МЕХответы (977846), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Последнее представление есть общее уравнение динамики в аналитическом виде.

Допустим, что связи, наложенные на систему, идеальны. Это значит, что сумма элементарных работ сил реакцией связей, тождественна, равна 0 на любом возможном перемещении системы из того или иного её положения, занимаемого в процессе движения. В этом случае сложится следующая ситуация:

27.Геометрия масс. Центр масс механической системы. Момент инерции твёрдого тела относительно оси.

Центром масс механической системы называют точку, положение которой может быть определено по формуле: , где m_k – масса точки, r_k – радиус вектор, о пределяющий положение этой точки.

Е сли ввести декартовую систему координат, координаты центра масс будут характеризоваться следующими формулами:

Момент инерции материальной точки относительно оси – это произведение массы рассматриваемой точки на квадрат расстояния до оси.

Момент инерции механической системы относительно оси – сумма всех моментов инерции, всех точек рассматриваемой системы, относительно той же оси.

Для однородной материальной линии:

Момент инерции относительно начала координат:

Отсюда осевые моменты инерции выражаются:

Сложив осевые моменты инерции, получим: I_X+I_Y+I_Z=2I₀.

М омент инерции стержня:

Момент инерции диска массы М и радиуса R.

За элемент площади d примем площадь между окружностями радиусов  и +d, тогда d=2d. Поэтому получим:

Для определения момента инерции диска относительно диаметра, воспользуемся соотношением I_X+I_Y+I_Z=2I₀. Тогда I_X=0.25MR².

П рямой круговой цилиндр: Из определения момента инерции системы следует, что момент инерции точек не изменяется при перемещении их параллельно оси, если образно диск взять и сместить все точки на основание цилиндра, то получится диск, а момент инерции диска нам известен, тогда момент инерции цилиндра I_Z=0.5MR².

Момент инерции шара.

За dV примем объём между поверхностями радиусов  и +d, тогда dV=4²d. Тогда

П ринимая центр шара за начало координат. Очевидно, что I_x=I_y=I_z, теперь воспользуемся формулой и найдём

28.Обобщённые координаты, обобщённые силы. Условия равновесия механической системы в обобщённых координатах.

Е сть некоторая система N точек, на которые наложены голономные связи, выражающиеся несколькими ι уравнениями вида: _v(x_k, y_k, z_k,t)=0, (v=1, 2,…,ι). Таким образом, все 3N координат точек системы связаны между собой этими уравнениями. Эти ι уравнений, можно решить относительно каких то переменных, число которых равно ι, таким образом число независимых координат равно n=3N-ι. Перейдём от n независимых декартовых координат к каким то n зависимым обобщённым координатам, т. е. выразим независимые декартовые координаты через n независимых обобщённых координат q_i.

Числом степеней свободы системы с голономными связями называют число обобщённых независимых координат, через которые можно выразить декартовы координаты всех точек системы.

Е сли, как мы уже выяснили, через обобщённые координаты можно выразить декартовы координаты любой точки системы, следовательно, через обобщённые координаты можно выразить и радиус вектор этой точки: . Для вычисления вектора r_k его можно рассматривать как полный дифференциал от , тогда полный дифференциал

но Под вектором понимают вектор

Обобщённые силы. Для формулировки этого понятия составим выражение сумм элементарных работ всех активных сил, приложенных к точкам системы.

Меняем порядок суммирования:

Обозначим внутреннюю сумму тогда равенство примет вид

Выражение Q_i в координатной форме:

Величину Q_i называют обобщённой силой, соответствующей обобщённой координате q_i.

Условие равновесия механической системы в обобщенных координатах.

Для равновесия голономной системы, обладающей n степенями свободы, в каком то её положении, определяемом значениями обобщённых координат, необходимо и достаточно, чтобы значения всех обобщённых сил, соответствующие этим обобщённым координатам равнялись 0.

29.Тождества Лагранжа.

30.Уравнения Лагранжа второго рода.

Используя общее уравнение динамики

выразим вектор dr_k через обобщённые координаты: делаем подстановку изменяем порядок суммирования:

Нам известны тождества Лагранжа

Применим следующее тождество и подставим в него правые части уравнений

Подставляя правую часть этого уравнения под знак внутренней суммы в , представим эту сумму в виде двух сумм. Тогда:

Рассмотрим выражение кинетической энергии системы

Cоставим частные производные от Т по переменным q_i и q_i, применяя правило дифференцирования сложных функций и дифференцируя сначала скалярное произведение , тогда и эти 2 соотношения подставляем в правую часть

Вторая внутренняя сумма в правой части

представляет собой обобщённую силу Q_i.

Таким образом получим:

Это уравнение является общим уравнением динамики в обобщённых координатах.

Применяя это уравнение, справедливое для любой совокупности независимы величин (q₁, q₂, …,q_n), поочерёдно к таким их значениям когда одна только координата получает приращение, не равное 0, а приращение остальных координат берутся равными 0, т. е. другие координаты не изменяются, можно получить n таких уравнений

Или окончательно

Это и есть уравнение Лагранжа второго рода.

31.Силовое поле. Потенциальные поля. Потенциальная энергия.

Силовым полем называю часть пространства, в каждой точке которого на материальную точку действует определённая сила, зависящая от координат точки. Силовое поле считают стационарным, если действующие силы не изменяются с изменением времени. Если силы зависят от времени, то силовое поле не стационарно. Стационарное силовое поле называют потенциальным ,если существует такая функция U, зависящая от координат точки, через которую проекции силы на координатные оси, в каждой точки поля, выражаются формулами:

Функцию U(x, y, z) – называют силовой функцией.

Потенциальной энергией П материальной точки в рассматриваемой точке силового поля М называют работу, которую совершают силы поля действующие на материальную точку при перемещении её из точки М в начальную точку М₀. П= - U.

П отенциальные силы – силы, возникающие в результате действия на тела потенциальных силовых полей.

Свойства потенциальных силовых полей

1.Работа независима от пути и времени.

2.Работа по замкнутому контуру равна 0.

32.Уравнения Лагранжа второго рода для консервативных систем.

Силы, действующие на механическую систему, в этом случае могут быть выражены через силовую функцию U. Обобщённые силы выражаются по формулам: отсюда уравнения Лагранжа принимают вид: В этих уравнениях перенесём налево с обратным знаком. Кроме того, что U зависит только от обобщённых координат, но не зависит от обобщённых скоростей, тогда: . Вследствие этого уравнения Лагранжа примут вид: . Введём функцию L=T+U, называемую функцией Лагранжа, причём . Тогда уравнения Лагранжа примут вид: . Следует заметить, что функция L не является механической энергией системы Е, которая равна:

Е=Т-U=Т+П.

33.Циклические координаты. Первые интегралы.

Ц иклической обобщённой координатой механической системы называют координату q_k, не входящую явно в выражение функции Лагранжа L=T+U. Эта обобщённая координата не входит ни в выражение силовой функции U, ни в выражение кинетической энергии Т. В кинетическую энергию входит только обобщённая скорость , соответствующая этой координате. При этих условия и уравнения Лагранжа примут вид:

, где C_k – постоянная величина. Раскрывая левую часть уравнения , можно представить его в другом виде: так как силовая функция U не зависит от обобщённых скоростей. Выражение для можно получить, дифференцируя по кинетическую энергию Т в виде: . Тогда уравнение примет вид: . Таким образом, получен первый интеграл уравнения Лагранжа, соответствующий данной циклической координате q_k; поэтому интеграл называют циклическим. Циклический интеграл является линейным относительно обобщённых скоростей. Для полного интегрирования системы уравнений Лагранжа необходимо и достаточно получить 2n первых интегралов этой системы, т. е. 2n соотношений вида: удовлетворяющих уравнениям Лагранжа. Из этих уравнений найдём все величины q_i и в функции времени с достаточным числом произвольных постоянных. Произвольные постоянные находятся по начальным данным.

34.Теорема об изменении количества движения.

Одной из мер движения точки или системы является количество их движения.

Количеством движения материальной точки q называют вектор, равный произведению массы точки m на её скорость v.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)