В. И. Смирнов (987304), страница 8
Текст из файла (страница 8)
При диффузии по междоузлиям такое условие несущественно, поскольку большинство междоузлий свободно. Реально имеет место комбинация этих двух механизмов, но один из них обычно32преобладает. Примесные атомы III и V групп в кремнии диффундируют, какправило, по вакансиям, а атомы I и VIII – по междоузлиям.Рассмотрим количественную модель процесса диффузии, предполагая,что диффузия осуществляется по междоузлиям вдоль одного направления (одномерный случай).
На рис. 3.5 изображены две параллельные атомные плоскости, расположенные на расстоянии а другот друга (а – параметр кристаллической решетки).Поверхностные концентрации примесных атомов,расположенных в этих плоскостях, равны соответственно Ns(x) и Ns(x+a). Через j1 и j2 обозначены плотности потока атомов, то есть количествоатомов, пересекающих мысленно выделеннуюединичную поверхность АВ за единицу времени.Рис. 3.5. Модельпроцесса диффузииПлотности потока j1 и j2 не равны друг другу, поскольку Ns(x) ≠ Ns(x+a).Для того чтобы произошла диффузия, атом должен преодолеть потенциальный барьер, существующий в кристаллической решетке. Если высота потенциального барьера Ed, то вероятность ω преодолеть этот барьер пропорциональна множителю Больцмана, то есть ω ~ exp(−Ed / kT).Кроме того, вероятность перескока должна быть прямо пропорциональначастоте колебаний атома υ, так как чем больше частота, тем больше «попыток»у атома перескочить в соседнее положение.
Плотности потоков атомов j1 и j2будутопределятьсяпроизведениемповерхностныхконцентрацийв соответствующей плоскости на вероятность перескока-E d-E dj1 = N s (x) ⋅ υ ⋅ e kT , j2 = N s (x + a) ⋅ υ ⋅ e kT .Результирующий поток j через плоскость АВ будет определяться разностью j1 и j2:-E dj = j1 − j2 = υ ⋅ e kT [N s (x) − N s (x + a)].(3.9)Разложим поверхностную концентрацию Ns(x+a) в ряд и ограничимсядвумя членами разложения:∂N s (x)N s (x + a) ≈ N s (x) +a.(3.10)∂xПодставив (3.10) в (3.9), получим-E d∂N (x)j = −a ⋅ υ ⋅ e kT ⋅ s .33∂x(3.11)Учитывая, что поверхностная концентрация Ns(x) и объемная концентрация С(х) связаны соотношением Ns(x) = а⋅С(х), выражение (3.11) примет вид-E d-Ed−∂C(x)∂C(x)∂C(x)j = −a 2 ⋅ υ ⋅ e kT ⋅= −D 0 ⋅ e kT ⋅= −D ⋅,(3.12)∂x∂x∂xгде через D и D0 обозначены соответственно коэффициенты диффузии примесных атомов при произвольной температуре Т и физически бесконечно большойтемпературе, удовлетворяющей условию: kT >> Ed.
Знак минус в выражении(3.12) указывает, что диффузионный перенос вещества происходит в направлении уменьшения концентрации примесных атомов.Таким образом, математическая модель процесса диффузии примесныхатомов в твердом теле позволяет сделать вывод, что плотность потока диффундирующих атомов пропорциональна градиенту концентрации, а коэффициентпропорциональности (коэффициент диффузии) увеличивается с температуройпо экспоненциальному закону.Основные закономерности процесса диффузии. Законы ФикаЗакономерности диффузионных процессов в газах и жидких растворахбыли исследованы в конце XIX века швейцарским ученым Фиком.В дальнейшем была показана применимость сформулированных Фиком законов применительно к твердым телам.
Основные закономерности процесса диффузии описываются двумя законами Фика. Согласно первому закону Фикаплотность потока диффундирующих атомов пропорциональна градиентуих концентрации∂Cj = −D ⋅,(3.13)∂xгде D – коэффициент диффузии, зависящий от температуры:-E dD = D 0 ⋅ e kT .Микроскопическая модель процесса диффузии, рассмотренная выше,по существу лишь подтверждает справедливость первого закона Фика, хотяи позволяет глубже понять природу такой связи.Второй закон Фика касается распределения диффундирующих атомовв пространстве.
Его можно получить из следующих соображений. Пусть примесные атомы диффундируют в среде (например, кремниевой пластине) вдольоси х. Их распределение вдоль оси х показано на рис. 3.6. Выделим мысленно всреде трубку постоянного сечения S, а в ней – некоторый объем dV=S⋅dx, ограниченный параллельными плоскостями с координатами x и x+dx.
За время dtчерез сечение S в выделенный объем dV слева войдет j(x)⋅S⋅dt молекул. За то жевремя справа из объема dV выйдет j(x+dx)⋅S⋅dt молекул. Тогда общее изменениеколичества молекул в выделенном объеме dV за время dt будет равно34∂j ∂jdN ≈ S ⋅ dt ⋅ j(x) − j(x) − dx = − ⋅ S ⋅ dx ⋅ dt.∂x ∂xПоскольку концентрация молекул − это ихколичество в единице объема, то изменение концентрации молекул dC за время dt будет равноdN∂j= − dt.(3.14)dC =dV∂xРис. 3.6. Диффузия примесив трубке постоянного сеченияИз уравнения (3.14) получимdC∂j=− .∂xdt(3.15)Поскольку концентрация молекул зависит нетолько от времени, но и от координаты, то в левой части уравнения (3.15) необходимо взять частные производные:∂C∂j=− .(3.16)∂t∂xИспользуя первый закон Фика (3.13), получим∂C ∂ ∂C = D .∂t ∂x ∂x (3.17)Полученное выражение представляет собой второй закон Фика,или просто уравнение диффузии. В случае, если коэффициент диффузии можносчитать не зависящим от координаты, уравнение диффузии примет вид∂C∂ 2С=D 2.∂t∂x(3.18)Решением этого дифференциального уравнения будет функция C(x,t), зависящая от координаты и времени, что позволяет определить распределениепримесных атомов по глубине полупроводниковой пластины в любой моментвремени.Диффузия из ограниченного и неограниченного источниковРешение дифференциального уравнения (3.18) зависит от граничных условий.
В принципе задать граничные условия можно различным образом,но наибольшее практическое значение получили два вида условий, которые соответствуютдвумслучаямосуществлениядиффузии:диффузиииз неограниченного источника и диффузии из ограниченного источника. Рассмотрим оба эти случая.1. Диффузия из неограниченного источника. Граничные условия в этомслучае имеют вид:35C(0, t) = Cn = const; C(∞, t) = 0.(3.19)Согласно данным граничным условиям на поверхности пластины значениеконцентрации примесных атомов в любой момент времени поддерживается постоянным, несмотря на то, что часть атомов из газовой фазы переходитв полупроводниковую пластину.
Это означает, что источник примесных атомовсодержит их неограниченное количество (отсюда и название –диффузияиз неограниченного источника). Решением уравнения (3.18) при граничных условиях (3.19) будет функция x C(x, t) = C п ⋅ erfs(3.20), 2 Dt где Сп – концентрация примесных атомов в приповерхностном слое пластины;erfs(z) – дополнительная функция ошибок, определяемая выражением2 z −z 2erfs(z) = 1 −dz.∫eπ0Функция erfs(z) протабулирована, что позволяет по известному аргументу определить и само значение функции. Профили распределения примесных атомовпо глубине пластины в различные моменты времени представлены на рис. 3.7.Диффузия из неограниченногоисточника соответствует первой стадиитехнологического процесса – загонкепримеси.
Цель этой операции – сформировать в приповерхностном слое пластины тонкий слой с определенным содержанием примесных атомов. В настоящее время загонка примеси частоосуществляется не путем диффузии, а спомощью метода ионной имплантации,который позволяет более точно контроРис. 3.7. Распределение примеси поглубине (неограниченный источник)лировать количество внедренных в пластину атомов.Количество внедренных в приповерхностный слой атомов определяетсядозой легирования Q, представляющей собой число атомов, прошедших черезединичную поверхность пластины за все время проведения диффузии:tQ = ∫ j(0, t)dt,(3.21)0где j(0, t) – плотность потока атомов через единичную поверхность пластины,которую можно найти из первого закона Фика∂C(x, t)j(0, t) = − D|.(3.22)∂x x = 036Подставив (3.20) в (3.22), можно вначале определить j(0, t) , а затем с помощью(3.21) и дозу легирования Q.
Проведя данные преобразования, можно получитьQ = 2C nDt≈ 1,13C n Dt .π2. Диффузия из ограниченного источника. Граничные условия в этом случае имеют вид∞(3.23)∫ C(x, t)dx = Q = const; C(∞, t) = 0.0Граничные условия (3.23) означают, что неизменным остается общее количество примесных атомов, введенных в пластину на предыдущей стадии.Этот случай соответствует второй стадии технологического процесса – разгонке примеси, которую проводят при более высокой температуре, чем загонку.Цель этой операции – сформировать нужный профиль распределения примесных атомов по глубине и, тем самым, обеспечить нужную глубину залегания рп-перехода.
Решением уравнения диффузии (3.18) с учетом граничных условий(3.23) будет функция Гаусса-x 2Qe 4Dt .C(x, t) =πDtГрафик распределения примесных атомов по глубине в различные моменты времени представлен на рис. 3.8. Серым цветом показан приповерхностныйслой пластины, куда с помощью загонкибыло внедрено определенное количествопримесных атомов. Здесь же пунктиром показана исходная концентрация примесныхатомов, которыми пластина была легирована ранее, а также глубина залегания р-пперехода. Предполагается, что тип примесных атомов, присутствующих в пластинеранее и вводимых в настоящее время, различен, то есть были доноры, а вводятся акРис. 3.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
