Математический анализ 2 семестр (971041), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Лемма. .

Докажем лемму для . Сделаем замену .

Тогда формула сведется к следующей:

.

Левая часть

Правая часть . Лемма доказана.

Разобьем теперь отрезок интегрирования на 2n частей, ( ). Применим лемму к отрезкам , ,..., получим формулу Симпсона

.

Можно показать, что формула Симпсона – формула четвертого порядка точности, ее погрешность не превосходит , где . Это означает, что при интегрировании многочлена третьей степени формула Симпсона точна, ее погрешность равна нулю.

Пример. Вычислить приближенно I = с шагом .

1 формула прямоугольников ,

2 формула прямоугольников ,

3 формула прямоугольников ,

Формула трапеций .

Формула Симпсона

Лекция 26. Обзор численных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Будем рассматривать схемы численных методов для уравнения первого порядка

.

Это – самый простой случай, но к нему по аналогии сводятся схемы методов для системы дифференциальных уравнений и для дифференциального уравнения n- го порядка.

1. Методы, основанные на разложении функции в ряд Тейлора.

Запишем разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки

Рассмотрим равномерную сетку по

Пусть , тогда разложение функции в ряд Тейлора можно записать в виде

, где

Подставим в из дифференциального уравнения

Тогда

.

Это – основная расчетная формула.

Учитывая в слагаемые с производными высших порядков, получим более точные приближенные формулы.

Если взять , то получим метод Эйлера

1. Методы Рунге – Кутта.

Основная идея методов Рунге – Кутта – вместо вычисления производных высших порядков в вычислять значения функции в некоторых точках, отличных от .

Выберем

=

Разложим по h

= + =

Сравним с приведенной выше основной расчетной формулой

.

и определим коэффициенты

.

Пусть , тогда .

Если . Тогда

.

= .

Это – метод Хойна.

Если в формуле . выбрать ,

то получим явный m – шаговый (m – точечный) метод Рунге – Кутта.

Наиболее распространен явный четырехточечный метод Рунге – Кутта

В явных методах Рунге – Кутта значения вычисляются только по предыдущим значениям .

В неявных методах Рунге – Кутта значения вычисляются как по предыдущим , так и по последующим значениям . Поэтому в этих методах приходится еще решать систему уравнений относительно .

Неявный m – шаговый метод Рунге – Кутта можно записать в виде

.

,

1. Методы Адамса.

Идея методов Адамса – использовать не промежуточные вычисления значений правой части дифференциального уравнения внутри отрезка , а значения правой части на предыдущих шагах (сделать метод методом «с памятью»).

В формуле заменим интерполяционным полиномом Ньютона .

Явные методы Адамса (Адамса – Башфорта).

Возьмем , но интеграл будем брать по предыдущему отрезку . Тогда

Здесь - конечная разность - го порядка:

Подставляя эти разности, получим

(k – шаговый явный метод Адамса – Башфорта)

Пример. Получен явный метод Адамса – Башфорта второго порядка (двухшаговый)

.

Более точен метод Адамса – Башфорта четвертого порядка:

Заметим, если задано (в задаче Коши начальное условие задается), то для того, чтобы начал работать метод Адамса 4 порядка, нужно вычислить еще значения (каким-либо другим методом) . Тогда из системы формул Адамса Башфорта, выписанных для , вычисляются значения правых частей , необходимые для того, чтобы метод начал работать. Затем уже по этим значениям по формуле метода определяются .

Эта процедура называется «разгоном метода» и является обязательной в методах Адамса.

Неявные методы Адамса (Адамса – Мултона).

Возьмем , интеграл будем брать по отрезку . Тогда

Здесь - конечная разность - го порядка:

Подставляя эти разности, получим

(k – шаговый явный метод Адамса –Мултона)

Формально он записан в том же виде, что и метод Адамса – Башфорта, но разница существенна: в методе Адамса – Мултона в левой части уравнения присутствует , а в правой части присутствует . Поэтому приходится еще решать систему уравнений для явного определения .

Пример. . Поэтому имеем формулу

метода Адамса – Мултона второго порядка.

Более точен метод Адамса – Мултона четвертого порядка

.

Эти методы также требуют разгона.

Обобщением методов Адамса являются линейные многошаговые методы

Если , то метод – явный, если , то метод – неявный.

Есть методы, сочетающие явные и неявные этапы – методы. Таковы, например, методы типа предиктор – корректор (предиктор P – предсказатель – явный метод, корректор С – неявный метод). Эти методы содержат обычно и этапы вычисления функции Е. Распространены методы РЕСЕ и РЕС.

Рассмотрим в качестве метода Р метод Адамса – Башфорта 2 го порядка, а в качестве метода С – метод Адамса – Мултона 2 го порядка.

Схема метода может быть записана в виде.

Р .

Е

С

Е

Метод Р «предсказывает», прогнозирует , вычисляется значение правой части, которое используется в методе С – «корректоре» для коррекции приближения , затем вычисляется более точное значение правой части, которое вновь используется в методе Р.

Сходимость, устойчивость разностных схем, порядок точности методов.

Вообще-то это – тема отдельного курса, но нельзя говорить о методах решения дифференциальных уравнений и не сказать хотя бы несколько слов о сходимости численных алгоритмов, устойчивости вычислительных схем и точности методов.

Рассмотрим дифференциальное уравнение , равномерную сетку на отрезке интегрирования .

Рассмотрим сеточную функцию - правую часть уравнения, определенную на сетке .

Введем аппроксимации производной:

, , .

Задача Коши (дифференциальная задача) заменяется разностной задачей (разностной схемой)

или .

Разностная схема отличается от дифференциального уравнения тем, что функции заменены сеточными, производные заменены их аппроксимациями.

- решение разностной задачи, - решение дифференциальной задачи, - сеточная функция, построенная по .

Сходимость разностной схемы с порядком .

Решение сходится к с порядком , если .

.

Аппроксимация с порядком .

Пусть задача имеет единственное решение.

Пусть ( - невязка).

Разностная задача аппроксимирует дифференциальную задачу на решении

с порядком , если .

Пример. Рассмотрим схему Эйлера для задачи .

Разностная задача , ,

. Поэтому

= . То есть, , следовательно, схема Эйлера дает аппроксимацию первого порядка.

Замечание. Ошибку аппроксимации можно оценить по правилу Рунге, решая дифференциальное уравнение с шагом , а затем с шагом и сравнивая решения: , где - порядок аппроксимации.

Устойчивость разностной схемы.

Разностная схема называется устойчивой, если разностная задача имеет единственное решение такое, что .

Другими словами, при малых возмущениях мало возмущается .

Теорема. Пусть разностная схема аппроксимирует дифференциальную задачу на решении с порядком и устойчива. Тогда решение разностной задачи сходится к с порядком , причем . Здесь - константа аппроксимации, С – константа устойчивости.

Доказательство. Пусть , тогда по единственности решения (определение устойчивости) и определению аппроксимации . Тогда

(при имеем ).

Содержание.

Лекция 1 Неопределенный интеграл, таблица интегралов. 2

Лекция 2. Методы интегрирования и таблица интегралов. 4

Лекция 3. Интегрирование рациональных функций. 8

Лекция 4. Интегрирование иррациональных и 14

тригонометрических функций.

Лекция 5. Определенный интеграл. 18

Лекция 6. Формула Ньютона – Лейбница. 22

Лекции 7, 8 Несобственные интегралы. 25

Лекции 9-10. Приложения определенного интеграла. 32

Лекция 11. Дифференциальные уравнения. 37

Лекция 12. Основные типы дифференциальных уравнений 39

первого порядка.

Лекция 13. Геометрическая интерпретация дифференциальных 47

уравнений 1 порядка, изоклины. Особые точки и особые

решения.

Лекция 14. Дифференциальные уравнения высших порядков. 50

Лекции 15–16. Линейные дифференциальные уравнения 53

n –ого порядка с переменными коэффициентами.

Лекции 17-18. Линейные дифференциальные уравнения с 61

постоянными коэффициентами.

Лекции 19-20. Нормальные системы дифференциальных уравнений. 68

Лекция 21. Системы линейных дифференциальных уравнений. 76

Лекция 22. Однородные системы линейных дифференциальных 82 уравнений с постоянными коэффициентами.

Лекции 23-24. Устойчивость движения, классификация точек покоя, 87

теоремы Ляпунова.

Лекция 25. Приближенное вычисление интеграла. 95

Лекция 26. Обзор численных методов решения задачи Коши 98

102

Характеристики

Список файлов книги