Методичка по дз (982480), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Легко заметить, что в условиях рассматриваемой задачи вектор ν перпендикулярен плоскости элементарного контура ABCD и обусловливает положительноенаправление обхода этого контура, циркуляция вектора намагниченности J по которомулежит в основе вывода локального соотношения для касательных компонент вектора J на границе раздела двух магнетиков. Это соотношение выполняется в каждой точке поверхности раздела S.Итак, в рассматриваемом приближении циркуляция вектора намагниченности J по бесконечно малому контуру ABCD∫ ( J , d l ) = ( J 2t − J1t )l.(2.16)ABCDКак было показано выше, правая часть теоремы о циркуляции вектора J представляет со′ , где линейная плотность поверхностногобой только поверхностный ток намагниченности I пов′ в условиях рассматриваемой задачи определена соотношениемтока намагничивания iпов ′ = (iпов′ , ν)dl = (iпов′ )ν dl.dI пов′ поверхностных токов намагничиванияОтсюда следует, что под линейной плотностью iповпонимается количество электричества, протекающего в единицу времени через единицу длиныотрезка, расположенного на поверхности, по которой течет ток намагничивания, и перпендику′ получаемлярного направлению тока [3].

Тогда для поверхностного тока намагничивания I повследующее соотношение:l′ = ∫ ( iпов′ ) ν dl .I пов(2.17)0Предельным переходом из соотношения (2.17) с учетом равенства (2.16) получаем граничное условие, которому в данной задаче должен удовлетворять вектор намагниченности J награнице раздела двух магнетиков:где J 1t и J 2t′ )ν ,J 2t − J1t = (iпов— касательные компоненты вектора J в первой и второй средах.(2.18)Итак, локальное условие (2.18) является прямым следствием теоремы о циркуляции векторанамагниченности J . Заметим, что в правой части соотношения (2.18) индекс ν может быть заменен индексом z, так как в условиях рассматриваемой задачи направление, задаваемое ортомν , и направление оси Oz совпадают.17Применительно к нашей задаче рассмотрим внешнюю цилиндрическую поверхность S раз32дела радиусом R0 = R.

Здесь среда1 — это область пространства, заполненного магнетиком, а среда2 — вакуум. В первой среде в каждой точке поверхности раздела касательная компонентаJ 1t вектора намагниченности J определяется зависимостью (2.13), во второй среде J 2 t = 0, таккак J 2 = χH , а магнитная восприимчивость χ для вакуума равна нулю. Тогда из локального соотношения (2.18) с учетом зависимости (2.13) имеем:25(i′пов ) z = − Rj.96(2.19)Можно показать, что на внутренней поверхности трубки, также являющейся поверхностьюраздела «магнетик — вакуум», поверхностный ток намагничивания отсутствует.

В данномслучае из зависимости (2.13) при r = R следует, что J1t = 0 , а J 2 t = 0 , так как вторая среда —вакуум. Поэтому из локального соотношения (2.18) на поверхности раздела двух сред следует, что поверхностный ток намагничивания на внутренней поверхности трубки отсутствует.′ линейной плотности поверхноПолученные результаты позволяют записать для вектора iповстных токов намагничивания в условиях рассматриваемой задачи равенство′ = ( iпов′ ) z ν,iповт.

е. ток намагничивания на внешней поверхности трубки направлен противоположно току на′ и J взаимномагничивания, распределенного по объему магнетика. Заметим, что векторы iповперпендикулярны.Выполним проверку полученных результатов. Найдем суммарный ток намагничивания, используя при этом найденные зависимости (2.15) и (2.19). Итак,2 π R0∫I′ =0 r225′ dl + ∫  2 − 1  j 2 π r dr = −iповπR 2 j + 2 π32RSR0 r4r2 j 2 −  =02 R 4R(2.20)где первое слагаемое в правой части соотношения (2.20) представляет собой поверхностный токнамагничивания, текущий в отрицательном направлении оси Oz, а второе — ток намагничивания, распределенный по объему магнетика и текущий в противоположном направлении.′ линейной плотности поверхностных токов намагничивания в расОтметим, что вектор iповсматриваемой задаче имеет только одну составляющую — по оси Oz. Это подтверждается результатами расчетов, которые находятся в согласии с положением, что вне магнетика магнитные поля обоих токов намагничивания компенсируют друг друга.183.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ3.1. Основные теоретические сведенияЯвление электромагнитной индукции, открытое английским физиком М. Фарадеем в 1831 г.,описывается следующим законом (закон Фарадея): в замкнутом проводящем контуре C приизменении во времени магнитного потока Ф, охватываемого этим контуром, возникает электрический (индукционный) ток. Поток вектора магнитной индукции B через произвольную поверхность S, ограниченную контуром C, равен по определению Φ = ∫ ( B, d s ), где под знакомSинтеграла записано скалярное произведение вектора магнитной индукции B = B ( x, y, z , t ) и вектора элементарной площадки рассматриваемой поверхности d s = nds , n — единичный векторнормали к площадке ds. Появление индукционного тока I обусловлено возникновением ЭДСиндукции — скалярной величины, которая пропорциональна скорости изменения магнитногопотока Ф сквозь поверхность S, натянутую на контур C:Ei = −dΦ.dt(3.1)ЭДС электромагнитной индукции не зависит от того, чем именно вызвано изменение магнитного потока — деформацией контура, его перемещением в магнитном поле, изменением самого поля с течением времени или совокупностью перечисленных факторов.

Обратим внимание на то, что полная производная в законе (3.1) автоматически учитывает все перечисленныевыше независимые друг от друга причины, которые приводят к появлению ЭДС индукции [4,5]. Выявление физического смысла знака алгебраической величины ЭДС индукции в законе(3.1) требует особого обсуждения.Профессор Петербургского университета Э.Х. Ленц исследовал связь между направлениеминдукционного тока и характером вызвавшего его изменения магнитного потока. В 1833 г. онустановил следующий закон: при всяком изменении магнитного потока Ф сквозь поверхность,натянутую на замкнутый проводящий контур, в последнем возникает индукционный ток такогонаправления, что его магнитное поле противодействует изменению магнитного потока (правило Ленца). Поэтому знак «минус» в правой части уравнения (3.1) соответствует правилу Ленца.Таким образом, соотношение (3.1), объединяющее в себе закон Фарадея и правило Ленца, является математическим выражением основного закона электромагнитной индукции.В физике принята правая система координат.

Поэтому при практическом использовании закона электромагнитной индукции направление обхода контура при вычислении Ei и направление нормали n при вычислении магнитного потока Ф, сцепленного с контуром, должны бытьсогласованы по правилу правого винта: из конца вектора n обход контура должен быть виденпроисходящим против хода часовой стрелки. Поэтому, выбирая (произвольно) определенноеположительное направление нормали, мы определяем и положительное направление обходаконтура, что дает возможность определить как знак потока вектора магнитной индукции (скалярное произведение векторов), так и ЭДС индукции в контуре, что позволяет выразить ЭДСиндукции и по модулю, и по знаку соотношением (3.1).Представляет интерес максвелловская трактовка явления электромагнитной индукции.Дж.К.

Максвелл исследовал вопрос возникновения ЭДС индукции и, как следствие, появлениеиндукционного тока I в неподвижном проводящем контуре, находящемся в переменном магнитном поле. Вопрос состоял в том, какая же сила возбуждает индукционный ток в этом случае? Ответ был найден Максвеллом. Согласно Максвеллу, всякое переменное магнитное полевозбуждает в окружающем пространстве электрическое поле. Последнее и является причинойвозникновения индукционного тока в проводящем контуре. Максвеллу принадлежит следующая углубленная формулировка закона электромагнитной индукции: всякое изменениемагнитного поля во времени возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле; циркуляция вектора напряженности E этого поля по любому неподвижному замкнутому контуруC определяется выражением ∂Φ(EC∫ , d l ) = − ∂ t ,(3.2)где Ф — магнитный поток через поверхность, натянутую на контур С.

Для обозначения скорости изменения магнитного потока в соотношении (3.2) использован знак частной, а не полнойпроизводной, и этим подчеркивается тот факт, что контур должен быть неподвижным.Между максвелловским и фарадеевским пониманием явления электромагнитной индукцииимеется существенное различие. Согласно Фарадею, электромагнитная индукция состоит в возбуждении электрического тока.

Для ее наблюдения необходимо наличие замкнутого проводника.По Максвеллу сущность электромагнитной индукции состоит прежде всего в возбуждении электрического поля, а не тока. Электромагнитная индукция может наблюдаться и тогда, когда в пространстве вообще нет никаких проводников. Появление индукционного тока в замкнутом проводнике при внесении последнего в переменное магнитное поле — лишь одно из проявленийэлектрического поля E , возникшего в результате изменения поля магнитного. Но поле E можетпроизводить и другие действия, например, вызывать поляризацию диэлектрика и пробой конденсатора, ускорять и тормозить заряженные частицы и т.

п. Оно может вызывать электрический токи в незамкнутом проводнике [4].Формулировка закона электромагнитной индукции, данная Максвеллом, более общая, чемформулировка Фарадея. Она принадлежит к числу наиболее важных обобщений электродинамики. Математически закон индукции в понимании Максвелла выражается формулой (3.2), гдеC — произвольный замкнутый контур, который может быть проведен и в диэлектрике (а не обязательно в проводнике, как было у Фарадея). Магнитный поток Ф определяется интегралом Φ = ∫ ( B, d s ),(3.3)Sвзятым по произвольной поверхности S, натянутой на контур C. Поэтому соотношение (3.2)можно представить в виде  ∂B ∂C∫ ( E ,d l ) = − ∂ t ∫S ( B, d s ) = − ∫S  ∂t , d s .(3.4)Математическая структура уравнения (3.4) такова, что оно может быть преобразовано вдифференциальную форму.

В результате такого преобразования получим∂Brot E = − .∂t(3.5)Это дифференциальная форма закона электромагнитной индукции. Уравнение (3.4) или эквивалентное ему уравнение (3.5) — одно из основных соотношений теории электромагнитного поля. Оно входит в систему уравнений Максвелла.В электростатике источниками электрического поля являются неподвижные электрическиезаряды.

Для такого поля интеграл (E∫ , d l ) обращается в нуль по любому замкнутому контуру.CПо этой причине одно только электростатическое поле не может обеспечить непрерывное течение электричества вдоль замкнутых проводов. Напротив, электрическое поле, возбуждаемоемагнитным полем, меняющимся во времени, — не потенциальное, а вихревое. Ротор напряженности электрического поля E и его циркуляция, вообще говоря, отличны от нуля.

Благодаряэтому вихревое электрическое поле без каких бы то ни было добавочных сил может вызватьнепрерывное течение электрического заряда по замкнутым проводам. Это течение и наблюдается в виде индукционных токов [2].Явление электромагнитной индукции наблюдается во всех случаях, когда изменяется магнитный поток, пронизывающий натянутую на контур поверхность. В частности, этот поток может создаваться током, протекающим по рассматриваемому контуру. Поэтому при любом изменении силы тока в каком-либо контуре в нем возникает ЭДС индукции, которая вызываетдополнительный ток в контуре.

Характеристики

Список файлов книги