Математический анализ 2 семестр (971041), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Теорема. Рациональная функция может быть представлена в виде

= + +…+ +…+ + + …+ + …+ ,

где - простой действительный корень , - действительный корень кратности , - пара комплексно сопряженных корней кратности (комплексно сопряженные корни ), - простая пара комплексно сопряженных корней (корни ).

Доказательство. Применяем к рациональной функции лемму 1, выделяем полином – целую часть , затем по лемме 2, выделяем члены разложения, соответствующие простым и кратным действительным корням. Затем по лемме 3 выделяем члены разложения, соответствующие простым и кратным парам комплексно сопряженных корней. Так как многочлен может иметь корни лишь перечисленных типов, то разложение этим и исчерпывается.

Следствие 3. Задача интегрирования рациональной функции сводится к задачам интегрирования элементарных рациональных дробей четырех типов

1. , 2) , 3) , 4) .

Способы вычисления коэффициентов при разложении рациональной дроби на элементарные.

Пример.

Теперь надо приравнивать многочлены в числителях дробей и определять неизвестные коэффициенты A, B, M, N, P, Q.

Это можно сделать двумя способами.

1 способ – приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях переменной, составлять и решать систему уравнений.

X⁵| 3=A+B+M

X⁴| 1=A-B+N

X³| 7=2A+2B+P

X²| 2=2A-2B+Q Решение системы A=2, B=1, M=N=Q=0, P=1.

X |2=A+B-N-P

1 |1=A-B-N-Q

2 способ – задавать значения неизвестной, вычислять значения числителей и составлять систему уравнений.

X=1 | 16=8A

X= -1| -8=-8B

X=0 | 1=A-B-N-P

X=2 | 181=75A-25B+30M+15N+6P+3Q

X=-2 | -96= -25A-75B-30M+15N-6P+3Q

X=-3 | -824= -200A –400B-240M –80N –24P+8Q

Решая эту систему уравнений, получим то же решение A=2, B=1, M=N=Q=0, P=1.

Какой способ применять – зависит от того, где получается более простая и удобная для решения система уравнений.

В данном примере вторая система сложнее первой.

Интегрирование элементарных рациональных дробей четырех типов.

1. ,

3. =

(пример рассмотрен во второй лекции). Для того, чтобы вычислить интеграл от дроби в п.3, достаточно в соответствующем примере второй лекции обозначить коэффициенты другими буквами.

1. = =

, где .

Вычислим интеграл .

.=

- =

По этой рекуррентной формуле можно последовательно вычислять интегралы при различных , предварительно вычислив

.

Таким образом, показано, что все четыре типа элементарных рациональных дробей интегрируемы. Следовательно, класс рациональных функций представляет собой класс интегрируемых функций.

При интегрировании конкретных рациональных функций выделяют целую часть и раскладывают рациональную дробь на элементарные. Затем интегрируют элементарные рациональные дроби.

Пример.

Составляем и решаем систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов (первый способ определения коэффициентов)

Получим

Можно воспользоваться и вторым способом определения коэффициентов.

X=0 | -1 = B-A-C

X=1 | 4 = A+B+2B+C+B-A-C= 4B

X=-1| -2 = A+B-2B-C+B-A-C= -2C. Отсюда C=1, B=1, A=1.

Вторая система проще, чем первая.

Теперь интегрируем сумму элементарных дробей.

Метод Остроградского.

Если знаменатель рациональной дроби содержит пары комплексно сопряженных корней большой кратности, то удобно применять метод Остроградского. Он состоит в следующем: вычисляют . Затем интеграл представляют в виде

, где степень на единицу меньше степени , а степень на единицу меньше степени . Коэффициенты полиномов , определяются при дифференцировании левой и правой частей и приравнивания коэффициентов при равных степенях x.

Лекция 4. Интегрирование иррациональных и тригонометрических функций.

Интегрирование рациональных функций от тригонометрических функций.

1. , где R( ) – рациональная функция своих аргументов.

Такие интегралы всегда можно взять универсальной тригонометрической подстановкой (лекция 1)

1. .

А) Если нечетна по sin x, то делают подстановку t = cos x.

Б) Если нечетна по cos x, то делают подстановку t = sin x.

В) Если не меняет знака при изменении знака sin x или cos x, то делают подстановку t = tg x.

Пример. . Здесь мы имеем случай В). Подстановкой этот интеграл сводится к интегралу .

3. Интегралы

сводятся к табличным интегралам от синуса и косинуса, если преобразовать произведение тригонометрических функций в сумму по формулам

Пример.

1. Интегралы вида

1. Если m или n – нечетное положительное число, то sin x или cos x вносят под дифференциал.

Пример.

1. Если m, n – четные положительные числа, то применяют формулы удвоения аргумента

Пример.

1. , где m – целое положительное число, берутся с использованием формул .

Пример.

= -

1. В общем случае интегралы вида вычисляются по рекуррентным формулам с использованием основного тригонометрического тождества.

Пример.

= .

Интегрирование иррациональных функций.

Каких-либо общих методов интегрирования для всего класса иррациональных функций неизвестно, да и вряд ли такие методы можно придумать.

Общая идея состоит в том, чтобы придумать рационализирующую подстановку, т. е. найти такую замену переменных, чтобы в новых переменных интеграл был бы интегралом от рациональной функции. А, как показано на прошлой лекции, интегралы от рациональных функций всегда можно взять.

Ниже приводятся некоторые интегралы, для которых известны рационализирующие подстановки.

1. , где R( ) – рациональная функция аргументов. Рационализирующая подстановка , где .

Пример. - интеграл от рациональной функции, если взять .

2. . Этот интеграл можно представить в виде = , а затем искать коэффициенты полинома n-1 степени и константу, дифференцируя обе части, приводя дроби к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной.

Пример. .

Дифференцируем обе части

.

Приводим к общему знаменателю

. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем . Теперь, выделяя полный квадрат, получаем в правой части разложения «длинный логарифм»:

.

3. В интегралах вида рационализирующая подстановка .

Пример. . Применяем подстановку .

= . Это интеграл, рассмотренный выше в п.2.

4. Дифференциальный бином. , где - рациональные числа. Такие интегралы берутся только в трех случаях (условия П.Л.Чебышева):

а) p – целое (подстановкой , где ),

б) - целое (подстановкой ),

в) - целое (подстановкой ).

Пример. Показать, что в интеграле - целое и равно 2. Показать, что подстановка - рационализирующая.

5. Интегралы вида сводятся к одному из трех типов интегралов:

а) , для которого рационализирующие подстановки ,

б) , с подстановками ,

в) , с подстановками .

Упражнение. Вычислить интегралы .

«Неберущиеся» интегралы.

Это интегралы, которые не могут быть вычислены в элементарных функциях. Для таких интегралов приходится вводить специальные символы. Так получается потому, что класс интегралов от элементарных функций шире, чем класс элементарных функций (интегрирование – это переход от частного к общему – обобщение, а дифференцирование – это переход от общего к частному – уточнение).

Примеры. и многие другие интегралы. Для них составляются специальные таблицы, которые можно найти в различных учебниках и справочниках.

Лекция 5. Определенный интеграл.

Задача о площади криволинейной трапеции.

Рассмотрим криволинейную трапецию, образованную отрезком оси OX (основание трапеции), прямыми (на них лежат боковые

стороны трапеции) и графиком функции . Так как график функции – кривая линия, то такая трапеция называется криволинейноqй

a

b

.

X_i-1

x_i

Устроим разбиение отрезка точками . Обозначим . На каждом отрезке отметим точку . Вычислим . Обозначим - площадь части криволинейной трапеции над отрезком , S – площадь всей криволинейной трапеции. Тогда

Пусть функция непрерывна на каждом отрезке . По второй теореме Вейерштрасса выполняется неравенство , где - нижняя и верхняя грани функции на отрезке . Тогда

Сумма называется интегральной суммой, суммы , называются соответственно нижней и верхней суммами Дарбу.

Будем измельчать разбиение так, чтобы . Если существует предел интегральных сумм при неограниченном измельчении разбиения, то он называется определенным интегралом (по Риману) от функции по отрезку : .

Если существуют пределы нижней и верхней сумм Дарбу при неограниченном измельчении разбиения, то они называются нижним и верхним интегралами Дарбу.

Критерий существования определенного интеграла. Для того, чтобы существовал определенный интеграл по Риману , необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны нижний и верхний интегралы Дарбу.

Следствие. Если определенный интеграл существует как предел интегральных сумм, то он не зависит

• от выбора разбиения, лишь бы .

• от выбора отмеченных точек на элементах разбиения

• от способа измельчения разбиения, лишь бы .

Поэтому (критерий Римана) для интегрируемости по Риману ограниченной на отрезке функции необходимо и достаточно, чтобы существовало некоторое конкретное разбиение отрезка, на котором для любого .

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке.

Теорема. Если функция кусочно непрерывна на отрезке (имеет на нем не более конечного числа разрывов первого рода), то она интегрируема на этом отрезке.

Мы пришли к определенному интегралу от задачи о площади криволинейной трапеции. Если функция принимает на отрезке неотрицательные значения, то определенный интеграл можно интерпретировать как площадь под графиком функции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

К понятию интеграла можно придти и от других задач. Например, от задачи о работе переменной по величине силы, не меняющей направления на прямолинейном пути, от задачи о массе отрезка, плотность которого меняется от точки к точке, от задачи о пути тела, движущегося прямолинейно с переменной скоростью. Фактически, все эти задачи формально сводятся к задаче о площади криволинейной трапеции. В задаче о работе силы по оси ординат откладываются значения скалярного произведения вектора силы в данной точке x отрезка на орт оси OX. В задаче о массе отрезка по оси ординат откладываются значения переменной плотности. В задаче о пути, пройденном телом, по оси ординат откладывается величина скорости тела в данной точке.

Характеристики

Список файлов книги