Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Стр. 2-15 Лекция 2. Взаимосвязь различных форм представления математических моделей. Автор: Котов Е.А.

Взаимосвязь различных форм представления математических моделей

При разработке математических моделей (ММ) часто возникает необходимость перехода от одной формы математического представления систем к другой, в частности, эту задачу приходится решать при завершающей стадии, когда модель ограничивается рамками используемого программного обеспечения. Эта операция имеет свои особенности и ее успешное завершение требует определенных навыков.

Ранее было отмечено, что ММ динамических систем (в том числе РТС и их элементов) могут быть представлены уравнениями состояния, передаточными функциями и в графо-аналитическом виде (структурно-функциональные схемы).

Рассмотрим возможные случаи перехода от одной формы к другой.

ММ задана в виде уравнений состояния.

Структурная схема в общем виде представляется следующим образом:

Для линейной системы:

Пример № 1.

На основании приведенных выше уравнений может быть составлена следующая структурная схема:

Это ММ упругой механической передачи, учитывающей диссипативные потери и силовой люфт.

u - угол поворота входного вала

x₁ - угол поворота выходного вала (выходная координата)

Z - угол закрутки (упругая деформация)

В результате простых структурных преобразований получим:

что соответствует привычному представлению.

J - момент инерции

С - коэффициент упругости

χ - коэффициент потерь на упругие деформации.

Пример № 2 (для линейных систем).

В приведенных примерах взаимосвязь X и X решается через операцию интегрирования, возможно решение и через операцию дифференцирования:

Но такой переход к структурной схеме не является желательным. Операция “идеального” дифференцирования не может быть точно решена численными методами

/Точно так же не используется (и не реализуется) звено “чистого” дифференцирования в реальных САУ (пример с помехой)/.

Чтобы быстро и правильно перейти от уравнений состояния к структурной схеме, следует начинать с интеграторов, причем, их должно быть столько, каков порядок системы, и далее, в соответствии с уравнениями организовать необходимые связи. Элементы структурных схем следует выбирать такими, которые в используемом программном обеспечении реализуются более эффективными алгоритмами, например

Рассмотрим переход от описания линейной системы во временной области к описанию в частотной.

Необходимо определить матричную передаточную функцию W(s), связывающую вектор u с вектором выхода Y в соответствии с уравнениями.

Из первого уравнения выразим Х и подставим во второе:

X=(Es-A)^-1ВU

Y=[C(Es-A)^-1В+D]U, Е - единичная матрица.

Выражение W(s)=C(Es-A)^-1B+D и определяет матричную передаточную функцию.

Основная проблема ее вычисления заключается в необходимости обращения матрицы (Es-A). Для этой операции существует ряд алгоритмов, один из которых (алгоритм Леверье) приведен ниже:

Коэффициенты характеристического полинома a_i и матрицы R_i вычисляются следующим образом:

/*Проверка правильности вычислений R₀≡0./

В некоторых случаях эту задачу можно решить более простыми методами, например,

Определим , для этого из второго уравнения выразим x₂ и подставим в первое, выполнив предварительно преобразование Лапласа для каждого из уравнений.

W(s) - скалярная величина, т.к. в системе один вход и один выход/

ММ задана в виде передаточной функции.

В случае, если рассматривается ММ с несколькими входами и несколькими выходами (многосвязная система), в основе перехода от описания системы в частотной области к ее описанию во временной лежит задача нахождения матриц А, В, С, D по известной матричной передаточной функции W(s). Но решение этой задачи не является однозначным. Действительно, если рассмотреть матрицы определяемые следующим образом:

где Q(nxn) – произвольная невырожденная матрица;

то

(Здесь использовано правило обращения произведения матриц: )

Таким образом получено точно такое же выражение для W(s), но матрицы определяют уже другую математическую модель.

Матрицы А, В, С, D должны определяться из условия реализации W(s) наименьшего возможного порядка, что означает исключение одинаковых пулей и полюсов из элементов W(s).

На практике часто переход от передаточной функции к записи уравнений во временной области сводится к задаче с одним входом и одним выходом

Если имеются одинаковые корни числителя и знаменателя, то порядки (n; m) понижаются.

Дифференциальное уравнение “n”-ой степени имеет вид:

В процессе моделирования является нежелательным вычисление производных от входного сигнала U(t), поскольку они не всегда могут существовать, поэтому такой переход к уравнениям может быть использован корректно при условии b_i=0, i=1,...,m.

Рассмотрим универсальный переход от передаточной функции к структурной схеме и к уравнениям состояния.

На основании последнего выражения представим структурную схему:

В прямой цепи “n” интеграторов.

Естественно, полученная структурная схема не является единственной реализацией передаточной функции, поскольку любые структурные преобразования приводят к другим схемам.

Чтобы перейти к уравнениям состояния, выход “i”-го интегратора на схеме обозначим через х_i, и запишем систему уравнений.

Математическая модель задана в виде структурной схемы.

Переход к уравнениям состояния проиллюстрируем на следующем примере:

Уравнения состояния имеют вид:

Процедура получения уравнений может быть алгоритмизирована, например, следующим образом:

Представим структурную схему в виде графа:

Далее, выполняется кодирование схемы:

n₁ - n₅ – номера блоков

При программной обработке таблицы предполагается, что существует библиотека модулей, выполняющих расчет коэффициентов правых частей для элементарных линейных звеньев. Для нелинейных звеньев осуществляется запись, например, в виде x₃=F(x₄) тип F - зона насыщения.

В качестве примера перехода от структурной схемы к передаточной функции рассмотрим следующий алгоритм.

Предположим, что структурная схема имеет вид:

Входной язык для структурного кодирования должен задавать топологию (граф модели), алгоритм преобразования сигналов каждым элементом.

Запишем уравнения:

Δ₅ – вычеркнут 5-й столбец; Δ₁ – вычеркнут 1-й столбец

В общем случае, если система имеет “к” входов, то математическая модель может быть представлена в виде:

W·x=0, где W - функциональная матрица размерности (n∙[(n+k)); n - число элементов схемы (число вершин графа).

из выходных сигналов, то остальные n-1сигналов полагаются равными 0.

Пример № 2

Алгоритм:

1. Рассматривается связь по координате x₁(s)

2. “1” соответствует удалению первой строки

1. Далее, алгоритм аналогичен предыдущему.

Вычисление определителей осуществляется по различным методам, например, способам приведения функциональной матрицы к треугольному виду; но здесь кроме этого необходима работа с полиномами.

Но можно предложить и другой алгоритм:

Задавая “m+1” различных значений “p” и вычисляя значения определителя, получим “m+1” линейных уравнений относительно b_i, i=0,1,...,m. Решив эти уравнения, получим коэффициенты полинома в (*)

С помощью матрицы W могут быть записаны уравнения в нормальной форме Коши, но уже не только для линейных систем.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций