Математический анализ 2 семестр (971041), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Вычисление площадей плоских фигур.

1. Фигура ограничена графиком функции, заданной в декартовой системе координат.

Мы пришли к понятию определенного интеграла от задачи о площади криволинейной трапеции (фактически, используя метод интегральных сумм). Если функция принимает только неотрицательные значения, то площадь под графиком функции на отрезке [a, b] может быть вычислена с помощью определенного интеграла . Заметим, что поэтому здесь можно увидеть и метод дифференциалов.

Но функция может на некотором отрезке принимать и отрицательные значения, тогда интеграл по этому отрезку будет давать отрицательную площадь, что противоречит определению площади.

Можно вычислять площадь по формуле S= . Это равносильно изменению знака функции в тех областях, в которых она принимает отрицательные значения.

Если надо вычислить площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции , а снизу графиком функции , то можно пользоваться формулой S= , так как .

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми x=0, x=2 и графиками функций y=x², y=x³.

Заметим, что на интервале (0,1) выполнено неравенство x² > x³, а при x >1 выполнено неравенство x³ > x². Поэтому

2. Фигура ограничена графиком функции, заданной в полярной системе координат.

Пусть график функции задан в полярной системе координат и мы хотим вычислить площадь криволинейного сектора, ограниченного двумя лучами и графиком функции в полярной системе координат.

Здесь можно использовать метод интегральных сумм, вычисляя площадь криволинейного сектора как предел суммы площадей элементарных секторов, в которых график функции заменен дугой окружности .

Можно использовать и метод дифференциалов: .

Рассуждать можно так. Заменяя элементарный криволинейный сектор, соответствующий центральному углу круговым сектором, имеем пропорцию . Отсюда . Интегрируя и используя формулу Ньютона – Лейбница, получаем .

Пример. Вычислим площадь круга (проверим формулу). Полагаем . Площадь круга равна .

Пример. Вычислим площадь, ограниченную кардиоидой .

3 Фигура ограничена графиком функции, заданной параметрически.

Функция может быть задана параметрически в виде . Используем формулу S= , подставляя в нее и пределы интегрирования по новой переменной . . Обычно при вычислении интеграла выделяют те области, где подинтегральная функция имеет определенный знак и учитывают соответствующую площадь с тем или иным знаком.

Пример. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом .

Используем симметрию эллипса, вычислим площадь четверти эллипса, находящуюся в первом квадранте. В этом квадранте . Поэтому .

Вычисление объемов тел.

1. Вычисление объемов тел по площадям параллельных сечений.

Пусть требуется вычислить объем некоторого тела V по известным площадям сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными прямой OX, проведенными через любую точку x отрезка [a, b] прямой OX.

Применим метод дифференциалов. Считая элементарный объем , над отрезком объемом прямого кругового цилиндра с площадью основания и высотой , получим . Интегрируя и применяя формулу Ньютона – Лейбница, получим

.

1. Вычисление объемов тел вращения.

Пусть требуется вычислить объем тела вращения вокруг оси OX.

Тогда .

Аналогично, объем тела вращения вокруг оси OY, если функция задана в виде , можно вычислить по формуле .

Если функция задана в виде и требуется определить объем тела вращения вокруг оси OY, то формулу для вычисления объема можно получить следующим образом.

Переходя к дифференциалу и пренебрегая квадратичными членами, имеем . Интегрируя и применяя формулу Ньютона – Лейбница, имеем .

Пример. Вычислить объем шара .

Пример. Вычислить объем прямого кругового конуса, ограниченного поверхностью и плоскостью .

Вычислим объем, как объем тела вращения, образованного вращением вокруг оси OZ прямоугольного треугольника в плоскости OXZ, катеты которого лежат на оси OZ и прямой z = H , а гипотенуза лежит на прямой .

Выражая x через z, получим .

Искомый объем можно посчитать как разность объемов прямого кругового цилиндра с высотой H и тела, вращения, ограниченного цилиндрической, конической поверхностями и плоскостью OXY

.

Вычисление длины дуги.

Для того, чтобы получить формулы для вычисления длины дуги, вспомним выведенные в 1 семестре формулы для дифференциала длины дуги.

Если дуга представляет собой график непрерывно дифференцируемой функции , дифференциал длины дуги можно вычислить по формуле

. Поэтому

Если гладкая дуга задана параметрически , то

. Поэтому .

Если дуга задана в полярной системе координат, то

. Поэтому .

Пример. Вычислить длину дуги графика функции , . .

Пример. Вычислить длину кардиоиды .

Пример. Вычислить длину одной арки циклоиды. .

.

Вычисление площади поверхности вращения.

Пусть гладкая дуга представляет собой график непрерывно дифференцируемой функции . Эта дуга вращается вокруг оси OX, описывая некоторую поверхность. Требуется определить площадь этой поверхности.

Считая элемент поверхности боковой поверхностью усеченного конуса, высотой которого является отрезок , получим . Выделяя здесь линейную часть, пренебрегая квадратичным членом от дифференциала , получаем . Интегрируя и применяя формулу Ньютона – Лейбница, получим

.

Если функция задана параметрически или в полярной системе координат, то в этой формуле производится соответствующая замена переменной, формулы для дифференциала длины дуги приведены выше.

Пример. Дуга графика функции вращается вокруг оси OX, образуя «ведерко». Можно ли налить в это ведерко определенное количество краски так, чтобы окрасить боковую поверхность ведерка?

Во-первых, определим, конечен ли объем ведерка.

, интеграл сходится, объем конечен. Ведерко будет окрашено, если будет окрашена каждая точка поверхности, т.е. в том случае, когда боковая поверхность ведерка будет конечна.

. Так как а интеграл расходится, то по первому признаку сравнения будет расходиться и интеграл . Следовательно, боковая поверхность имеет бесконечную площадь, и боковую поверхность ведерка окрасить не удастся.

Лекция 11. Дифференциальные уравнения.

Дифференциальным уравнением называется уравнение относительно независимой переменной, неизвестной функции и ее производных.

Дифференциальное уравнение общего вида выглядит следующим образом:

. Здесь x – независимая переменная, y(x) – неизвестная функция.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Если, пользуясь теоремой о неявной функции, из уравнения общего вида удается выразить явно старшую производную, то такое уравнение называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной.

.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение первого порядка общего вида выглядит следующим образом:

.

Предположим, что дифференциальное уравнение удалось разрешить относительно производной: или

.

Функция называется решением дифференциального уравнения первого порядка, если при подстановке этого решения в уравнение получаем тождество.

.

Функция называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка в области , если

• при любой постоянной функция является решением,

• для любого набора начальных условий существует константа такая, что , т.е. существует решение из семейства (при ), удовлетворяющее этим начальным условиям.

Одной из основных задач является задача отыскания общего решения дифференциального уравнения

Если зафиксировать постоянную в общем решении, мы получим частное решение дифференциального уравнения первого порядка.

Функция называется первым интегралом дифференциального уравнения, если она сохраняет свои значения на его решениях ( =С).

По сути дела, это – закон сохранения (функция сохраняет значения на решениях дифференциального уравнения).

Интегральной кривой называется график решения дифференциального уравнения.

Одной из основных задач является также задача Коши - задача отыскания частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям или интегральной кривой, проходящей через заданную точку .

Теорема существования решения задачи Коши.

Пусть функция непрерывна в области , тогда существует хотя бы одно решение, удовлетворяющее любым заданным начальным условиям или существует хотя бы одна интегральная кривая, проходящая через точку .

Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Характеристики

Список файлов книги