Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (Учебник Беклемишева)

УДК 514 ББК 22.151 Ь42 Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. для вузов. — 10-е изд., испр. — Мс ФИЗМАТЛИТ, 2005.— 304 с. — !ЯВИ 5-9221-0304-0. В учебнике излагается основной материал, входящий в объединенный курс аналитической геометрии и линейной алгебры: векторная алгебра, прямые и плоскости, линии и поверхности второго порядка, аффинные преобразования, системы линейных уравнений, линейные пространства, евклидовы и унитарные пространства, аффинные пространства, тензорная алгебра.

Настоящее издание существенно переработано. В основном изменения направлены на улучшение изложения, но сделано много добавлений, из которых наиболее существенное — теорема гКордана. Добавлены задачи и упражнения, снабженные ответами и указаниями. Произведен также ряд сокращений. Для студентов университетов и технических вузов с расширенной программой по математике. Табл. 2. Ил. 55. Виблиогр. 23 назв. © ФИЗМАТЛИТ, 2000, 2001, 2003, 2004, 2005 ® Д. Б. Беклемишев, 2000, 2001, 2003, 2004, 2005 1БВМ 5-9221-0304-0 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 31 32 ~3 40 46 11 3 2 33 34 ГЛАВА 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Векторы 9 1.

Предварительные аамечания (9). 2. Определение повтора (9). 3. О дру- гам определении вектора (10). 4. Линейные операции (1!). 5. Линейная зависимость векторов (13). 6. Базис (16). Системы координат . 1. Декартова система координат (17). 2. Деление отрезка в заданном отношении (18). 3. Декартова прямоугольная система координат (19). 4.

Палнрная система координат (!9). 5. Пилиндрические и сферические координаты (20). Замена базиса и системы координат . 21 1. Изменение базиса (21). 2. Изменение системы координат (22). 3. За- мена декартовой прямоугольной системы координат на плоскосги (22). Скалярное, смешанное и векторное произведения ........... 24 1. Скалярное произведение (24). 2. Ориентация прямой, плоскости и пространства (27).

3. Плогцадь ориентированного параллелограмма, объем ориентированного параллелепипеда (29). 4. Смешанное произ- ведение (30). 5. Выражение векторного и слзешанншо произведения через компоненты сомножителей (32), 6. Детерминанты второго и третьего порядков (ЗЗ), 7, Условия коллинеарности и компланарнос- ти (35). 8. Площадь параллелограмма (36). 9. Двойное векторное произведение (37). 10. Биортоганальный базис (37). 11. О векторных величинах (38). 1'ЛАВА П.

ПРЯМЫЕ ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ Общее поннтие об уравнениях 1. Определения (40). 2. Алгебраические линии и понерхнасги (42). 3. Уравнения, пе содержащие одной из координат (44). 4. Однородные уравнения. Конусы (45). Уравнения прнмых и плоскостей 1. Поверхности и линии первого порядка (46). 2.

Параметрические урав- нения прямой и плоскости (47). 3. Прямая линии на плоскости (48). 4. Векзорные уравнения плоскости и прямой (оо). о. Параллельность плоскостей и прямых на плоскости (52). 6. Уравнения примой в про- странстве (54). Основные задачи о прнмых и плоскостнх Оглавление 65 69 79 99 Г яд Вд щ МАТРИЦЫ И СИСТЕМЬ| ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 31 32 ~3 34 31 32 ~3 31 32 ~3 1.

Уравнение прямой, проходюцей через две точки (56). 1. Уравнение прямой, проходящей через две тачки (56). 3. Параллельность прямой и плоскосзи (56). 4. Палупространство (о7). о. Расстояние от точки да плоскости (58). 6. Расстояние от точки да прямой (58). 7. Расстояние межлу скреп!ива~оп!имися прнмыми (69). 8. Вычисление углов (60). 9. Некоторые задачи на построение (60). 10. Пучок прямых (62). 11. О геометрн ~есьом смысле порлдьа алгебраической линии (63). ГЛАНА П|. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Исследование уравнения второго порядка Эллипс, гипербола и парабола 1. Эллипс (69).

2. Гипербола (73), 3. Парабояа (76). Линии второго порядка, заданнан общим уравнением........ 1. Пересечение линии второго порядка и прямой (79). 2. Тип линии (80). 3. Диаметр линии второго порядка (80). 4. Центр линии второго па- рилка (8Ц. 5. Сопряжанные направлении (84).

6. Главные направле- ния (85). 7. Касательная к линии второго порядка (85), 8. Особые тачки (86). Поверхности второго порядка 1. Поверхности вращения (88). 2. Эллипсоид (89). 3. Конус второго по- рядка (90). 4. Однополостный гиперболоид (90). 5. Двуполостный ги- перболоид (91). 6. Эллиптический параболоил (92). 7. Гиперболический парабалоид (92). 1" яд В А !У ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ Отображения и преобразования 95 1. Определение (95), 2. Примеры (95). 3. Произведение отображе- ний (96). 4. Координатная запись отображений (98). Линейные преобразования 1. Оргоганальные преобразования (99). 2. Определение линейных пре- образований (100).

3. Произведение линейных преобразований (102). 4. Образ вектора при линейном преобразовании (103). Аффинные преобразования . 106 1. Образ прямой линии (106). 2. Изменение площадей прн аффиннам преобразовании (107). 3. Образы линий второго порядка (109). 4.

Раз- ложение ортогонального преобразованин (110). 5. Разложение аффин- нага преобразования (11Ц. Матрицы 114 1. Определение (114). 2. Транспонирование матриц (115). 3. Нека- тарые виды матриц (116). 4. Сложение н умножение на числа (116). 5. Линейная зевисимость матриц (117). Умножение матриц 120 !. Символ 2 (120). 2. Определение и примеры (121). 3.

Свойства ум- налсения матриц (123). 4. Элементарные преобразования. Элементар- ные матрицы (125). 5. Вырожденные и невырожденные матрицы (127). 6. Обрнтная матрица (129). Ранг матрицы 132 2, Основные теоремы (133). 3. Ранг произосдения матриц (!34). 4. На- хождение ранга матрицы (136). Оглавление 3 4. Детерминанты 1. Определение детерминанта (!36). 2.

Единственность летерминанта (!39). 3. Су~цествоваыие детерминанта. Разложение по столбцу (140). 4. Свойства летерминантов (142). 5. Формула полного разложении (143). 3 5. Системы линейных уравнений (основной случай)........... 146 1. Постановка задачи Н46). 2. Основной случай (148). 3. Правило Крамера (!48). 4. Формулы для элементов обратной матрицы (149). 3 6.

Системы линейных уравнений (обп!ая теория)............. 149 1. Условия совместности 1149). 2. Нахождение решений (152). 3. Приведеннан система (!52). 4. Общее решение системы линейных уравнений (!55). 5. Пример (155). Г Л Л 6 Д У! ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 3 1. Основные понятия 157 1. Определение линейного пространства г!57). 2. Простейшие следствии (159), 3. Линейная зависимость (!59). 4. Базис (160).

5. Замена базиса (!63). 6. Ориентации пространства (!64). 3 2. Линейные подпространства, ...,,, ... 165 1. Определении и примеры (165). 2. Сумма и пересечение полпространств (167). 3 3. Линейные отображения 171 1. Определение (171). 2. Координатная запись отображений !173). 3. Изоморфизм линейных пространств (175). 4. Изменение матрицы линейного отобрвженин при замене базисов !175).

5. Канонический вид "лвтрииы линейного отображенин (176). 6. Сумма и произведение отображений !176). 3 4. Задача о собственных векторах 178 1. Линейные преобразования (178). 2. Умножение преобразований (179). 3. Пнвариантные надпространства (180). 4. Собственные надпространства 1182). 5. Характеристическое уравнение (183). 6. Свойства собственных надпространств (!85). 7.

Комплексные характеристические числа 1186). 8. Приведение матрицы преобразования к диагональному виду 1187). 9. Приведение матрицы преобразования к треугольному виду 1189). 3 5. Линейные функции 191 1. Определение функции (!91). 2. Линейные функции (191). 3. Сопряженное пространство (!93). 3 6. Квадратичные формы 195 1. Билинейные функции (!95). 2. Квадратичные формы (197).

3. Ранг и индекс квадратичной формы 120!). 4. Палуторвлинейные функции 1204). "3 7. Теорема Жердина 205 1. Теорема Гамильтона-Кали (205). 2. Корневые надпространства (207). 3. Строение корневого надпространства (208), 4. Теорема !Иордана !211). 5. Привеление к жордановой форме (212). ГЛАНД УП. ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 3 1. Евнлидовы пространства 215 1. Скалярное произведение 1215). 2.

Длина и угол 12!6). 3. Выра кение скаллрного произведении через координаты сомножителей (217). 4. Ортогональные базисы (218), 5. Ортогональным матрицы (2!9). 6. Ортогональное дополнение надпространства (220). 7. Ортагональныо проек- Оглавление 31 32 Указания и ответы к упражнениям Предметный указатель . Список литературы 302 32 33 ~ .1 31 32 ~3 ции (22Ц. 8.