3 (971660)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Билет №3

Определение 2.3. Линейное пространство E называют евклидовым пространством,

если в этом пространстве задано скалярное умножение, т.е. закон или правило, согласно которому каждой паре векторов x, y G E поставлено в соответствие действительное число (x, y), называемое скалярным произведением. При этом выполняются следующие аксио­мы скалярного умножения:

а) (x, y) = (y, x);

б) (x + y, z) = (x, z) + (y, z);

в) (Ax, y) = A (x, y), A G R;

г) (x, x) ^ 0, причем (x, x) = 0 лишь в случае, когда x = 0.

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

• размерности 1 (вещественная прямая)

• размерности 2 (евклидова плоскость)

• размерности 3 (евклидово трехмерное пространство)

• Евклидово пространство можно считать современной интерпретацией и обобщением (так как оно допускает размерности больше трех) классической (Евклидовой) геометрии.

Определение. Система ненулевых элементов x_j ,... , x_n евклидова

пространства называется ортонормированной системой, если все элементы этой системы попарно ортогональны и норма каждого элемента равна

единице, т.е. (x_t,xj)=J^1, \ ^j, i = 1,2,...,n, j = 1,2,...,n.

Теорема 2.5. Любая ортогональная(ортонормированная) система ненулевых векторов линейно независима.

Ч Рассмотрим произвольную ортогональную систему ненулевых векторов ei, ... , e_m. Предпо­ложим, что для некоторых действительных коэффициентов а₁, ... , a_m выполняется равенство

a₁e₁ + ... + a_me_m = 0. (2.7)

Умножим это равенство скалярно на какой-либо вектор e^:

(a₁e₁ + ... + a^e^ + ... + a_me_m, ei) = (0, e^).

В силу свойства 2.3 скалярного произведения правая часть полученного равенства равна нулю, и мы, преобразуя левую часть в соответствии со свойством 2.4, получаем

a₁ (e₁, ei) + ... + a_i (ei, ei) + ... + a_m (e₁, ei) = 0.

Так как система векторов ортогональна, то все слагаемые слева, кроме одного, равны нулю, т. е.

a_i (e_i, e_i) = 0. (2.8)

Так как вектор e_i ненулевой, то (e_i, e_i) = 0 (аксиома 4 скалярного умножения). Поэтому из (2.8) следует, что a_i = 0. Индекс i можно было выбирать произвольно, так что на самом деле все коэффициенты a_i являются нулевыми. Мы доказали, что равенство (2.7) возможно лишь при нулевых коэффициентах, а это, согласно определению 1.2, означает, что система векторов e₁, ..., e_m линейно независима. ►

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов ответов (шпаргалок)