Методичка по дз (982480)
Текст из файла
Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаЛунева Л.А., Тараненко С.Н., Козырев А.В., Голубев В.Г., Купавцев А.ВЭЛЕКТРОСТАТИКА. МАГНИТОСТАТИКА.ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯМетодические указания к выполнению домашнего задания по курсу общей физикиПод редакцией д-ра техн. наук, проф. А.М. МакароваМосква, 20111. ЭЛЕКТРОСТАТИКА1.1. Основные теоретические сведенияТеорема Гаусса для вектора напряженности электростатического поля E в диэлектрике. Поле вектора E в диэлектрике обладает замечательным и важным свойством: поток вектораE сквозь любую замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме зарядов (как стороннихq, так и связанных q′), охватываемых этой поверхностью, деленной на ε0, т. е.1∫ ( E , d s ) = εS(q + q′),(1.1)0где вектор d s = nds, n — нормаль к элементу поверхности ds, внешняя по отношению к объему,охватываемому поверхностью S; кружок у знака интеграла означает, что интегрирование проводится по замкнутой поверхности S.
Уравнение (1.1) является математическим выражениемтеоремы Гаусса для вектора напряженности E электростатического поля в диэлектрике в интегральной форме.Дифференциальная форма теоремы Гаусса для вектора напряженности электростатического поля E в диэлектрике: 1div E = (ρ + ρ′ ),ε0(1.2)где ρ и ρ′ — объемные плотности сторонних и связанных зарядов в той точке, где вычисляетсяdiv E. При использовании теорем (1.1) и (1.2) для вакуума следует учесть, что в этом случаеq′ = ∫ ρ′dV = 0 и ρ′ = 0 .VТеорема Гаусса для вектора поляризованности среды P : поток вектора P сквозь любуюзамкнутую поверхность S равен взятому с обратным знаком суммарному связанному заряду1диэлектрика в объеме, охватываемом поверхностью интегрирования S, т.
е.∫ ( P, d s ) = − q′.(1.3)SДифференциальная форма теоремы Гаусса для вектора поляризованности среды P :div P = −ρ′.(1.4)Общее выражение для оператора div в ортогональных криволинейных системах координатприведено в приложении к методическим указаниям.Если выразить заряд q′ через поток вектора P по формуле (1.3) и подставить его в уравнение (1.1), то выражение (1.1) можно преобразовать к следующему виду: ((εE+ P ), d s ) = q.0∫SВеличину, стоящую под знаком интеграла во внутренних скобках, обозначают буквой D и называют вектором электрического смещения, или просто вектором D : D = ε 0 E + P.(1.5)Поток этого вектора через любую замкнутую поверхность S зависит только от стороннегозаряда q, находящегося в ограниченном поверхностью интегрирования S объеме.Теорема Гаусса для вектора электрического смещения D : поток вектора D сквозь произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью, т.
е.∫ ( D, d s ) = q.(1.6)SЗаметим, что свойство (1.6) поля вектора D оправдывает введение этого вектора: во многихслучаях он значительно упрощает изучение электрического поля в диэлектриках [1].Дифференциальная форма теоремы Гаусса для вектора электрического смещения D :div D = ρ ,(1.7)т. е. дивергенция поля вектора D равна объемной плотности стороннего заряда в той же точке.Если диэлектрик линейный и изотропный, то вектор поляризованности диэлектрикаP = ε 0 κE ,(1.8)где κ — диэлектрическая восприимчивость вещества — скалярная величина, не зависящая отмодуля вектора напряженности электрического поля. Подставив зависимость (1.8) в соотношение (1.5), получимD = ε 0 (1 + κ) E = ε 0εE.(1.9)Безразмерную величину ε = 1 + κ называют диэлектрической проницаемостью диэлектрика.21.2. Методические рекомендации к решению задачпо теме «Электростатика»В условиях предлагаемых задач, как правило, задан (явно в виде q или неявно в виде разности потенциалов) сторонний заряд на обкладках конденсатора.
Выбирая поверхность интегрирования в соответствии с видом симметрии каждой задачи, по теореме Гаусса (1.6) находимраспределение зависимости вектора D от пространственных координат, которые для каждогорассматриваемого случая могут быть различны: либо декартовы ( x, y, z ) , либо сферические(r , θ, ϕ) , либо цилиндрические (r , ϕ, z ) . Ниже мы будем рассматривать сферически симметрич-ный случай, поэтому определяемые величины будут зависеть только от одной пространственной координаты — радиальной координаты r.Далее из соотношения (1.9) определяем зависимость вектора напряженности электростатического поля E от радиальной координаты в диэлектрике:E (r ) =D(r ).ε 0ε( r )(1.10)Вектор поляризованности P связан с вектором напряженности электростатического поля Eсоотношением (1.8), поэтомуP (r ) = ε 0 [ε(r ) − 1]E (r ).(1.11)В результате поляризации среды в диэлектрике возникают связанные заряды с объемнойплотностью ρ′, которая определяется из соотношения (1.4).
Объемная плотность избыточных связанных зарядов внутри однородного диэлектрика будет равна нулю, если внутри него отсутствуетобъемная плотность сторонних электрических зарядов (ρ = 0). Для неоднородного диэлектрика( grad ε ≠ 0 ) к указанному условию необходимо добавить условие E = 0 [1].В нашем случае ρ = 0, поэтому появление связанных зарядов с объемной плотностью ρ′ обусловлено неоднородностью диэлектрика и наличием напряженности электрического поля между обкладками конденсатора.В результате поляризации среды на границе раздела диэлектриков или на границе раздела«диэлектрик — вакуум» могут появляться также поверхностные связанные заряды.
Зависимость между поляризованностью среды P и поверхностной плотностью σ′ связанных зарядовна границе раздела диэлектриков имеет видP2 n − P1n = −σ′,(1.12)где P2n и P1n — проекции вектора поляризованности P в диэлектриках 2 и 1 на общую нормальn к границе раздела в данном месте (вектор n проводят от диэлектрика 1 к диэлектрику 2).Из соотношения (1.12) следует, что на границе раздела диэлектриков нормальная составляющая вектора P испытывает разрыв, величина которого равна зависящей от свойств диэлек3триков поверхностной плотности σ′ связанных зарядов.
Если среда 2 является вакуумом, то условие (1.12) приобретает более простой вид:σ′( M ) = Pn ( M ),(1.13)где M — точка, находящаяся на поверхности диэлектрика; Pn — проекция вектора P на нормальn , внешнюю по отношению к занятой диэлектриком области. Знак проекции Pn определяет изнак поверхностной плотности σ′ связанного заряда в данной точке.Далее необходимо найти суммарный связанный заряд диэлектрика:q′ = ∫ ρ′(V )dV + ∫ σ′( M )ds.V(1.14)SВ соотношении (1.14) первое слагаемое учитывает суммарный связанный заряд, распределенный по объему диэлектрика, а второе — суммарный связанный заряд, распределенный повсей поверхности рассматриваемого диэлектрика. Заметим, что алгебраическое значение q′ в(1.14) должно быть равно нулю.
Этот факт используется для проверки полученных результатов.Для нахождения емкости C конденсатора необходимо определить разность потенциалов между обкладками:R0 U = ϕ( R ) − ϕ( R0 ) = ∫ ( E , d r ).RТогда по определениюC=q,U(1.15)где заряд q соответствует поверхности конденсатора, потенциал которой равен ϕ(R). Под зарядом конденсатора q имеют в виду заряд, расположенный на положительно заряженной обкладке.Замечание. Полученное значение емкости C конденсатора определено верно, если оно удовлетворяет соотношениюCU 2= ∫ wdV ,2V(1.16) ( E , D)— объемная плотность энергии электростатического поля; V — объем, в которомгде w =2локализовано электростатическое поле в конденсаторе.1.3.
Пример выполнения домашнего заданияпо теме «Электростатика»Задача. Радиусы внешней и внутренней обкладок сферического конденсатора равны R0 и Rсоответственно. Заряд конденсатора равен q. Диэлектрическая проницаемость среды между обкладками изменяется по закону ε = f (r ), где r — расстояние от центра сфер (рис. 1.1).4Найти распределение модулей векторов электростатического поля: электрического смещения D , напряженности E и поляризованности P в зависимости от радиальной координатыr ∈ ( R ; R0 ).Определить поверхностную плотность связанных зарядов на внутренней σ1′ и внешней σ′2поверхностях диэлектрика, распределение объемной плотности связанных зарядов ρ′(r ) и емкость С конденсатора.Выполнить проверку полученных результатов.Рис.
1.1Решение. Пусть заданы следующие зависимости:R0 3= ,R 1ε( r ) =R0n,R0n + R n − r nn = 4.(1.17)Преобразуем зависимость для диэлектрической проницаемости ε(r ) с учетом заданного соотношения R0 = 3R :ε( r ) =(3R) 481R 4=.(3R )4 + R 4 − r 4 82 R 4 − r 4(1.18)Расчет характеристик электростатического поля начнем с определения вектора электрического смещения D(r ) между обкладками конденсатора.Пусть сторонний заряд q > 0 равномерно распределен по внутренней обкладке.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
