Математические утверждения и их доказательства (968702), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Докажите следующие утверждения методом от противного:1) «уравнение xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = 0, где an−1 , . . . , a1 , a0 – целыечисла, не может иметь нецелых рациональных корней»;2) «если центр описанной около треугольника окружности лежит на его стороне, то треугольник прямоугольный».3.10. Докажите или опровергните следующие критерии:1) «последовательность является арифметической прогрессией тогда и толькотогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее арифметическоесоседних с ним членов»;2) «последовательность является геометрической прогрессией тогда и толькотогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическоесоседних с ним членов»;3) «среднее арифметическое двух неотрицательных чисел равно их среднемугеометрическому тогда и только тогда, когда эти числа равны»;4) «уравнение a sin x + b cos x = c имеет решения тогда и только тогда, когда√|c| ≤ a2 + b2 »;5) «в треугольнике ABC отрезок AM , соединяющий вершину A с точкойM на противоположной стороне, является медианой тогда и только тогда, когдаплощади треугольников ABM и ACM равны»;6) «сумма квадратов диагоналей выпуклого четырехугольника равна суммеквадратов всех его сторон тогда и только тогда, когда этот четырехугольник –параллелограмм»;7) «четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когдасуммы его противоположных углов равны 180◦ ».23.

Характеристики

Список файлов учебной работы