XVI_Terver (969543), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Отметим также, что при фиксированной дисперсии РХ = п~~ условная дисперсия 1л(Х~У) тем меньше, чем больше абсолютное значение коэффициента корреляции р. При р= ж1 условны дисперсия Р(Х~У) = О. Этот факт становится очевидным (причем для произвольно распределенных случайных векторов (Х, У)), если вспомнить (см. 7.4), что при р = ж1 существует линейная зависимость Х = аУ+Ь 376 8. УСЛОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСГИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН между Х и У, а значит, в силу свойств 2, 5 и 1 условной дисперсии П(Х~У) =Р(аУ+б)У) =а П(У)У) =агУ Р(ЦУ) =О. Вычислим теперь дисперсию ОХ с помощью условной дисперсии Х)(Х~У). Воспользовавшись свойством 7 условной дисперсии и подставляя вместо условного математического ожидания М(Х~У) его значение, вычисленное в примере 8.12, имеем Рх = М(о~(1-р ))+М(пг1+ — пг1) аг ,г,г = аг1(1 — р ) + —.1М(У вЂ” иаг) аг г г = а1 (1 — р ) + — ЭУ = о~ (1 — р ) + р а1 — — ог.
г г Р ~~1 г г г г г „г г Естественно, мы получили хорошо известный нам результат (см. пример 7.17 и 5.5). Пример 8.14. Рассмотрим двумерный случайный вектор (Х, У), где Х вЂ” случайная величина, равномерно распределеннал на отрезке [-1,1], а У = Хг (см. пример 7.20). Найдем условные дисперсии Р(Х~У) и Р(У~Х) и с их помощью вычислим ПХ и ПУ.
Определим сначала О(У~Х) и РУ. В соответствии со свойствами 6 и 1 условного математического ожидания имеем м(цх) = м(хг~х) = х'м(цх) = х'. Тогда, согласно свойствам 5 и 1 условной дисперсии, ЩЦХ) = Э(Хг~Х) = Х'Э(ЦХ) = 0. Полученный результат очевиден, поскольку если случайная величина Х приняла конкретное значение х, то вследствие 377 8.2, Усювиые числовые характеристики наличия функциональной зависимости У = Х2 значение у = х2 случайной величины У определяется однозначно.
'1Ък как м1 =мх =-/Г*' 2 1 2 2,/ 3' -1 то, согласно свойствам 1 и 7 условной дисперсии, получаем ш' = мо+ м(х' — -) = о+ — у (х' — -) ь = —. 2 1 1 Г 2 1 4 3 2/ 3 45 -1 Вычислим теперь 1Э(Х[1') и ОХ. Для этого заметим, что если случайная величина 1 приняла конкретное значение р (лежащее на отрезке [О, 1)), то случайная величина Х может принять только одно из двух значений: х1= — Я и х2=Я, причем, поскольку Х равномерно распределена на отрезке [ — 1,1), оба эти значения равновероятны. Иными словами, значению у случайной величины У соответствуют значения х1 = — ~/р и х2 = ~/у случайной величины Х, принимаемые с вероятностью 1/2.
Значит, 1 1 м(х[р) =- Г -+,Г- -=о 2 2 и в(х[р) =(- Гй-о) -+( Гй-о) — = р. 2 1 2 2 2 Таким образом, М(х[1') ш О и ь1(Х[2') = 1'. Наконец, поскольку 1 Г МХ =-( хсзр=О, 2/ -1 378 8. УСЛОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН то в силу свойства 7 условной дисперсии с учетом равенства В(Х~У) = У получаем РХ = МУ+ М(0 — О) = —. ф г 3 В заключение отметим, что для характеристики нелинейной связи случайных величин Х и У часто используют корреляционные отношения ох~у и т)ур~.
Определение 8.9. Хорреиационными опиноиьенилми случайных величин Х и У называют числа ох~у и Чур~, которые задаются выражениями (8.11) Чху = (8.12) цу!х = Корреляционное отношение ох~у вычисляют для дискретной и непрерывной случайных величин (Х, У) в соответствии В с формулами (8.13) Чх!у = (8.14) Цх!у = Заметим, что, в отличие от ноэффиииентпа корреляции р, корреляционное отношение зависит от порядка следования случайных величин Х и У, т.е.
ох~У, вообще говоря, не совпадает с тЬ ~х. 379 8.2. Условные чнсловые нарантернстннн Свойства корреляционного отношения ох~у определяются следующей теоремой. Теорема 8.3. 1. Корреляционное отношение ох~у можно записать в виде Чху = 2. КоРРелЯционное отношение Цх~у УДовлетвоРЯет неРавенству б~л1Х~у <1.
3. Корреляционное отношение 9х!у =1 тогда и только тогда, когда случайная величина Х функционально (не обязательно линейно) зависит от У. 4. Корреляционное отношение Чхр =6 тогда и только тогда, когда М(Х~У) ив в С = МХ, т.е. линия регрессии Х на У представляет собой горизонтальную прямую. 5. Коэффициент корреляции р и корреляционное отношение их~у связаны неравенством И ~ л1хр' 6. Модуль |р~ коэффициента корреляции совпадает с корреляционным отношением пхну тогда и только тогда, когда линия регрессии Х на 1' является прямой. ~ Первое утверждение теоремы вытекает из свойства' 7 условной дисперсии. Действительно, вх — м(1у(х~у)) м(м(хр ) — мх)' вх эх 380 8. УСЛОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Правы часть неравенства утверждения 2 следует из определения корреляционного отношения, поскольку В(Х~У» О и М(В(ХР )) > О.
При этом равенство М(Р(Х~У)) = О, эквивалентное равенству ох~у — — 1, имеет место тогда и только тогда, когда Р(Х~У) = О. В свою очередь, это тождество означает, что при каждом значении случайной величины У случайная величина Х принимает всего одно значение, т.е. Х является функцией от У, что доказывает утверждение 3. Аналогично левы часть неравенства утверждения 2 следует из утверждения 1 теоремы, так как (М(Х)У) — МХ) > О, при этом тождество (М(Х~У) — МХ) = О, эквивалентное тог ждеству М(Х~У) ьв МХ, имеет место тогда и только тогда, когда ох~у = О, что доказывает утверждение 4. Для доказательства утверждения 5 рассмотрим случайную величину Я,. = хУ вЂ” М(Х~У), где х — произвольное число, и вычислим ее дисперсию: ОЯ, = х~1ЭУ вЂ” 2хсоъ (У,М(Х~У)) + Р(М(Х~У)).
Дисперсия РЯ~, как функция от х, представляет собой квадратный трехчлен. Поскольку дисперсия любой случайной величины является неотрицательной, то дискриминант (2соч(У,М(Х~У))) — 41гУП(М(Х/У)) < О. (8.15) Найдем для соч(У,М(Х~У)) и Р(М(Х~У)) другие выражения. Воспользовавшись свойством 5 условного математического ожидания и утверждением 1 теоремы, заметим, что э(м(х~у)) = м(м(хр ) — м(м(х~у)))' = = М(М(ХР ) -МХ)г = О',11Х. 381 8.2. Усеоиихее числовые характеристики По определению 7.8 ковариации, имеем соч(У, М(Х~У)) = = М((У- МУ) (М(Х~У) — М(М(Х~У)))).
(8.16) Выражение под знаком математического ожидания в правой части равенства можно преобразовать, используя свойства 6 и 3 условного математического ожидания, следующим образом: (у-му)~м(хщ-м(м(хщ)) = =м~(у-му)х~у~ -м~((у-му)мх) р] = =м((ху-хму-умх+мхмт )~у) = = м((х — мх)(у — му) ~~ ). Подставляя найденные значения 1х(М(Х~У)) и сои(У, М(Х~У)) в (8.15), имеем (р4охох) <ц', охох, откуда после деления на РУРХ получаем утверждение 5. Наконец, для того чтобы доказать утверждение 6, достаточно заметить, что, согласно свойству 5 ковариации (см.
с. 310), неравенство (8.15) превращается в равенство тогда и только тогда, когда ь+*,1 -м(хр ) =-0 для некоторых хо и Ь, или М(Х~У) ив з хеУ+ Ь, что эквивалентно утверждению 6. > 382 8. УСЛОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Пример 8.15. Вычислим корреляционное отношение ох~у для случайного вектора (Х, У), распределенного по нормальному закону. Как следует из формулы (8.16) и примера 8.13, = ~(Р = 1р!. 9Ух!у = Значение корреляционного отношения в данном случае совпадает с модулем коэффициента корреляции. Это становится очевидным, если вспомнить (см.
пример 8.12), что линия регрессии Х на У является прямой, и воспользоваться утверждением 6 теоремы 8.3. Пример 8.16. Найдем корреляционные отношения ох~у и Оу~х для случайного вектора (Х, У) из примера 8.14: 45 »~»= I» — ЗМУ=О, »у~»= 1 — — М0=1. 4 Итак, мы получили, что ох~у — — О, что соответствует утверждению 4 теоремы 8.3, поскольку М(Х~У) иО=МХ. В свою очередь, равенство Оу~х = 1 соответствует утверждению 3 той же теоремы, так как случайная величина У связана со случайной величиной Х функциональной зависимостью У Хг 8.3.
Решение типовых примеров Пример 8.17. Распределение двумерного случайного векшора (Х, У) задано табл. 8.4. Найдем условное распределение случайной величины Х при условии, что случайная величина У 383 В.З. Ретеппе типовых примеров приняла значение и,, у = 1, 2, и условное распределение случайной величины У при условии, Т б 8.4 а лица 8. что случайнвл величина Х приняла значение х;, е = 1,2,3.
Используя найденные условные распределения, проверим, являются ли случайные величины Х и У кеэависи- лгььни. Распределения случайных величин У и Х приведены в табл. 8.5 и 8.6. Таблица 8.8 Таблица 8.8 Воспользовавшись определением условных веролганосшей р13 х; =Р1Х =х;~У = у1) = — ~, рз'у имеем: хм = Р(Х = 0,04~У = 0,2) = 0,15/0,20 = 0,750, хз1 = Р(Х = 0,08)У = 0,2) = 0,05/0,20 = 0,250, х1з = Р(Х = 0,04)У = 0,5) = 0,15/0,42 ~ 0,714, хзз =' Р(Х = 0,08~У = 0,5) = 0,12/0,42 = 0,286, я1з = Р(Х = 0,04~У = 0,8) = 0,35/0,38 ы 0,921, хзз = Р(Х = 0,08~У = 0,8) = 0,03/0,38 = 0,079. Таким образом, для условного эанока распределения случайной величины Х при условии У получаем табл.
8.7. Аналогично Таблица 8.7 находим условные вероятности х,' =Р(У=у ~Х=х ) = — и, рх' представленные в табл. 8.8. 384 8. УСЛОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Поскольку, например, строки в табл. 8.8 не совпадают, то случайные величины Х и У являются независимыми. Таблица 8.8 Пример 8.18. Будем говорить, что случайный вектор (Х, У) имеет равномерное распределение в области Р (с площадью Я), если его плотность распределения — (х, у) еР; 1 РХ,У(х,У) = О, (х, у) фР. Пусть случайный вектор (Х, У) имеет равномерное распределение в треугольнике с вершинами в точках (О; О), (О; 2), (1; О).
Найдем условную п.аотвносшь распределения случайной величины Х при условии, что случайная величина У приняла значение у, и условную плотность распределения случайной величины У при условии, что случайная величина Х приняла значение х. Используя найденные условные плотности распределения, проверим, являются ли случайные величины Х и У независимыми. Поскольку двумерный случайный вектор (Х, У) распределен равномерно в области Р, представляющей собой треугольник с вершинами в точках (О;0), (О;2), (1;0), то его плотность распределения имеет вид ( 1, (х, у)ЕР; рх,у(х,у) = ~ О, (х, у) ФР.
385 8.3, Решеиие типовых примеров Отсюда нетрудно найти частпкые нлотпностии распределения случайных величин Х и У: ( 2(1 — х), хЕ[О,Ц; О, х й [О, 1]; ( 1 — у/2, уЕ [0,2]; О, у Ф [О, 2]. Воспользовавшись теперь определением условной нлотпкоснти распределенил,получаем рх(х[у) = рхк(х,у) ( —, хЕ [0,1 — у/2] и уЕ [0,2]; РУ(У) ~ О, хф[0,1 — у/2] и уЕ [0,2]; рхк(х,у) (, уЕ [0,2(1 — х)] и хЕ [0,1]; Рх(х) ][ О, у~[0,2(1 — х)] и хЕ [0,1]. При у Ф [О, 2] и х 1~ [О, 1] условные плотности распределения рх(х[у) и рк(у[х) не определяются, поскольку случайнзл величина У не может попасть вне отрезка [О, 2], а случайная величина Х вЂ” вне отрезка [О, 1]. Так как, например, условная плотность распределения рх(х[у) зависит от у, а плотность распределения рх(х) от у не зависит, случайные величины Х и У являются зависимыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
