Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (Учебник Беклемишева), страница 11

(3) Наоборот, какое бы число мы ни подставили в формулу (3) в качестве Х, вектор г н этой формуле определит некоторую точку на прямой. Уравнение (3) называется векторным параметприческим уравнением прямой, а переменная величина О принимающая любые вещественные значения, называется параметром. Векторное параметрическое уравнение выглндит одинаково и в планиметрии, и в стереометрии, но при разложении по базису оно сводится к двум или трем скалярным уравнениям, смотря по тому, сколько векторов составляют базис. Рассмотрим прямую н пространстве. Пусть (ю, у, ) и (хо, де, о) координаты точек ЛХ и ЛХо, соответственно, а вектор а имеет компоненты (ам аз,аз).

Тогда, раскладывая по базису обе части уравне- 48 Рл. 11. Прллзие ликии и плоскости Рис. 19 ния (3), мы получим х - хо = аА у - уо = пзг, -' — зо = азй (4) Для прямой на плоскости мы получаем, аналогично, х — хо = аз1, у — уо = азй (о) Уравнения (4) или (5) называются параметрическими уравнениями прямой.

Получим теперь параметрические уравнения плоскости. Обозначим через р и 41 ее направляющие векторы, а через го . радиус-вектор ее начальной точки ЛХо. Пусть точка М с радиус-вектором г произвольная точка пространства (рис. 19).

Вектор МоМ = г — го, начало которого лежит на плоскости, параллелен ей тогда и только тогда, когда его конец ЛХ также лежит на плоскости. Так как р и 41 не коллинеарны, в этом и только этом случае г — го может быть по ним разложен. Поэтому, если точка ЛХ лежит в плоскости (и только в этом случае), найдутся такие числа 14 и гз, что г — го = тзР+ Хзс1.

(6) Это уравнение называется параметрическим уравнением плоскости. Каждой точке плоскости оно сопоставляет значения двух параметров 1з и зз. Наоборот, какие бы числа мы ни подставили как значения 1з и 1з, уравнение (6) определит некоторую точку плоскости. Пусть (х,у,з) и (хо,уо,зо) .- координаты точек ЛХ и ЛХо соответственно, а вектоРы Р и Ц имеют компоненты (РыРз,рз) и (УыУз, Уз). Тогда, раскладывая по базису обе части уравнения (6), мы получим параметрические уравнения плоскости хо — ззр~ + гзуы У уо 11Р2 + 1292 з зо — гз|зз + 12уз (7) Отметим, что начальная точка и направляющий вектор прямой образуют на ней ее внутреннюю декартову систему координат. Значение параметра 1, соответствующее какой-то точке, является координатой втой точки во внутренней системе координат.

Точно так же на плоскости начальная точка и направляющие векторы составляют внутреннюю систему координат, а значения параметров, соответствующие точке, зто ее координаты в этой системе. 3. Прямая линия нн плоскости. Параметрическое уравнение прямой утверждает., что точка ЛХ лежит на прнмой тогда и только тогда, когда разность ее радиус-вектора и радиус-вектора начальной точки Мо коллинеарна направляющему вектору а. Пусть в некоторой общей декартовой системе координат на плоскости заданы координаты точек и вектора М(х, у), ЛХс(хо, уо), а(ам аз). Тогда условие 92.

Уравнения прямых и плоскостей 49 коллинеарности может быть записано в виде равенства х хо у уо О (8) а1 аз Поэтому имеет место Предложение 1. В любой декартовой системе координат на плоскости уравнение прямой с начальной точкой ЛГо(хо, уо) и направляющим вектором а(а1, пз) может быть записано в виде (8). Уравнение (8) линейное. Действительно, после преобразования оно принимает вид аех — а1у+ (очуо — азха) = О, т. е. Ах+ Ву+ С = О, где А = аз, В = — а1 и С = а1уо — агхо С другой стороны, при заданной системе координат для произвольного линейного многочлена Ах + Ву + С, Аз + Вз ~ О, найдутся такая точка ЛХо(хо, уо) и такой вектор а(ам аз), что (9) Ах+ Ву+ С = а1 ае Действительно, выберем числа хо и уо так, чтобы Ахо + Вуо + С = О. В качестве таких чисел можно нзять, например, — АС вЂ” ВС (10) Если С = —.4хо — Вуо, то Ах+ Ву+ С = 4(х — хо) + В(у — уо), т.

е. выполнено равенство (9) при аз — — А, а1 = — В. Итак, мы получили Предложение 2. Вектор с координатами ( — В,А) можно принять за направляющий вектор прямой с уравнением (2) в общей декартовой системе координат, а точку (10) за начальную точку. Следствие. Если система координат декартова прямоугольная, то вектор п(А,В) перпендикулярен прямой с уравнением (1). Действительно, в этом случае (а, и) = — ВА+ АВ = О.

Заметим, что из предложений 1 и 2 вытекает теорема 2. Пусть в уравнении прямой Ах+ Ву+С = 0 коэффициент В отличен от нуля. Это означает, что отлична от нуля первая компонента направляющего вектора, и прямая не параллетьна оси ординат. В этом случае уравнение прямой можно представить в виде 122) у = Ах+о, (11) где к = — А/В, а 6 = — С,1В. Мы видим, что 1 о равно отношению компонент направляющего вектора: й = аз/а1 (рис.

20). меи у= -к-~-1/2 О и р с д ел е н и е. Отношение компонент направляющего вектора аг/а1 называется угловыл1 коэффициентом прямой. Угловой коэффициент прямой в декартовой прямоугольной системе координат равен тангенсу угла, который прямая образует с осью 4 Д.В. Беклемишев 50 Тл. П. Прямые линии и плоскости абсцисс. Угол этот отсчитывается от оси абсцисс в направлении кратчайшего поворота от е1 к ез (рис. 21). Положив х = О в уравнении (11), получаем у = Ь. Это означает, что свободный член у равнения Ь является ординатой точки пересечения прямой с осью ординат. Если же в уравнении прямой В = О и ее уравнение нельзя представить в виде (11), то О обязательно А р': О.

В этом случае прямая параллельна оси ординат и ее ураннению глозкно придать вид х = хе, где хв = — С/А - абсцисса точки пересечения прямой с осью абсцисс. 4. Векторные уравнения плоскости и прямой. Параметрическое уравнение плоскости утверждает, что точка ЛХ лежит па плоскости тогда и только тогда, когда разность ес радиус-вектора и радиус-вектора начальной точки ЛХо компланарна направляющим векторам р и с1. Эту компланарность можно выразить и равенством (12) (г — го, р, с1) = О. Вектор п = (р,с1) . ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости.

Используя его,мы можем записать уравнение (12) в виде (г — го,п) = О. (13) Уравнении (12) и (13) называют оекторными уравнениями плоскости. Им можно придать форму, в которую не входит радиус-вектор начальной точки. Например, положив в (13) Р = — (го,п), получим (14) (г, п) + Р = О. Для прямой на плоскости можно также написать векторные уравненигь аналогичные (13) и (14), (г — го,п) = О или (г,п) + С = О. Первое из них выражает тот факт, что вектор г — го перпендикулярен ненулевому вектору и., перпендикулярному направляющему вектору а, и потому коллипсарен а. Предложение 3. Пусть х,у,г компоненты вектора г в общей декартовой системе координат.

Тогда скалярное произведение (г — го,п) при п ф О записываегпсп линейным многочленом Ах+ ч- Ву+ С. ч- Р (Аг+ Вг+ Сз ~ О). Обратно, для любого линейного многочлена найдутся такие векторы го и п ф О, что в заданной общей декартовой системе координат.4х+ Ву+ Се+ Р = (г — го,п). Первая часть предложения очевидна: подставим разложение нектора г по базису в данное скалярное произведение; (хе1 + уее + гез — го п), З2. уравнения прямых и плоскостей 51 раскроем скобки и получим многочлен .4х + Ву + Сг + Р, в кото- ром Р = — (го, п) и А = (ез,п), В = 1ез,п), С = (ез,п). (15) А, В и С одновременно не равны нулю, так как ненулевой вектор п не может быть ортогопален всем векторам базиса.

Для доказательства обратного утверждения найдем сначала век- тор п из равенств 115), считая А, В и С заданными. Из предложе- ния 10 5 4 гл. 1 следует, что п= ' + '' + А)ез,ез) В~ез,ез) С(еыез) (16) (ек е, ез) (еь ез, ез) (ек ез, ез) Вектор го должен удовлетворять условию Р = — 1го,п). Один из таких векторов можно найти в виде го = Лп. Подставляя, видим, что — Л1п,п) = Р, откуда го = — РпДп)з. Итак, н|ы нашли векторы п и го такие, что линейный многочлен записывается в виде Х(Е1з11) + У(ЕгзП) + г1ЕЗ,П) — 1ГО,П), который совпадает с требуемым (г — го, п). Заметим, что из доказанного предложения вытекает теорема 1.

Предложение 4. Если система координат декартова прямо- угольная, то вектор с компонент ми А, В,. С является норлзальнылз вектором для плоскости с уравнением Ах+ Ву + Сг + Р = О. Это сразу вытекает из формул (15) и предлозкения 1 54 гл. 1.

Рассмотрим вектор а = сззе1+ сззез + сззез в общей декартовой системе координат О.ез, ез,ез. Очевидно, что 1а, п) = сз1(ез,п) + +аз(ез,п) + пз(ез,п). Теперь из формул (15) следует, что (а, п) = Асзз + Впг + Сов. (Заметьте, что в общей декартовой системе координат числа А, В, С, вообще говоря, не являются, координатами вектора п, и скалярное произведение нв зааисьзвавтся как сумма произведений одноимен- ных компонент, но (а,п) выглядит так же, как и в прямоугольных координатах.) Теперь очевидным становится следующее ПРедложение 5.

ВектоР а с компонентами аз,сзз,оз в общей декартовой системе координат параллелен плоскости с уравнени- ем .4х + Ву + Сг + Р = О тогда и только тогда, когда Аоз + Воз + Соз — — О. (17) Следствие. Любые два неколлинеарных вектора, удовлетворяю- щие уравнению (17), ложно принять за направляющие векторы плос- кости. Предложение 5 нетрудно доказать и непосредственно, рассмат- ривая координаты вектора, параллельного плоскости, как разности соответствующих координат двух точек, лежащих в плоскости.