Вопросы/задания к контрольной работе: Оптимизация плана производства

Глава 1. Оптимизация плана производства

Задача 1

Нефтеперерабатывающая установка может работать в двух различных режимах. При работе в первом режиме из одной тонны нефти производится 300 кг темных и 600 кг светлых нефтепродуктов; при работе во втором режиме — 700 кг темных и 200 кг светлых нефтепродуктов. Ежедневно на этой установке необходимо производить 110 т темных и 70 т светлых нефтепродуктов. Это плановое задание необходимо ежедневно выполнять, расходуя минимальное количество нефти.
Вопросы:
1. Сколько тонн нефти следует ежедневно перерабатывать в первом режиме?
2. Сколько тонн нефти следует ежедневно перерабатывать во втором режиме?
3. Каков минимальный ежедневный расход нефти?
4. На сколько тонн увеличится ежедневный минимальный расход нефти, если потребуется производить в день 80 т светлых нефтепродуктов?

Задача 2

Фирма «Television» производит два вида телевизоров: «Астро» и «Космо».

В цехе 1 производят телевизионные трубки. На производство одной трубки к телевизору «Астро» требуется потратить 1,2 человекочаса, а на производство трубки к «Космо» — 1,8 человекочаса. В настоящее время в цехе 1 на производство трубок к обеим мар­кам телевизоров может быть затрачено не более 120 человекочасов в день.

В цехе 2 производят шасси с электронной схемой телевизора. На производство шасси для телевизора любой марки требуется затратить 1 человекочас. На производство шасси к обеим маркам телевизоров в цехе 2 может быть затрачено не более 90 человеко-часов в день.

Продажа каждого телевизора марки «Астро» обеспечивает прибыль в размере 1500 руб., а марки «Космо» — 2000 руб.

Фирма заинтересована в максимизации прибыли.

Задача 6

Компания «Видео», производитель видеомагнитофонов, планирует производство и запасы продукции на первое полугодие следующего года. Прогноз спроса на соответствующие шесть месяцев отражен в таблице. «Видео» хотела бы иметь такой план, который обеспечит возможность полностью удовлетворить спрос.

Из-за колебаний затрат на сырье и энергию себестоимость продукции (затраты на единицу продукции) изменяется от месяца к месяцу. Максимальный объем производства компании «Видео» также колеблется из месяца в месяц из-за неравномерного ремонта оборудования и различного числа рабочих дней в месяце.

Компания не проводит политику частого изменения числа рабочих. Поэтому, чтобы предотвратить простои, она устанавливает минимальный объем производства, составляющий 50% от максимального. В таблице представлены также максимальный и минимальный уровни запасов на каждый месяц:

На 1 января запас видеомагнитофонов отсутствует. Страховой уровень запасов, который компания старается регулярно поддерживать, составляет 2500 шт.; это означает, что и в конце каждого месяца такое количество видеомагнитофонов должно храниться на складе как минимально допустимое. Однако площади складов позволяют хранить 7000 магнитофонов. Это отражено в предпоследнем столбце таблицы.

Бухгалтерия «Видео» подсчитала, что хранение одного видео­магнитофона на складе обходится в 8 руб. в месяц. Затраты на хранение следует определять по величине запаса на конец месяца.

Определите объемы производства и запасов на каждый месяц, при которых суммарные затраты (затраты на производство плюс затраты на хранение) минимальны при условии удовлетворения спроса на продукцию без отсрочки поставок.

Вопросы:

1. Сколько магнитофонов следует произвести в феврале?

2. Каков запас на складе на конец апреля?

3. Каковы минимальные издержки на выполнение полугодового плана (в тыс. руб.)?

Глава 2. Оптимальное смешение

Задача 2

В аптеке продаются поливитамины пяти наименований. Каждый поливитамин содержит витамины и вещества, наиболее важные для Павла Кутикова, перенесшего простудное заболевание. Необходимо определить, какие поливитамины и в каком количестве следует принимать Павлу для восстановления нормальной работоспособности. В следующей таблице указано количество витаминов и веществ (в мг), которое должен получить Павел за весь курс лечения, а также данные о содержании вита­минов и веществ в поливитаминах (в мг на 1 г) и цены за 1 г по­ливитаминов (в руб.):
Определите, какие поливитамины следует принимать, чтобы с минимальными затратами пройти курс лечения.
Вопросы:
1. Какое количество поливитамина 4 следует принять?
2. Какое общее количество поливитаминов следует принять?
3. Какова минимальная стоимость курса лечения?
4. До какого значения должна снизиться цена на поливитамин 2, чтобы его следовало включить в курс лечения?

Глава 4. Планирование финансов

Задача 1

Константин Иванов — управляющий компанией «Золотой колос», специализирующейся на выпуске пива. Компания закупила оборудование для выпуска популярного сорта пива «Двойное золотое». Стоимость оборудования 900 тыс. руб. В соответствии с условиями контракта 200 тыс. руб. необходимо выплатить через два месяца, когда оборудование будет поставлено, а оставшиеся 700 тыс. руб. — через шесть месяцев, когда обору­дование будет смонтировано.

Чтобы расплатиться полностью, Константин предполагает тотчас же образовать целевой фонд, который можно использовать для инвестиций. Поскольку такие инвестиции породят дополнительную наличность к тому времени, когда придется вносить деньги за оборудование, Константин знает, что ему следует отложить меньше, чем 900 тыс. руб. А вот сколько именно — зависит от имеющихся возможностей инвестирования.

Константин решил сосредоточиться на 12 возможностях инвестирования.

Данные для задачи финансового планирования представлены в следующей таблице:

Для каждого вида вкладов известна экспертная оценка риска задержки выплаты по вкладу.

Составьте модель линейного программирования для определения минимального размера целевого фонда, позволяющего сделать необходимые выплаты.

Вопросы:

1. Каков минимальный размер целевого фонда, позволяющий сделать необходимые выплаты без учета риска?

2. Какова стоимость в начальный момент времени одного рубля, который надо выплатить в начале седьмого месяца (через шесть месяцев)?

3. Каков минимальный размер целевого фонда, позволяющий сделать необходимые выплаты, если средний риск в каждый момент времени не должен превышать 6?

4. Какова «плата» за снижение риска (в руб.)?

Глава 5. Транспортная задача

Задача 1

Фирма по прокату автомобилей «Золотое кольцо России» собирает заявки на аренду во всех городах центра России. Клиент имеет возможность получить автомобиль в любом удобном для него населенном пункте и оставить его в любом месте, где он заканчивает путешествие, в том числе и в своем родном городе. Работники фирмы забирают оставленные автомобили и перегоняют их для передачи новым клиентам.

Сейчас 4 автомобиля компании оставлены в Клину, 3 — в Ростове Великом, 6—в Ярославле и 1 — в Серпухове.

Имеются заказы на 5 автомобилей во Владимире, на 3 автомобиля в Санкт-Петербурге и на 6 автомобилей в Москве.

Расстояния между городами (в км) приведены в следующей таблице:

Составьте план, по которому следует перегонять автомобили новым клиентам. Ориентируйтесь на минимизацию расстояния, которое пройдут все перегоняемые автомобили.

Вопросы:

1. Чему равно минимальное расстояние, которое должны пройти все автомобили?

2. Сколько автомобилей следует перегнать в Москву из Ярославля?

3. На сколько увеличится минимальное расстояние, которое должны пройти все автомобили, если дополнительно стало известно, что еще один автомобиль оставлен в Серпухове и еще один клиент появился в Москве?

Глава 11. Нелинейное программирование

Задача 2

На кондитерской фабрике «Десерт» вследствие уменьшения спроса на ряд ее изделий освободилась часть производственных мощностей. Чтобы избежать сокращения численности работающих, специалисты фабрики разработали технологию производства двух новых видов шоколадных конфет: шоколадных бочонков с коньяком, получивших название «Братец Иванушка» (БИ), и шоколадных шариков с вишней, названных «Сестрица Аленушка» (СА). Для изготовления любого нового вида конфет должны быть задействованы три производственные линии: производство шоколада, непосредственное изготовление конфет, упаковка и контроль. Первая и третья линии — общие для конфет обоих наименований. Доля шоколада в общем весе одной конфеты БИ составляет 70%, а в конфете СА — 80%. Максимальная мощность линии по изготовлению шоколада (для новой продукции) составляет 250 кг в сутки. Производительность линии по изготовлению конфет БИ — 170 кг в сутки, конфет СА — также 170 кг. Удельные переменные затраты составляют: для конфет БИ — 180 руб./кг, для конфет СА — 150 руб./кг. Предполагается, что все изготовленные в течение суток конфеты будут проданы. В силу своей исключительности новые изделия не испытывают внешней конкуренции, однако они конкурируют друг с другом. В результате проведенного исследования были получены следующие зависимости объемов сбыта от цен:
где x₁ — произведенное (проданное) в течение суток количество конфет БИ, кг;
х₂ — произведенное (проданное) в течение суток количество конфет СА, кг;
р₁ — цена конфет БИ, руб./кг;
р₂ — цена конфет СА, руб./кг.
Определите производственную программу, при которой суточ­ная прибыль фабрики от производства новой продукции макси­мальна.
Вопросы:
1. Какова максимальная прибыль фабрики?
2. Каков оптимальный выпуск конфет БИ?
3. Каков оптимальный выпуск конфет СА?
4. Какова оптимальная цена конфет БИ?
5. Какова оптимальная цена конфет СА?

Задача 3

На молочном комбинате помимо других продуктов производится также сырковая масса трех наименований: «Изюминка», «Ваниль» и «Орешек» — жирности соответственно 6, 5 и 3%. В качестве основных исходных продуктов используются творог жирности 8, 7 и 2%, объемы суточных поставок которого составляют по 200 кг каждого вида, и сахар, имеющийся в количестве 70 кг в сутки.
По технологии для получения 1 кг сырковой массы «Изюминка» требуется 30 г сахара, для «Ванили» — 40 г и для «Орешка» — 60 г. Цена сырковой массы «Изюминка» равна 36 руб./кг, «Ванили» — 35 руб./кг, «Орешка» — 33 руб./кг.
Закупочная цена творога 8%-й жирности определяется зави­симостью (29 – 0,003x) руб./кг, где х — объем закупки (в кг). Аналогичные зависимости для творога 7%-й жирности (27 – 0,008x) руб./кг и 2%-й жирности (26 – 0,005x) руб./кг.
Минимальный выпуск для «Изюминки» 100 кг, «Ванили» 50 кг, «Орешка» 50 кг.
Постройте производственную программу, максимизирующую общую суточную прибыль.
Вопросы:
1. Какова максимальная прибыль?
2. Каков оптимальный объем производства сырковой массы «Орешек»?
3. Каков оптимальный объем производства сырковой массы «Ваниль»?

Глава 15. Целочисленные задачи линейного программирования

Задача 3

В регионе работают 4 химических завода. Им предложено принять участие в конкурсе по размещению госзаказа на производство изделий пяти наименований в объемах, приведенных в таблице.

Каждый из заводов представил несколько вариантов годовой производственной программы по выполнению госзаказа и соответствующие финансовые условия.

Вопросы:

1. Каковы минимальные затраты на выполнение заказа?

2. Следует ли реализовать вариант 2 завода 1?