Математические утверждения и их доказательства (968702), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Для верного утверждения: «Если целое число n кратно 4 , то оно оканчивается (в десятичной записи) на четную цифру» – обратное утверждение«Если последняя цифра десятичной записи числа n четная, то n кратно 4 »неверно (число 14 оканчивается на четную цифру, но оно не делится на 4 ). В даннойситуации:а) высказывание «последняя цифра числа n четна» слишком общее для предлагаемоговывода, требуется добавить к нему еще какое-нибудь условие;5б) высказывание « n кратно 4 » носит слишком частный характер, так как если последняяцифра числа четная, то оно делится на 2 , но необязательно на 4 .Если наряду с теоремой рассматривается ей обратная, то исходную теоремутакже называют прямой теоремой.2.4.
Критерий. Если имеют место прямая и обратная теоремы, то их принятообъединять в одно утверждение, которое называют критерием. Формулировкакритерия имеет вид:«высказывание A верно тогда и только тогда, когда верно высказывание B »или, на языке импликаций (см. п.2.2),A ⇐⇒ B.Критерии играют особую роль среди математических утверждений.
По сутиони указывают на то, что высказывания A и B взаимозаменяемы («синонимы»).Утверждения A и B в критерии A ⇐⇒ B называют равносильными.Часто теоремы-критерии называют «критерий чего-либо» – скажем, какойлибо характеристики рассматриваемого объекта или принадлежности этого объекта какому-то классу.П р и м е р 2.8. Прямая и обратная теоремы Виета (см. примеры 2.4 и 2.5) дают критерийтого, что два числа x1 и x2 являются корнями квадратного уравнения x2 + px + q =0 . Критерий имеет следующую формулировку: «Вещественные числа x1 и x2 являютсякорнями квадратного уравнения x2 + px + q = 0 тогда и только тогда, когда выполненыравенства x1 + x2 = −p, x1 x2 = q » или, на языке импликаций,x1 , x2 – вещественные корни уравнения x2 + px + q = 0 ⇐⇒ x1 + x2 = −p, x1 x2 = q .П р и м е р 2.9.
Критерий существования описанной около четырехугольника окружностиформулируется следующим образом: «Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник. ОколоABCD можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположныхуглов равна 180◦ » или, на языке импликаций,около выпуклого четырехугольника ABCDможно описать окружность⇐⇒∠A + ∠C = 180◦ .2.5.
Необходимое и достаточное условие. Для формулировки критерияпомимо характерного оборота «тогда и только тогда, когда» используют и другуютерминологию.Если имеет место утверждениеA =⇒ B ,то говорят, что высказывание B – необходимое условие для высказывания A,6а высказывание A – достаточное условие для высказывания B . В этой терминологии критерийA ⇐⇒ Bможет быть сформулирован следующим образом: «высказывание B являетсянеобходимым и достаточным условием для высказывания A» или «для справедливости высказывания A необходимо и достаточно, чтобы было справедливо высказывание B ».П р и м е р 2.10.
Признак делимости целого числа на 9 является достаточным условиемделимости на 9 (см. пример 2.3). Вместе с тем, этот же признак является и необходимымусловием делимости на 9 , так какA = an an−1 . . . a1 a0 = an · 10n + an−1 · 10n−1 + . . . + a1 · 10 + a0 == an · (99. . . 9} +1) + an−1 · (99. . . 9} +1) + .
. . + a1 · (9 + 1) + a0 =| {z| {z(nn−1)= an · 99...9+a·99...9+...+a·9+ (an + an−1 + . . . + a1 + a0 ).n−11| {z }| {z }nn−1Выражение в первой скобке кратно 9 . Следовательно, если A кратно 9 , то и an + an−1 +. . . + a1 + a0 кратно 9 .Таким образом,A = an an−1 . . . a1 a0 ,an + an−1 + . . .
+ a1 + a0 кратно 9⇐⇒A кратно 9 .Кстати, заметим, что любой признак (например, делимости целого числа, равенства и подобия треугольников и др.) можно рассматривать как достаточноеусловие. Многие из них являются и необходимыми условиями (см. задачи к разделу 2).В геометрии критерии часто «скрываются» под термином «геометрическоеместо точек».П р и м е р 2.11. Известное утверждение в планиметрии: «Серединный перпендикуляр котрезку есть геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от его концов» –подразумевает следующий критерий: «Точка плоскости лежит на серединном перпендикуляре к данному отрезку тогда и только тогда, когда она равноудалена от его концов»или, на языке импликаций,M ∈ l, гдеl – серединный перпендикуляр к отрезку AB7⇐⇒M A = M B.Задачи к разделу 22.1.
Сформулируйте, используя импликации, следующие утверждения:1) признак делимости на 5;2) признак делимости на 3;3) признак делимости на 4;4) признак делимости на 8;5) признак делимости на 6;6) теорема Виета для квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0;7) теорема Безу для многочленов;8) теорема косинусов;9) теорема синусов;10) свойство медиан в треугольнике;11) свойство биссектрис в треугольнике;12) свойства равнобедренного треугольника;13) теорема о вписанном угле;14) признаки подобия треугольников;15) признак перпендикулярности прямой и плоскости;16) теорема о трех перпендикулярах;17) свойство сечения сферы;18) «простых чисел бесконечно много»;19) «квадрат простого числа, большего 3, дает при делении на 3 остаток 1»;20) «центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения его биссектрис»;21) «в параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратоввсех его сторон»;22) «центром окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам»;23) «среди четырехугольников заданного периметра максимальную площадьимеет квадрат».2.2.
Среди утверждений задачи 2.1 выделите те, которые могут быть критериями. Сформулируйте соответствующие обратные утверждения.2.3. Критерии, выделенные в задаче 2.2, сформулируйте в терминаха) «тогда и только тогда, когда»,б) «необходимо и достаточно, чтобы».2.4. Сформулируйте, используя импликации, следующие утверждения:1) теорема о серединном перпендикуляре;82) теорема о биссектрисе угла;3) «в равнобедренном треугольнике и только в нем две медианы равны»;4) «среди параллелограммов в ромб и только в ромб можно вписать окружность»;5) «число 2 и только оно является четным простым числом»;6) «в равнобедренном треугольнике и только в нем одна из медиан являетсяодновременно высотой и биссектрисой»;7) «среди четырехугольников в параллелограмме и только в нем диагоналиточкой своего пересечения делятся пополам».93.
Математическое доказательствоДоказательства являются обязательной частью любого математического текста. Если какое-либо утверждение не имеет доказательства и нет аргументов, егоопровергающих, данное утверждение может выступать лишь в качестве гипотезы.В учебных курсах могут встречаться утверждения без доказательств, но это неозначает их отсутствия в принципе – просто соответствующие доказательства неприводятся (и, тем самым, оставляются для самостоятельного ознакомления).3.1. Доказательство теоремы простейшей структуры. Схему математического доказательства можно наиболее наглядно разъяснить на примере утверждения, формулировка которого содержит одну импликациюA =⇒ B .Умение доказывать такое утверждение состоит в построении и доказательствеистинности промежуточных высказываний C1 , C2 , . . .
, Cn , которые прокладываютпуть от высказывания A к высказыванию B в виде цепочки импликацийA =⇒ C1 =⇒ C2 =⇒ . . . =⇒ Cn =⇒ B.Каждое звено (одна импликация) в этой цепочке следует из предыдущего. Начинаясь в A, она приводит к B . Все доказательство, тем самым, состоит из n + 1шагов.П р и м е р 3.1. Проиллюстрируем это на примере доказательства теоремы о биссектрисетреугольника:BK – биссектриса △ABC=⇒AK : KC = AB : BC.1 шаг. Пусть BH – высота △ABC . Тогда BH является высотой как в △ABK , так ив △BCK .
Поэтому(1) (1)SABK : SBCK =BH · AK :BH · KC = AK : KC.222 шаг. С другой стороны, если α = ∠ABK = ∠KBC , то(1) (1)SABK : SBCK =AB · BK · sin α :BC · BK · sin α = AB : BC.22Из цепочки импликацийBK – биссектриса △ABC =⇒ AK : KC = SABK : SBCK =⇒ SABK : SBCK = AB : BCследует, чтоAK : KC = AB : BC.10Уже на этом простом примере математического доказательства можно увидеть, что вся цепочка импликаций основана на одной ключевой идее – привлечении площадей треугольников, в то время, как остальные этапы либо используютсвойства участвующих в доказательстве объектов, либо носят технический характер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
