Математические утверждения и их доказательства (968702), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Язык кванторов. В математическом тексте часто встречаются обороты,логические связки, которые соответствуют так называемым кванторам – символам∃ и ∀. Символ ∃ заменяет слова «существует», «найдется» и называется квантором существования; символ ∀ заменяет слова «любой», «каждый», «всякий»или «для любого», «для каждого» и называется квантором всеобщности.П р и м е р 3.12. Запишем на языке кванторов определение наименьшего значения функции (см. пример 1.3).«Пусть отрезок [a, b] входит в область определения функции y = f (x) . Наименьшимзначением этой функции на отрезке [a, b] называется число m такое, чтоа) f (x) ≥ m ∀x ∈ [a, b] ,16б) ∃x0 ∈ [a, b] такое, что f (x0 ) = m ».Обратим внимание, что кванторы всегда используются перед переменными величинами в высказывании (см.
в примере 3.12: «∀x ∈ [a, b]» и «∃x0 ∈ [a, b]»).Игнорирование или подмена кванторов в утверждении может привести к искажению его смысла.П р и м е р 3.13. В определении: «Функция y = f (x) называется возрастающей на [a, b] ,если для x1 , x2 ∈ [a, b] : x1 < x2 выполнено неравенство f (x1 ) < f (x2 ) » – пропущенквантор всеобщности перед x1 , x2 ∈ [a, b] . Если вместо оборота « ∀ x1 , x2 ∈ [a, b] » подразумевать « ∃ x1 , x2 ∈ [a, b] », определение становится неверным – функция y = x2 получаетсявозрастающей на [−3, 3] , так как при x1 = 1 и x2 = 2 имеет место верное неравенствоf (1) < f (2) .В определении: «Функция y = f (x) называется ограниченной, если для M ≥ 0 неравенство |f (x)| ≤ M выполнено при всех x из области определения D(f ) » – пропущенквантор существования перед оборотом « M ≥ 0 », Если вместо « ∃ M ≥ 0 » подразумевать« ∀ M ≥ 0 », получится, что ограниченной является только функция, тождественно равнаянулю на своей области определения.Язык кванторов позволяет компактно записать математический текст.
Но ине только. Как будет видно в п.3.5 и п.3.6, кванторы позволяют формализоватьнекоторые преобразования (а также анализ) математических утверждений.3.5. Отрицание утверждения. Любое математическое утверждение послесвоего появления проходит этап неопределенности, когда оно является всего лишьгипотезой, искусной догадкой автора.
На этом этапе оно либо обретает корректноедоказательство, либо опровергается и тогда отвергается как ошибочный факт.В истории математики одной из самых известных гипотез, обретших своедоказательство, является Великая или Последняя теорема Ферма: «Уравнениеxn + y n = z n при любом натуральном n ≥ 3 не имеет решений (x, y, z), в которых x, y, z – натуральные числа». Записанная на полях книги древнегреческогоматематика Диофанта французским математиком Пьером Ферма, она была доказана лишь в 1994 году Эндрю Уайлсом, т.е.
357 лет спустя. На протяжении всегоэтого времени она оставалась гипотезой, подтвержденной (доказанной) только длянекоторых значений показателя степени n.Это пример верной гипотезы. А вот пример гипотезы, оказавшейся неверной.nТот же Пьер Ферма предположил: «Все числа вида 22 + 1 простые для ∀ n ∈ N».Гипотеза была опровергнута Леонардом Эйлером, когда им был построен контрпример и было показано, что число 232 + 1 является составным.Разберем, как правильно строить отрицания математических утвержденийпростейшего типа:17A =⇒ B .(3)Отрицание или опровержение утверждения (3) означает, что оно неверно, т.е.при выполнении условия A высказывание B окажется ложным.Иногда удается построить пример, когда высказывание A истинно, а высказывание B ложно. Такой пример называется контрпримером к утверждению (3).Наличие уже одного контрпримера означает, что утверждение (3) неверно.П р и м е р 3.14. Утверждение «Если число делится на 11 , то его первая и последняя цифры совпадают» неверно.
Для его опровержения достаточно найти число, которое делитсяна 11 , но его первая и последняя цифры различны. Это число 1089 = 99 · 11 .П р и м е р 3.15. Для опровержения утверждения «Любая функция, определенная на всейвещественной прямой, является либо четной, либо нечетной» приведем пример функции,не являющейся четной и не являющейся нечетной – это линейная функция y = x + 2 .В ряде случаев утверждение опровергается по-другому:1) сначала строится отрицание высказывания B ;2) затем доказывается, что при выполнении условия A справедливо отрицаниевысказывания B .Опишем один из подходов, дающий формальный алгоритм построения отрицания высказывания.
Он используется в тех случаях, когда в этом высказыванииучаствуюта) логические связки «и», «или»;б) кванторы «существует» ∃, «любой» ∀.Если в основном высказывании говорится о некотором свойстве, котороедолжно выполняться одновременно для двух объектов a и b, то высказываниебудет ложным, если хотя бы для одного из объектов a или b это свойство невыполняется.Таким образом, в отрицании высказывания связка «и» заменяется на «или», аосновное утверждение («должно выполняться») заменяется на противоположное.Аналогично,– если в высказывании говорится о свойстве, которое должно выполнятьсяхотя бы для одного объекта a или b, то высказывание не будет верным, если дляобоих объектов a и b это свойство не выполняется;– если в высказывании говорится о свойстве, которое должно выполнятьсядля любого (∀) объекта, то высказывание не будет верным, если существует(∃) хотя бы один объект, для которого это свойство не выполняется;18– если в высказывании говорится о том, что существует (∃) объект, для которого должно выполняться некоторое свойство, то высказывание не будет верным, если для любого (∀) объекта это свойство не выполняется.Таким образом, во всех четырех случаях формальный алгоритм построенияотрицания высказывания состоит в следующем:1) все логические связки «и», «или» заменяются соответственно на «или»,«и»;2) квантор существования ∃ заменяется на квантор всеобщности ∀, а квантор всеобщности ∀ – на квантор существования ∃;3) итоговые высказывания (равенства, неравенства, отношения) заменяются напротивоположные.П р и м е р 3.16.
Построим отрицание высказывания «Прямая l перпендикулярна плоскости α ». Это высказывание означает, что прямая l перпендикулярна любой ( ∀ ) прямой,лежащей в плоскости α . После замены квантора ∀ на квантор ∃ , а отношения «перпендикулярна» на «не перпендикулярна» получим отрицание: «Прямая l не перпендикулярнаплоскости α , т.е. существует ( ∃ ) хотя бы одна прямая в этой плоскости, которой она неперпендикулярна».П р и м е р 3.17. Построим отрицание высказывания «Функция y = f (x) , определеннаяна [a, b] , является строго монотонной на этом отрезке». Это высказывание означает, что оналибо возрастает на [a, b] , либо убывает на [a, b] , т.е.либо ∀x1 , x2 ∈ [a, b] : x1 < x2 выполнено f (x1 ) < f (x2 ) ,либо ∀x3 , x4 ∈ [a, b] : x3 < x4 выполнено f (x3 ) > f (x4 ) ».Производя замены, получим следующее: «Функций y = f (x) не является строго монотонной на [a, b] , если∃x1 , x2 ∈ [a, b] : x1 < x2 выполнено f (x1 ) ≥ f (x2 ) и∃x3 , x4 ∈ [a, b] : x3 < x4 выполнено f (x3 ) ≤ f (x4 ) ».3.6.
Доказательство от противного. Одним из часто используемых приемовдоказательства теорем простейшей структуры является метод доказательства отпротивного.Он состоит в следующем. Если утверждение описывается схемойA =⇒ B ,(4)то1) строится отрицание этого утверждения, т.е. предполагается, что высказывание B ложно,2) затем с помощью логических переходов (цепочки импликаций) приходят квысказыванию, которое противоречит высказыванию A.После этого утверждение (4) будет доказано.19П р и м е р 3.18. Докажем методом от противного теорему: «Простых чисел бесконечномного» или, на языке импликаций,p – простое число =⇒ каким бы ни было (∀) p найдется (∃) простое число p′ : p′ > p .Предположим противное:существует (∃) простое p :все (∀)A > p – составные=⇒=⇒Занумеруем все простые числа до pвключительно: p1 , p2 , . .
. , pN = pA = p1 p2 . . . pN + 1 составное,так как оно больше, чем p=⇒=⇒Число A должно делиться безостатка хотя бы на одно изпростых чисел p1 , p2 , . . . , pNТеперь зафиксируем получающееся противоречие:– с одной стороны, A делится на некоторое pk ,– с другой стороны, A при делении на pk дает остаток 1 .Метод доказательства от противного является стандартным способом обоснования утверждений о единственности.П р и м е р 3.19. Докажем, что уравнение 2x = 6 − x имеет единственное решение x = 2 .То, что x = 2 удовлетворяет уравнению, проверяется непосредственно. Теперь предположим, что уравнение имеет по крайней мере два различных решения x1 и x2 (через x1обозначим большее из них):{2x1 > 2x2 ,∃ решения x1 > x2 =⇒6 − x1 < 6 − x2(в силу монотонности)Но последнее противоречит тому, что одновременно 2x1 = 6 − x1 и 2x2 = 6 − x2 .Задачи к разделу 33.1.
Докажите следующие утверждения:1) теорема косинусов;3) теорема синусов;4) «если в треугольнике две медианы равны, то треугольник равнобедренный»;5) «если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник равнобедренный»;6) «если в треугольнике две высоты равны, то треугольник равнобедренный»;7) теорема о величине вписанного угла;8) «если натуральные числа x и y взаимно просты и целое число p делитсяна xy , то p делится и на x, и на y »;209) «если произведение целых чисел x и y делится на простое число p, то либоx делится на p, либо y делится на p»;10) «для любых натуральных чисел m, n, где m > n, их наибольший общийделитель равен наибольшему общему делителю чисел m − n, n»;11) «сумма двух возрастающих на [a, b] функций есть функция, возрастающаяна [a, b]»;12) «произведение двух неотрицательных убывающих на [a, b] функций естьфункция, убывающая на [a, b]»;13) «высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, естьсреднее геометрическое проекций катетов этого треугольника на гипотенузу».3.2.
Сформулируйте обратные теоремы к следующим утверждениям:1) «диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам»;2) «если в △ABC : AB 2 > AC 2 + BC 2 , то △ABC – тупоугольный»;3) «если длина отрезка M N , соединяющего две внутренние точки на сторонахAB и AC треугольника ABC , равна половине стороны BC , то M N – средняялиния этого треугольника»;4) «если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равнымежду собой, то в этот четырехугольник можно вписать окружность»;5) «если около выпуклого четырехугольника можно описать окружность, тосуммы его противоположных углов равны».3.3. Для каждого из утверждений задачи 3.2:– докажите само утверждение,– докажите обратное утверждение к нему,– сформулируйте оба утверждения вместе в терминах: а) «необходимо и достаточно», б) «тогда и только тогда».3.4.
Для каждого из следующих утверждений укажите, будет ли условие утверждения– достаточным, но не необходимым,– необходимым, но не достаточным,– необходимым и достаточным:1) «если последняя десятичная цифра целого числа A есть 0, то A четно»;2) «если целое число A кратно 10, то A кратно 5»;3) «если целое число A кратно 3, то A кратно 6»;4) «если целое число A кратно 12, то A кратно 4»;5) «если △ABC – прямоугольный, то медиана, проведенная к его гипотенузе,равна ее половине».213.5. Пусть A – целое число.1. Сформулируйте признаки делимости числа A на числа 2, 3, 4, 5, 9, 11.2.
Докажите эти признаки.3. Докажите, что каждый из этих признаков является необходимым и достаточным условием делимости числа A на числа 2, 3, 4, 5, 9, 11 соответственно.3.6. Докажите, что каждый из признаков равенства и подобия треугольников является необходимым и достаточным условием равенства и соответственноподобия треугольников.3.7. Сформулируйте отрицание для каждого из следующих утверждений:1) «все числа a1 , a2 , .
. . , an различны»;2) «треугольник ABC – равносторонний»;3) «треугольник ABC – равнобедренный»;4) «функция y = f (x), определенная на всей числовой прямой, является четной»;5) «функция y = f (x), определенная на всей числовой прямой, является нечетной»;6) «функция y = f (x), определенная на всей числовой прямой, является периодической»;7) «функция y = f (x), определенная на всей числовой прямой, является возрастаюшей»;8) «треугольники ABC и A1 B1 C1 равны»;9) «треугольники ABC и A1 B1 C1 подобны»;10) «окружность вписана в △ABC »;11) «окружность описана около △ABC »;12) «множество A входит в область определения функции y = f (x)»;13) «множество A входит в область значений функции y = f (x)»;14) «число m является наименьшим значением функции y = f (x)»;15) «прямая l параллельна плоскости α »;16) «прямые l1 и l2 в пространстве параллельны»;17) «плоскости α1 и α2 параллельны».3.8. Докажите или опровергните следующие утверждения:1) «функция y = arcsin x является нечетной»;2) «функция y = arccos x является четной»;3) «если сторона и два угла одного треугольника равны соответствующим стороне и двум углам другого треугольника, то эти треугольники равны»;226) «сумма двух периодических функций, определенных на всей действительнойпрямой, является периодической функцией»;7) «функция y = sin(x2 ) – периодическая».3.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
