LINALG8 (957120)
Текст из файла
73
1.15. Ортогональные матрицы и ортогональные преобразования
Определение 1.26 Квадратная невырожденная матрица называется ортогональной, если обратная к ней совпадает с транспонированной.
Роль ортогональных матриц в теории евклидовых пространств проясняет следующая теорема:
Теорема 1.15 Матрица ортогональна тогда и только тогда, когда она является матрицей перехода от одного ортонорма некоторого евклидова пространства к другому.
Доказательство. Пусть - ортогональная матрица
-ого порядка. Докажем, что ее столбцы образуют ортонормированный базис в
.
Вычислим скалярное произведение -ого столбца на
-ый:
так как транспонированный -ый столбец есть
-ая строка транспонированной матрицы, совпадающей с обратной.
Рассматривая столбцы матрицы как столбцы координат в каноническом базисе, получим, что матрица
есть матрица перехода от одного ортонорма (канонического базиса) в
к другому (состоящему из столбцов данной матрицы).
Обратно, пусть и
- два ортонорма в
-мерном евклидовом пространстве, причем
Вычислим матрицу Грама для базиса (см. п.1.6):
так как матрица Грама любого ортонорма единичная. Отсюда, поскольку матрица , как матрица перехода, обратима,
.
Теорема доказана.
Определение 1.27 Линейный оператор, действующий в конечномерном евклидовом пространстве, называется ортогональным, если он задается (в каком-то ортонорме) ортогональной матрицей.
Таким образом, по определению, оператор ортогонален, если в некотором ортонорме
он задан ортогональной матрицей:
где
Легко доказать, что в любом ортонорме матрица ортогонального оператора ортогональна.
В самом деле, если ортонорм , то поскольку матрица
ортогональна (теорема 1.15), то
Точно так же доказывается, что
Из доказанного сразу ( с учетом утверждения (6) теоремы 1.5 и следствия 1.4) вытекает:
Утверждение 1.21 Ортогональный оператор обратим, причем обратный к нему совпадает с сопряженным.
Теорема 1.16 Следующие условия равносильны:
Доказательство. Из условия (1) следует условие (3) (утверждение 1.21), а из этого последнего - условие (2):
Осталось доказать, что из (2) следует (1). Для этого докажем, что матрица (в произвольном ортонорме) оператора
, сохраняющего скалярное произведение, обратима. Вычислим ядро оператора
. Пусть для ненулевого вектора
. Тогда
, что невозможно. Итак,
, т.е. из
следует
. Это значит, что система
имеет только нулевое решение, откуда (первый семестр!)
, т.е. матрица
обратима. Тогда из условия сохранения скалярного произведения получим:
Так как это имеет место для любых векторов , то
, а так как матрица
обратима, то
, и оператор
является ортогональным.
Теорема доказана.
Замечание. Доказав тривиальность ядра оператора , мы могли бы также сослаться на утверждение 1.7, замечания, сделанные в конце п. 1.8, и на утверждение (6) теоремы 1.5.
В силу этой теоремы можно ортогональный оператор определить как оператор, сохраняющий скалярное произведение, или как оператор, у которого обратный совпадает с сопряженным.
Отсюда, в частности, следует, что самосопряженный ортогональный оператор обратен себе самому.
Ортогональные операторы (их называют также ортогональными преобразованиями) играют в линейной алгебре и ее приложениях очень важную роль. В заключение этого пункта мы дадим характеристику всех ортогональных матриц второго порядка.
Пусть матрица
ортогональна. Тогда должно выполняться:
Первая строчка из написанных трех следует из того, что столбцы ортогональной матрицы ортонормированны; вторая и третья - из условия равенства обратной и транспонированной матриц.
Из первых двух строк получаем:
причем , т.е., вся совокупность матриц в этом случае описывается так:
Если же , то поскольку
, мы можем положить
Матрица может быть тогда записана в виде:
При получаем снова матрицу вида (1).
При аналогично предыдущему придем к матрице:
Остановимся на геометрической интерпретации выведенных матриц.
Матрица вида (1) есть либо матрица тождественного преобразования плоскости (точнее, множества геометрических векторов, лежащих в некоторой плоскости), либо «отражения» одной из осей, либо одновременного отражения обеих осей - поворота на 180°).
Матрица вида (2) есть матрица поворота на угол с последующим отражением одной из осей.
Матрица (3) есть классическая матрица поворота на угол . Обратная к ней матрица
есть, естественно, матрица поворота на угол .
В частности, если , то матрица
является обратной к себе самой.
1.16. Квадратичные формы в евклидовых пространствах. Закон инерции
Определение 1.28 Квадратичной формой в евклидовом пространстве называется числовая функция
, определенная следующим образом:
где - некоторый самосопряженный линейный оператор, действующий в
.
Замечание. Мы излагаем этот раздел независимо от разделов 1.12 и 1.13. Читатель же, знакомый с этими разделами, легко поймет, что квадратичная форма есть частный случай симметрической билинейной формы, аргументы которой отождествляются.
Введем теперь в какой-то базис
, не обязательно ортонормированный. Поскольку, как легко показать,
где - матрица Грама базиса
, то
Таким образом, при записи квадратичной формы в некотором базисе возникает матрица , называемая матрицей данной квадратичной формы в данном базисе. Эта матрица, как мы видим, равна матрице самосопряженного оператора, определяющего форму, в выбранном базисе, умноженной справа на матрицу Грама данного базиса. Заметим, что, хотя оператор
и самосопряженный, его матрица в произвольном (не обязательно ортонормированном) базисе может и не быть симметрической, и поэтому, в общем случае,
. Если же выбран ортонормированный базис, то
, и
, т.е., в ортонормированном базисе матрица квадратичной формы совпадает с матрицей определяющего форму самосопряженного линейного оператора.
По определению, однако, принимается, что матрица квадратичной формы в любом базисе является симметрической.
В самом деле, записав квадратичную форму в виде
всегда можно перейти к симметрической матрице , положив
Пусть теперь - некий новый базис. Тогда
Следовательно, при переходе к новому базису матрица квадратичной формы преобразуется по закону:
Этот закон, названный в п. 1.13 тензорным законом преобразования, совпадает с законом преобразования матриц линейных операторов тогда и только тогда, когда матрица перехода ортогональна и
. Таким образом, при переходе от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному же базису матрица квадратичной формы преобразуется точно так же, как и матрица определяющего ее самосопряженного оператора. В противном же случае (скажем, при переходе от ортонорма к базису, не являющемуся ортонормом) матрица квадратичной формы уже не будет в новом базисе совпадать с матрицей оператора).
Среди всех базисов, в которых может быть записана квадратичная форма, выделяются такие, в которых матрица формы оказывается диагональной. Если квадратичная форма задана в таком базисе, то говорят, что форма приведена к каноническому виду, а сам базис при этом называют каноническим базисом данной квадратичной формы. Это понятие ни в коем случае не следует путать с понятием канонического базиса арифметического векторного пространства!
Более того, как показывает следующий простой пример, канонический базис совсем не обязан быть ортонормированным.
Рассмотрим такую квадратичную форму (для двумерного случая):
Преобразуем ее:
Введем новые переменные
Относительно этих новых переменных наша форма принимает канонический вид:
Соответствующая матрица перехода есть матрица, обратная к и равная
.
Если исходную форму считать заданной в ортонорме , то новый базис будет состоять из векторов:
Ясно, что канонический базис получился не ортонормированным.
Среди всех канонических базисов квадратичной формы выделяются те, в которых матрица формы принимает вид , где все отличные от нуля числа
равны по модулю единице.
Такой канонический базис называется нормальным, а сам вид квадратичной формы в таком базисе - нормальным видом.
Если квадратичная форма приведена к каноническому виду
то вводя новые переменные
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.