УТС6 (962817), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Если , а коэффициент , то САР находится на апериодической границе устойчивости.

Если , а определитель при значении , то САР находится на колебательной границе устойчивости.

Достоинством критерия Гурвица – простота алгоритма. Главным недостатком – трудно использовать для систем, имеющих порядок выше 4 без соответствующих программных средств. Поэтому используют, если !!!

Пример1: определить, устойчива или нет следующая система САР:

x(t) y(t)

Замечаем, что разомкнута САР – устойчива, т.к. она 2-го порядка и все коэффициенты знаменателя – положительны.

Найдем главную передаточную функцию замкнутой САР: 



 Запишем Гурвицеву матрицу 

 САР устойчива.

Пример 2: Используя критерий Гурвица, выполнить анализ устойчивости следующей САР 

Разомкнутая САР   находится на границе устойчивости, т.к. !!!

Замкнутая САР 



Запишем матрицу Гурвица 



1. совершенно очевидно, что  К

0

2. найдем условие колебательной границы устойчивости 

 !!!  - условие нахождения САР на колебательной границе устойчивости

3. найдем условие устойчивости САР 

0

 К

Полученный результат свидетельствует, что если , то для того, чтобы САР была устойчивой, необходимо, чтобы ;

Усложним задачу: предположим возможно варьировать (изменять) коэффициент усиления К и постоянную времени, например,  т.е.

область

устойчивости

Т₂



К

Система неравенств такая же, что и выше: 

  

T₂

K

6.4. Частотный критерий устойчивости Михайлова.

Советским ученым Михайловым в в 30-тых годах впервые был предложен оригинальный критерий оценки устойчивости САР, основанный на исследовании частотных свойств полинома при подстановке вместо , где !!!

(6.4.1)

 такая же форма записи, что и в критерии Гурвица.

Если , то подставляя в (6.4.1) 

 (6.4.2)

 (6.4.3)

Совершенно очевидно, что:

если  ;

если 

Формулировка:  Чтобы САР (замкнутая или разомкнутая) была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы годограф D (i) при изменении  от нуля до  переходил поочередно из квадранта в квадрант против часовой стрелки, совершив при этом поворот на угол .

n = 2

n = 1

iD₂()

n = 3

 ₂

 ₃

Если САР – устойчива, то вектор совершает поворот на угол

Следствием частотного критерия Михайлова является перемежаемость (чередование) нулей полиномов и  в самом деле (см. рисунок), для кривой с  « » 

 ₂  ₃  ₄



 ₂  ₃  ₄

 Нули полиномов и - чередуются (перемежаются).

Если система находится на апериодической границе устойчивости (один нулевой полюс при всех остальных в левой полуплоскости), то годограф имеет следующий «примерный» вид:

iD₂()

годограф начинается из начала координат и поочередно «проходит» все квадранты в положительном направлении (начиная со 2-го квадранта).

Если система находится на колебательной границе устойчивости (2 чисто мнимых полюса при всех остальных в левой полуплоскости), то годограф имеет вид:

iD₂()  годограф D(i) при некоторой частоте  = _*

проходит через начало координат, «перескакивая» из

 = 0 2-го в 4-ый квадрант (минуя 3-ий). Частота _* - частота

 = _* незатухающих колебаний в такой САР.

Если САР неустойчива, годографы имеют вид:

Докажем ряд основных «моментов» в критерии Михайлова 

Во-первых, представим полином в виде произведения: 

(6.4.3)

где - полюса главной передаточной функции

Учитывая, что любое комплексное число типа можно представить в виде: , где А – модуль, - фаза 

(6.4.4)

где - модули выражений в скобках

- фаза (сдвиг фазы) выражений в скобках.

Естественно:  проанализируем изменение фазы (аргумента) скобок при изменении  от нуля до бесконечности 

Будем обозначать изменение фазы (аргумента) 

(6.4.5)

во-вторых, предположим, что САР - устойчива, т.е. все полюса лежат в левой полуплоскости 

Рассмотрим различные варианты полюсов, а именно: действительные, комплексные 

1-ый случай: Пусть  например, , где !!!

Рассмотрим поведение вектора при изменении от нуля до бесконечности  

iIm

Очевидно, что  естественно, что при , при

 ₁



 ₀ Re

(6.4.6)

Т.е. при изменении от 0 до вектор, описывающий скобку повернется в положительном направлении на угол .

2-ой случай: Пусть , где

Рассмотрим скобку 

 

iIm



 ₄ очевидно  

 3  очевидно, что при ;

Re

₂  ₁

 ₀

(6.4.8)

3-ий случай: Пусть ; (комплексно-сопряженный).

Рассмотрим скобку  

iIm



 ₂ очевидно  и т.д. 

 ₁  очевидно, что при ;

 ₀

₂ Re

(6.4.9)

Учитывая, что



Учитывая, что вещественный полюс дает (см. формулу 6.4.6), а комплексно-сопряженные полюса в сумме дают 

(6.4.9)

• если все полюса в левой полуплоскости, т.е. САР – устойчива.

Это означает, что при изменении частоты от нуля до бесконечности, годограф должен поочередно пройти все квадранты в положительном направлении, если САР – устойчива.

Предположим, что САР – неустойчива, т.е. ряд полюсов расположен в правой полуплоскости 

4 -ый случай: Пусть  Рассмотрим 

очевидно: и т.д.

 ₁ очевидно, что

- ₄

• Следовательно скобка дает вращение вектора в отрицательном направлении на угол  поэтому если первые три скобки «дают поворот» на , то четвертая скоба на 

•  каждый полюс расположенный в правой полуплоскости «дает недоповорот» вектора (при изменении  от 0 до ) на угол =  !!!

Рассмотрим два оставшихся случая 

Пусть  

iIm

 Очевидно, что 0  ₁   ₂   ₃ и т.д.

 ₃ что      ₅      ₅

 ₂      ₅ ()  .

Re

 ₁

 ₀ -i ₅

(6.4.11)

6-ой случай: Пусть 

iIm

 ₂      ₆    -  ₅

 ₁      ₆ ()  . 

 ₀

- ₅ Re

(6.4.12)

Суммируя для 5-ой и 6-ой скобок 

Резюмируя вышеприведенное 

Если САР – устойчива (все полюса в левой полуплоскости), то

(6.4.13)

Если 1 полюс расположен в правой полуплоскости (при всех остальных в левой), то:

(6.4.14)

Если в правой полуплоскости расположено L полюсов, то:

(6.4.15)

Специально необходимо отметить еще один «предельный» случай  бесконечного полюса (корня) 

Область расположения корней (полюсов)

бесконечный

полюс

 Данный случай возникает, если  годограф в этом случае ведет себя 

iIm

Re

а ₀  0

а ₀ = 0 а ₀  0

Пример: Необходимо исследовать на устойчивость САР  используя критерий Михайлова

 

0 

0 1

 САР – неустойчива, т.к. нет чередования нулей D ₁ и D ₂

Характеристики

Список файлов лекций