ДЗ: Домашнее задание № 1. Вариант 19 (4 задачи)

Домашнее задание № 1 по курсу "Дискретная математика".
Вариант 19.
Формат doc.

Задача 1
Для заданного теоретико-множественного тождества:
а) проиллюстрировать тождество диаграммой Эйлера-Венна;
б) проверить тождество методом эквивалентных преобразований или методом характеристических функций.
(A / B) △ (A / C) = (A ∩ ~B ∩ C) ∪ (A ∩ ~C ∩ B) (в. 19)

Задача 2
Для заданных на множестве A = {1, 2, 3, 4, 5} бинарных отношений ρ и τ:
а) записать матрицы и построить графики;
б) найти композицию ρ ◦ τ;
в) исследовать свойства отношений ρ, τ и ρ ◦ τ (рефлексивность, иррефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность).
{(x, y): |x − y| <= 1} (в. 19)

Задача 3
Пусть H — подгруппа, порожденная элементом b в мультипликативной группе z p вычетов по модулю p, а gH — класс смежности группы z p по подгруппе H с представителем g.
а) Вычислить подгруппу H и смежный класс gH.
б) Каждый элемент класса gH представить в виде двоичного числа длины 7.
в) На множестве полученных векторов построить диаграмму Хассе для отношения порядка
(α1, . . . , αn) 4 (β1, . . . , βn) ⇔ (α1 ≤ β1) ∧ . . . ∧ (αn ≤ βn).
Выписать любые три максимальные цепи и антицепи и указать их на диаграмме Хассе.
p = 79, b = 18, g = 9. (в. 19)

Задача 4
Проверив аксиомы, установить, является ли заданная алгебра с двумя бинарными операциями полукольцом или кольцом. При этом:
а) для полукольца (не являющегося кольцом), проверить, является ли полукольцо коммутативным, идемпотентным, замкнутым;
б) для кольца проверить, будет ли оно булевым, есть ли в нем делители нуля, является ли кольцо полем.
Множество всех многочленов произвольной степени над полем действительных чисел с обычными операциями сложения и умножения многочленов. (в. 19)