Методичка по дз (982480), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Это явление называется самоиндукцией, а возникающая ЭДСE si — электродвижущей силой самоиндукции.Выясним, от чего зависит ЭДС самоиндукции. Пусть жесткий контур находится в вакуумеили в среде, магнитные свойства которой не зависят от магнитного поля. Магнитная индукция(по закону Био — Савара — Лапласа, который сохраняет силу в квазистационарных процессах,когда частота колебаний электромагнитного поля достаточно мала), а значит, и полный магнит-ный поток Ф поля B через поверхность, ограниченную контуром С, будут пропорциональнысиле тока I:Φ = LI .(3.6)Коэффициент пропорциональности в соотношении (3.6) между током I контура и магнитным потоком Ф, создаваемым собственным магнитным полем, называется индуктивностью Lконтура.
Индуктивность L какого-либо контура зависит от его формы и размеров, а также отсвойств окружающей среды.Применяя к явлению самоиндукции основной закон электромагнитной индукции, получаемдля ЭДС самоиндукции выражениеE si = −dΦd= − ( LI ).dtdt(3.7)Если контур жесткий и находится в вакууме или в среде, магнитные свойства которой не зависят от магнитного поля, то при изменении силы тока I в контуре индуктивность L остаетсяпостоянной, и тогда выражение для ЭДС самоиндукции принимает видE si = − LdI.dt(3.8)В противном случае, когда последнее условие не имеет места (например, пространство, вкотором расположен контур, содержит ферромагнетики), индуктивность контура зависит от силы тока, генерирующего магнитное поле, и при меняющемся токе изменяется со временем.
Вэтом случае ЭДС самоиндукции равнаdL dIE si = − L+ I.dt dt(3.9)Знак минус в уравнении (3.9) показывает, что ЭДС E si всегда направлена так, чтобы препятствовать изменению силы тока — в соответствии с правилом Ленца. Эта ЭДС стремится сохранитьток неизменным: когда ток уменьшается, она его поддерживает, а когда увеличивается — она емупротиводействует.3.2. Методические рекомендации к решению задачпо теме «Электромагнитная индукция»Решения предлагаемых задач сводятся к расчету разветвленных цепей, содержащих элементы сопротивления, емкости и индуктивности. Если в задаче содержится всего один контур, то принципиально это не влияет на методику ее решения. Сам расчет цепей состоит изнахождения токов в отдельных ее ветвях, зарядов конденсаторов и их полярности, скоростидвижения подвижной перемычки, входящей в состав рассматриваемой цепи.
Для этого необходимо, в частности, воспользоваться двумя законами Кирхгофа и вторым законом динамикиНьютона. При составлении уравнения движения перемычки с током в магнитном поле необходимо учесть действующую на нее помимо других сил силу Ампера.Согласно первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле цепи,равна нулю:∑Ik= 0.(3.10)kФизический смысл первого закона Кирхгофа заключается в следующем: узел электрическойцепи по определению не обладает электрической емкостью, т. е.
способностью накапливатьэлектрический заряд, поэтому весь поступающий в узел электрический заряд должен его покинуть.При составлении уравнений согласно первому закону Кирхгофа сначала произвольно выбирают направления токов во всех узлах цепи, при этом следует считать, что токи, идущие к узлу, итоки, исходящие из узла, имеют разные знаки, например: первые — положительны, вторые —отрицательны или наоборот. Затем, непосредственно следуя соотношению (3.10), записываютсамо уравнение.Второй закон Кирхгофа справедлив для любого выделяемого в цепи замкнутого контура: алгебраическая сумма произведений сил токов на отдельных участках произвольного замкнутогоконтура и их сопротивлений соответственно плюс алгебраическая сумма падений напряженийна конденсаторах, находящихся на отдельных участках цепи рассматриваемого замкнутого контура, равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре:∑E = ∑IiijjRj + ∑mqm.Cm(3.11)Здесь под Ei понимаются все возможные ЭДС, обусловленные различными источниками сторонних сил (химическими реакциями, силами Лоренца, вихревым электрическим полем и т.
д.).Следует заметить, что при практическом использовании соотношения (3.10) нужно сначала выбрать положительное направление обхода по контуру, что определяет знаки слагаемых в обеихчастях этого уравнения. Кроме того, если возникает необходимость использовать величинуd Φ / dt , то в этом случае надо согласовывать направление обхода по контуру с выбранным ранее направлением нормали n к плоскости, ограниченной контуром.
Когда направление обходаконтура и направление нормали n связаны правилом правого винта, то Ei в левую часть соотношения (3.11) входит со знаком плюс и в свою очередь определяется законом E si = −d Φ / dt.Отдельно подробнее рассмотрим влияние на электрическую цепь ЭДС самоиндукции катушки индуктивности E si = − L dI / dt , где L — индуктивность катушки как элемента цепи. Еслиэлектрическая цепь в задаче домашнего задания содержит катушку индуктивности L, то длясхемы, как правило, неизвестно направление намотки витков катушки относительно выбран-ного ранее положительного направления обхода контура (правое или левое), тем более чтодля одной и той же катушки, рассматриваемой как элемент одного или другого контура, этонаправление может быть различным.
Последнее представляет определенные трудности прииспользовании закона E si = − L dI / dt в левой части соотношения (3.11).Рассмотрим правило использования данного закона в двух возможных случаях сочетаниявыбранного ранее направления тока на участке цепи с индуктивностью L и положительногонаправления обхода по рассматриваемому контуру. Первый случай (рис. 3.1): направление токаI и положительное направление обхода по контуру совпадают.
Тогда ЭДС самоиндукции E siвходит в левую часть соотношения (3.11) со знаком плюс: (+ E si ), а последняя определяется законом E si = − L dI / dt , следовательно, +E si = − L dI / dt.Рис. 3.1Второй случай (рис. 3.2): направление тока I и положительное направление обхода по контуру противоположны. Здесь ЭДС самоиндукции E si входит в левую часть соотношения (3.11)со знаком минус ( −E si ), следовательно, −E si = − ( − L dI / dt ) .Рис.
3.2Формально в идее этого правила можно увидеть некоторую аналогию с правилом знаков дляпервого слагаемого∑IjR j в соотношении (3.11): если направление тока на участке цепи с R j иjположительное направление обхода совпадают, то произведение I j R j считается положительным,а если нет, то отрицательным. Итак, сумма ЭДС по замкнутому контуру включает в себя и ЭДСсамоиндукции, определенную законом E si = − L dI / dt , а учет последнего в левой части соотношения (3.11) должен быть выполнен в соответствии с описанным выше правилом. После окончательного решения задачи выясняется истинное направление тока на рассматриваемом участке иистинное направление ЭДС самоиндукции.Уравнения (3.10), (3.11) составляют при выполнении следующих условий, являющихсяследствием законов Кирхгофа и позволяющих получить систему линейно независимых уравнений для определения токов на всех участках цепи:– если в разветвленной цепи имеется N узлов, то независимые уравнения типа (3.10) можносоставить лишь для N – 1 узлов;– если в разветвленной цепи можно выделить несколько замкнутых контуров, то независимые уравнения типа (3.11) можно составить только для тех контуров, в которых присутствуетхотя бы один новый элемент (сопротивление, емкость, ЭДС любого типа), не встречающийся вуже рассмотренных контурах;– если предположительное направление тока в цепи совпадает с выбранным направлением обхода, то соответствующее слагаемое I j R j в уравнении (3.11) нужно брать со знакомплюс, если эти направления противоположные, то со знаком минус;– в свою очередь, слагаемое вида qm / Cm в (3.11) формируется следующим образом.
Пустьвыбрано направление обхода. Тогда, если конфигурация, состоящая из заряда пластин конденсатора qm и направления обхода, совпадает с конфигурацией, указанной на рис. 3.3, то соответствующее слагаемое имеет вид qm / Cm , а если с конфигурацией, указанной на рис. 3.4, то( − qm / Cm ).В нестационарных процессах на обкладках конденсаторов, входящих в тот или иной контурэлектрической цепи, с течением времени изменяются значения электрических зарядов. Ток,протекающий по участку контура, в котором находится конденсатор, либо заряжает, либо разряжает его (рис. 3.5 и 3.6).Рис. 3.3Рис.
3.4Рис. 3.5Рис. 3.6В первом случае уравнение «сохранения» электрического заряда имеет видdq m = Idt ,поскольку такой ток увеличивает положительный заряд на соответствующей обкладке конденсатора, а во втором случаеdqm = − Idt ,поскольку при этом положительный заряд «уходит» с соответствующей обкладки конденсатора.Динамическое уравнение, описывающее движение подвижной перемычки, и представленные выше уравнения, основанные на законах Кирхгофа, образуют замкнутую систему с заданными начальными условиями. При составлении динамического уравнения практически во всехзадачах необходимо знать силу Ампера, действующую на подвижную часть контура (например,в декартовой системе координат):i Fa = I [ l × B ] = I l xBxjlyByklz .Bz(3.12)Здесь I — ток, протекающий по перемычке; l — вектор, длина которого совпадает с длинойподвижной перемычки, а направление — с выбранным направлением протекания тока.
Следуетотметить, что зависимость (3.12) справедлива, если выполнены следующие условия:I = const, Bx , By , Bz постоянны и угол между векторами l и B одинаков вдоль всего подвижногоучастка цепи.3.2. Примеры выполнения домашнего заданияпо теме «Электромагнитная индукция»Задача 3.1. По двум гладким медным шинам, установленным вертикально, в однородноммагнитном поле B , которое не изменяется с течением времени, под действием силы тяжестивдоль оси Oy скользит без трения прямолинейная металлическая перемычка массой m.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
