Ответы к экзамену: Математика

Ответы на вопросы для подготовки к экзамену по дисциплине "Математика" за 2019 год.
Ответы в виде текстовых сообщений и вставленных фотографий.

Ниже приведены вопросы.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

1. Что такое матрица? Приведите примеры матриц.
2. Как определяется размер матрицы?
3. Какая матрица называется квадратной? диагональной? единичной?
4. Является ли единичная матрица диагональной?
5. Как производится операция транспонирования матрицы?
6. Как производится операция сложения матриц?
7. Как производится операция умножения матрицы на число?
8. Какие матрицы могут быть перемножены и как получить произведение матриц?
9. Для каких матриц вычисляются определители? 1
0. Как вычислить определитель квадратной матрицы? Приведите примеры.
11. Перечислите свойства определителей.
12. Что такое минор элемента и алгебраическое дополнение элемента?
13. Сформулируйте теорему о разложении определителя.
14. Для какой матрицы можно найти обратную?
15. Сколько у квадратной матрицы может существовать обратных матриц?
16. Приведите алгоритм нахождения обратной матрицы для квадратной матрицы
произвольного порядка.
17. Приведите формулу для нахождения обратной квадратной матрицы второго порядка.
18. Перечислите три типа простейших матричных уравнений и методы их решения.
19. Что называется системой линейных уравнений?
20. Как составляется матрица системы и расширенная матрица системы?
21. Что называется решением системы линейных уравнений?
22. Сколько решений может иметь система линейных уравнений?
23. Опишите процесс нахождения решений системы матричным методом.
24. Опишите процесс нахождения решений системы по формулам Крамера.
25. Дайте определение ранга матрицы. Приведите свойства ранга.
26. Перечислите виды элементарных преобразований над строками матрицы.
27. Какие матрицы называются эквивалентными?
28. Опишите процесс нахождения решений системы методом Гаусса.
29. Какой особенностью обладает однородная система линейных уравнений?
30. При каком условии однородная система имеет ненулевое решение?
31. Приведите два свойства решений однородной системы линейных уравнений?
32. Как можно найти фундаментальную систему решений однородной системы?
33. Каким образом выражается общее решение системы через фундаментальную систему
решений?
34. Что называется вектором?
35. Что называется длиной вектора?
36. Какие векторы называются коллинеарными?
37. Какие векторы называются компланарными?
38. Что называется суммой векторов? Как построить сумму двух или нескольких
векторов?
39. Что называется разностью векторов? Как ее построить?
40. Как построить произведение вектора на число?
41. Что является базисом в множестве векторов, параллельных одной прямой; в множестве
векторов, параллельных одной плоскости; в множестве всех векторов пространства?
42. Каким образом выполняются операции над векторами, заданными координатами?
43. Дайте определение скалярного произведения векторов и перечислите его свойства.
44. Запишите формулы для вычисления скалярного произведения и нахождения длины
вектора в координатах.
45. Что такое орт вектора и направляющие косинусы вектора? Приведите формулы, их
связывающие.
46. Что означает фраза «точка M делит отрезок AB в отношении λ »?
47. Как найти координаты точки, делящей отрезок AB в отношении λ , если известны
координаты точек A и B ?
48. Что называется осью?
49. Что называется проекцией вектора на ось?
50. Приведите свойства проекций вектора на ось.
51. Что называется проекцией вектора на вектор?
52. Приведите формулу для вычисления проекции вектора на вектор.
53. Какая тройка векторов называется правой? левой?
54. Что называется векторным произведением двух векторов?
55. Приведите свойства векторного произведения.
56. Каков геометрический смысл векторного произведения?
57. Что называется смешанным произведением двух векторов?
58. Приведите свойства смешанного произведения.
59. Каков геометрический смысл смешанного произведения?
60. Каким образом линию на плоскости задать уравнением?
61. Запишите уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно
данному вектору. Объясните геометрический смысл всех параметров, входящих в
уравнение.
62. Запишите общее уравнение прямой. Объясните геометрический смысл всех
параметров, входящих в уравнение.
63. Запишите каноническое уравнение прямой. Объясните геометрический смысл всех
параметров, входящих в уравнение.
64. Запишите уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Объясните
геометрический смысл всех параметров, входящих в уравнение.
65. Запишите уравнение прямой с угловым коэффициентом. Объясните геометрический
смысл всех параметров, входящих в уравнение.
66. Выведите формулу расстояния от точки до прямой на плоскости.
67. Приведите условие параллельности двух прямых на плоскости.
68. Приведите условие перпендикулярности двух прямых на плоскости.
69. Запишите формулу для нахождения угла между прямыми на плоскости.
70. Выведите уравнение окружности.
71. Выведите уравнение эллипса.
72. Что называется полуосями, вершинами, фокусами, эксцентриситетом, директрисами
эллипса. Приведите соответствующие формулы и уравнения. Покажите все
перечисленные объекты на чертеже.
73. Выведите уравнение гиперболы.
74. Что называется полуосями, вершинами, фокусами, эксцентриситетом, директрисами,
асимптотами гиперболы. Приведите соответствующие формулы и уравнения. Покажите
все перечисленные объекты на чертеже.
75. Выведите уравнение параболы.
76. Что называется параметром, вершиной, фокусом, директрисой параболы. Приведите
соответствующие формулы и уравнения. Покажите все перечисленные объекты на
чертеже.
77. Как задать поверхность в пространстве с помощью уравнений?
78. Как задать линию в пространстве с помощью уравнений?
79. Запишите уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно
данному вектору. Объясните геометрический смысл всех параметров, входящих в
уравнение.
80. Запишите общее уравнение плоскости. Объясните геометрический смысл всех
параметров, входящих в уравнение.
81. Запишите уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Объясните
геометрический смысл всех параметров, входящих в уравнение.
82. Приведите условие параллельности двух плоскостей.
83. Приведите условие перпендикулярности двух плоскостей.
84. Запишите формулу для нахождения угла между плоскостями.
85. Выведите формулу расстояния от точки до плоскости.
86. Запишите уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно данному
вектору. Объясните геометрический смысл всех параметров, входящих в уравнение.
87. Запишите параметрическое уравнение прямой. Объясните геометрический смысл всех
параметров, входящих в уравнение.
88. Запишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Объясните
геометрический смысл всех параметров, входящих в уравнение.
89. Приведите условие параллельности двух прямых. 90. Приведите условие
перпендикулярности двух прямых.
91. Запишите формулу для нахождения угла между прямыми.
92. Запишите формулу для нахождения угла между прямой и плоскостью.
93. Приведите условие параллельности прямой и плоскости.
94. Приведите условие перпендикулярности прямой и плоскости.
95. Запишите общие уравнения прямой в пространстве. Как перевести их в канонические
уравнения?
96. Запишите условие пересечения прямых в пространстве.
97. Выведите формулу расстояния от точки до прямой в пространстве.
98. Выведите формулу расстояния между скрещивающимися прямыми в пространстве.
99. Дайте определение комплексного числа.
100. Как производятся арифметические операции с комплексными числами в
алгебраической форме записи.
101. Окрестность точки числовой прямой.
102. Дайте определение предела функции.
103. Какие функции называются бесконечно малыми?
104. Дайте определение бесконечно большой функции.
105. Приведите свойства функции, имеющей предел.
106. Какова связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями? 107.
Приведите свойства пределов.
108. Приведите основные виды неопределенностей.
109. Приведите методы раскрытия неопределенностей.
110. Докажите первый замечательный предел.
111. Второй замечательный предел.
112. Какие бесконечно малые называются эквивалентными?
113. Дайте определение непрерывности функции в точке.
114. Дайте определение односторонних пределов.
115. Приведите классификацию точек разрыва.
116. Приведите свойства функции, непрерывной на отрезке.
117. Дайте определение производной в точке.
128. Приведите механический смысл первой производной.
_{(такая странная нумерация вопросов с исходного файла)}
129.Приведите геометрический смысл производной.
119. Выведите уравнения касательной и нормали к графику функции в точке.
120. Приведите основные правила дифференцирования.
121. Докажите формулы из таблицы производных (x2, sinx, cosx, ex)