениями у = Кьх + Ьь и у = Кзх + Ье в декартовой прямоугольной системе координат. Обозначим через ьс угол между прямыми, отсчитываемый от первой прямой ко второй в том жс направлении, в котором производитсн кратчайший поворот от первого базисного вектора ко второму.

Тогда ьп со можно найти как тангенс разности углов, которые прямые составляют с осью абсцисс. Так как тангенсы этих углов равны угловым коэффициентам прямых. мы получаем 1 + у~У) (10) Конечно, эта формула не имеет смысла, когда знаменатель дроби обращается в нуль.

В этом случае прямые перпендикулярны. Действительно, согласно предложению 1 2 2 векторы с компонентами (1, йь ) и (1, кз) направлнющие векторы прямых, и их скалярное произведение равно 1+ Ь,йз. Ыы получили Предложение 2. Для перпендикулярности прял~их с угловыми коэффициентами Уь и кз в декартовой прямоугольной системе координат необходимо и достаточно вьтолнение равенства 1+ кьке = О. 9.

Некоторые задачи иа построение. а) Перпендикуляр из точки на плоскость. Проекция то ски. Если (г — го, п) = О уравнение плоскости и дана точка М с радиус-вектором Н, то прямая с уравнением г = Н+ сп проходит через ЛХ и перпендикулярна плоскости. Решая совместно уравнения прямой и плоскости, найдем ортогональную проекцикэ Ы на плоскость. Из (Рь — ге+ 1п,п) = О находим 1 и подставляем в уравнение прямой. Мы получим радиусвсктор проекции (В.

— гь, и) гь =Н вЂ”,' п. (пР Обратите внимание на структуру этой формулы; из радиус-векто- уЗ. Основные задачи о прлмых и плоскостях ра В. вычитается проекция К вЂ” го на нормальный вектор плоскости. Из этих соображений можно было получить ответ. б) Перпендикуляр из точки на прямую. Пусть прямая задана уравнением [г — го,а] = О и дана точка М с радиус-вектором В.. Вектор р = [В. — го, а] перпендикулнрсн плоскости, проходнщей через прямую и точку ЛХ. Если точка не лежит на прямой, то р ~ О, и нектар [а, р] = [а, [К вЂ” го, а]] также ненулевой и перпендикулярен а и р. Следовательно, он лежит в указанной плоскости и перпендикулярен прямой.

Итак, получено уравнение г = В.+1[а, [К вЂ” го,а]] перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Применив формулу двойного векторного произведения, .вы заметите, что [а, р] коллинеарен разности вектора К вЂ” го и его проекции на вектор а. Задачу можно было решить, заметив это свойство направляющего вектора перпендикуляра. в) Уравнение проекции прямой на плоскость. Его просто получитхч если не требуется находить направляющий вектор и начальную точку. Пусть заданная плоскость имеет уравнение [г,п) + +Р = О, а прямая уравнение [г — го,а] = О, причем [а,п] ф О.

Тогда плоскость [г — го, а, п) = О проходит через прямую перпендикулярно заданной плоскости. Таким образом, проекция прямой может быть задана системой из двух уравнений: (г — га,а,п) = О, [г,п) +Р = О. Направляющий вектор проекции Ъ - проекция а на плоскость. Она получается из а вычитанием из него его проекции на нормаль: Ъ=а — ',, п. [а, и) ]п[х За начальную точку может быть принята точка пересечения проектируемой прямой с плоскостью, если она существует, или же проекция начальной точки прямой. г) Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прялсгнм. Пусть прямые с уравнониями г = гз + +1ах и г = ге+ 1аз не параллельны, т. е. [ам ах] ~ О.