e6 (997546)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Московский государственный технический университет им. Н.Э.БауманаГ.В.БАЛАБИНАЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В КОНТУРЕ LRCМетодические указания к лабораторной работе Э-6 по курсу общей физикиПод редакцией Л.К.МартинсонаИздательство МГТУ, 1992Изучены свободные затухающие электрические колебания при помощи осциллографа.Экспериментально определены основные параметры контура LRC. Для студентов 2-гокурса.Цель работы - изучение свободных затухающих электрических колебаний в контуре LRC с сосредоточенными параметрами при помощи осциллографа.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬКолебательный контур с сосредоточенными параметрами состоит из конденсатора С, катушкииндуктивности L и активного сопротивления R (рис. 1). При этом предполагают, что емкостисопротивления R и катушки L малы по сравнению с емкостью конденсатора С, а индуктивностисопротивления R, конденсатора С и соединительных проводов малы по сравнению с индуктивностью катушки L.KCLRРис.

1Рассмотрим процесс возбуждения электрических колебаний в контуре. Пусть, при разомкнутомключе К конденсатор заряжен, т.е. между обкладками конденсатора имеется электрическое поле, заключающее в себе определенную энергиюCU 02WC =2(1)LJ 022(2)где С - емкость конденсатора; U0 - начальное напряжение на конденсаторе.Если ключ К замкнуть, то конденсатор начнет разряжаться и его электрическое поле будетуменьшаться. При этом в контуре возникнет электрический ток разряда конденсатора, в результате в катушке индуктивности L появится магнитное поле, а в контуре - ЭДС самоиндукции.Через некоторое время конденсатор разрядится полностью, и электрического поля в конденсаторе не будет.

Однако магнитное поле в катушке при этом достигнет максимума, иначе говоря,вся энергия электрического поля преобразуется в энергию магнитного поляWL =где L - индуктивность катушки; J0 - максимальное значение силы тока.В последующие моменты времени магнитное поле начнет уменьшаться, так как нет токов, егоподдерживающих. Это уменьшающееся поле вызовет появление ЭДС самоиндукции, которая всоответствии с правилом Ленца будет поддерживать ток разряда конденсатора. В результатеконденсатор перезарядится, и между его обкладками появится электрическое поле, направленное противоположно начальному. Через некоторое время магнитное поле в катушке исчезнет, аэлектрическое поле между обкладками конденсатора достигнет максимума, т.е. вся энергиямагнитного поля преобразуется в энергию электрического поля.

Конденсатор начнет снова разряжаться, но с противоположным направлением тока.В ходе рассмотренного процесса периодически меняются заряд q на обкладках конденсатора,напряжение U на конденсаторе и сила тока J в контуре, иначе говоря, в контуре происходятсвободные электрические колебания. Так как всякий реальный контур обладает активным сопротивлением, то энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется на нагревание сопротивления, вследствие чего колебания затухают. Такие колебания принято называть свободными затухающими колебаниями.Найдем уравнение, описывающее свободные затухающие колебания в контуре, представленномна рис.

1.Условимся считать заряд на обкладках конденсатора q положительным, если знаки зарядов наобкладках такие, как на рис. 1, а силу тока J положительной, если ток в контуре направлен почасовой стрелке. Причем ток можно считать квазистационарным, т.е. относительно медленноменяющимся переменным током. Для его мгновенных значений с достаточной степенью точности выполняются законы постоянного тока. На практике установлено, что токи промышленнойчастоты (50 Гц) можно рассматривать как квазистационарные.Конденсатор С, напряжение на котором равно U, разряжается через катушку индуктивности L иdJрезистор сопротивления R, причем в цепи возникает ЭДC самоиндукции ε S = − L.dtПо закону Ома ток в цепиdJU−L(3)U + εSdt=J=RRилиdJ(4)L+ JR − U = 0dtЗаряд q и напряжение U на конденсаторе связаны соотношением q=CU, поэтому силу тока Jможно представить в виде:dqdU(5)= −CJ=dtdtЗнак «минус» указывает на то, что выбранное положительное направление тока соответствуетуменьшению положительного заряда конденсатора.Дифференциальное уравнение (4) после подстановки в него выражения (5) и деления всех членов на произведение LC будет иметь видd 2 U R dU1(6)++U=02L dt LCdtУравнение (6) является уравнением, описывающим свободные затухающие электрические колебания для напряжения U на конденсаторе.Введем обозначенияδ=R12, ω0 =2LLCТогда уравнение (6) можно записать в видеd2UdU+ 2δ+ ω 02 U = 02dtdt(7)(8)где δ - постоянная величина, называемая коэффициентом затухания; ω0 - собственная частотаконтура.Полученное уравнение (8) является линейным дифференциальным уравнением второго порядкас обыкновенными производными и постоянными коэффициентами.

Решения его имеют различный вид в зависимости от соотношения между постоянными коэффициентами.L1. Рассмотрим случай, когда δ < ω0 (или. R < 2) - малое затухание.CТогда решение имеет вид(9)U (t ) = U e − δ t cos (ω t + ϕ )0где U0 - начальное напряжение на конденсаторе; ω - циклическая частота затухающих колебаний:(10)ω = ω2 − δ 20φ - начальная фаза, значение которой определяется начальными условиями, а именно: при t=0U=U0, т.е. φ = 0.Примечание.

За начало отсчета времени выбираем момент замыкания ключа К.Период затухающих колебаний в контуре2π= 2πT=ω1  R −LC  2L 2(11)График зависимости напряжения U от времени t показан на рис. 2.UU0U0e-δttРис.2Приведенное решение (9) позволяет найти закон изменения тока в контуре. С учетом (5) имеемJ (t ) = −CdU= q 0 e − δt  δ cos ( ω t + ϕ ) + ω sin ( ω t + ϕ )dtгде q0= CU0 - начальный заряд на конденсаторе.Умножим и разделим правую часть полученного выражения на ω0 :J (t ) = − C δdUωsin ( ω t + ϕ )= q 0 ω 0 e − δt  cos ( ω t + ϕ ) +dtω0 ω0Введем угол α, определяемый условиями cos α = δ/ω0, sin α = ω /ω0.После простых тригонометрических преобразований получаем закон изменения тока J в контуре:(12)J t = J e − δt сos ω t + ϕ − α()(0)где J0=q0ω0 - амплитуда тока в начальный момент.Так как sinα>0 и cosα>0, то угол α меняется в пределах 0<α<π/2. Следовательно, между напряжением U на конденсаторе и силой тока J в контуре имеется сдвиг по фазе α, который зависитот коэффициента затухания δ : при δ<<ω0, α→π/2.Таким образом, в случае малого затухания сила тока J отстает по фазе от напряжения U на величину α.L).2.

Пусть теперь затухание велико: δ>ω0 (или R > 2CВ этом случав частота ω, представленная соотношением (10), является мнимой величиной. Этоозначает, что решение (9) не применимо, иначе говоря, электрических колебаний в контуре небудет. Для данного случая общее решение уравнения (8) имеет вид(13)U(t ) = A e − h1t + A e − h 2t12т.е. является суммой двух экспоненциальных функций времени, что выражает апериодическоемонотонное затухание напряжения U.

В выражении (13)h 2 = δ − δ 2 − ω 02h 1 = δ + δ 2 − ω 02 ,следовательно, h1 и h2 - вещественные и положительные параметры; A1 в A2- произвольные постоянные, определяемые из начальных условий:Ut=0 = A1 + A2dUdt= − A 1h 1 − A 2 h 2 = 0t=0так как при t = 0 J= 0.Решая совместно оба уравнения, получаемh2A1 = −U 0,h1 − h 2Тогда решение (13) принимает видU (t ) = U 0A2 = U0h1,h1 − h 2(1h 1 e − h 2 t − h 2 e − h 1th1 − h 2)(14)На рис. 3 графически представлен апериодический разряд конденсатора (пунктирные кривыесоответствуют слагаемым, сплошная кривая - их сумме).Uh1exp(-h2t)th2exp(-h1t)Рис.33. Рассмотрим случай, когда δ=ω0, илиLCR KP = 2(15)Это соотношение определяет так называемый критический режим, при котором осуществляетсяпереход колебательного процесса в апериодический.

Сопротивление RKP принято называть критическим сопротивлением.Из соотношений (9) и (12) следует, что величина δ характеризует скорость затухания колебанийв контуре, так как чем больше δ, тем быстрее прекращаются колебания. Величина τ =1/ δ характеризует время, за которое амплитуда колебаний, убывает в е число раз.Кроме коэффициента δ для оценки быстроты затухания колебаний используют безразмернуювеличину γ, называемую логарифмическим декрементом затухания и равную натуральному логарифму отношения двух последовательных максимальных отклонений колеблющейся величины в одну и ту же сторону.

Так, для напряжения на конденсатореγ = lnπRUt= δT =U t+T2L R−C4,(16)где Ut - амплитуда напряжения в момент времени t; Ut+T амплитуда напряжения в момент времени t +T.Очевидно, что коэффициент затухания δ характеризует затухание колебаний за единицу времени, а логарифмический декремент затухания γ - затухание колебаний за один период T. ЕслиNe-число колебаний за время, в течение которого амплитуда уменьшилась в е раз, то можно записать, чтоγ=1Ne(17)Колебательный контур часто характеризуют его добротностью Q., которая определяется соотношениемQ=π1= πN e =γRL R2−C4(18)Очевидно, чем больше добротность контура Q, тем медленнее затухают колебания.Физический смысл добротности Q рассмотрим для случая слабых затуханий (δ < ω0 ).

ЭнергияCU 02W0 =, запасенная в контуре в начальный момент, к концу первого периода уменьшится до2CU 02 − 2 δTe. Относительное уменьшение энергии за один период2CU 02(1 − e − 2 δT )∆W2π= 2= 1 − e − 2 δT ≈ 2δT =2W0QCU 02(здесь учтено, что при слабом затухании е–2δТ≈ 1-2δТ ). Таким образом,Q = 2π ⋅W0∆W(19)т.е. добротность контура Q равна умноженному на 2π отношению энергии, запасенной в контуре, к потерям энергии за период.В ряде случаев колебательный процесс целесообразно исследовать непосредственно по зависи-мости напряжения U от тока J. Интегральную кривую U= f(J), уравнение которой может бытьполучено с помощью дифференциальных уравнений (5) и (8), называют фазовой траекториейсвободных затухающих колебаний. Преимущество анализа процессов в колебательном контуреc помощью фазовых траекторий заключается в их наглядности.С учетом соотношения (5) уравнение (8) можно представить в видеdJ(20)= ω 02 CU − 2δJdtРешая совместно (5) и (20), получаем дифференциальное уравнение интегральной кривой нафазовой плоскостиdUJJL(21)==2 2dJ 2δCU − ω 0 C U C(RJ − U )Так как в начальный момент времени напряжение на конденсаторе равно U0, а ток J=0, то согласно (21) dU/dJ=0.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги