LINALG8 (957120), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

придем к нормальному виду данной формы.

Поэтому без ограничения общности мы можем рассматривать приведение квадратичных форм к нормальному виду.

Определение 1.29 Сигнатурой квадратичной формы, заданной в нормальном виде, называется разница между числом положительных и отрицательных элементов ее матрицы (т.е., между числом положительных, равных «+1», коэффициентов в нормальном виде и числом отрицательных, равных «-1», коэффициентов). Число же всех ненулевых элементов матрицы в этом случае называется рангом квадратичной формы.

В рассмотренном выше примере сигнатура равна нулю, а ранг - двум.

Нетрудно видеть, что ранг квадратичной формы совпадает с рангом ее матрицы, независимо от выбора любого (не только канонического) базиса. Значительно менее тривиальным фактом оказывается то, что сигнатура квадратичной формы сохраняется в любом каноническом базисе данной формы. Этот факт, известный под названием закона инерции для квадратичных форм, мы сейчас докажем.

Теорема 1.17 (Закон инерции) Сигнатура квадратичной формы не зависит от выбора ее канонического базиса.

Доказательство. Пусть и - два разных канонических базиса квадратичной формы , причем в первом базисе форма имеет вид

,

а во втором:

( - ранг формы ).

Мы должны доказать, что .

Рассмотрим две линейные оболочки:

и

.

По определению линейной оболочки (п. 1.3, опр. 1.4) каждый вектор из имеет в базисе нулевую координату с номером, большим , а каждый вектор из - нулевую координату с номером, меньшим (в базисе ). Это значит, что

а

,

причем равенство имеет место только для нулевого вектора.

Это значит, что

Рассмотрим теперь систему

,

состоящую из векторов.

Докажем, что эта система линейно независима.

Предполагая противное, получим, что существует нетривиальная линейная комбинация

В этой комбинации по крайней мере один «штрихованный» и один «нештрихованный» коэффициент отличны от нуля, ибо иначе получится обращающаяся в нуль линейная комбинация векторов базиса.

Тогда имеем:

,

или

,

где все штрихованные и нештрихованные коэффициенты с двойными индексами отличны от нуля.

В последнем равенстве слева стоит ненулевой вектор из , а справа - из . Это значит, что существует ненулевой вектор, принадлежащий одновременно линейным оболочкам и , но мы только что доказали, что это невозможно.

Следовательно, построенная выше «смешанная» система линейно независима, и число векторов в ней не превышает размерности пространства:

,

или

.

Рассматривая теперь линейные оболочки и , построив «смешанную» систему , совершенно аналогично предыдущему докажем, что

,

т.е., что

.

Окончательно, , и теорема доказана.

Существует несколько различных методов приведения квадратичной формы к каноническому виду. Важнейшим из них является метод ортогональных преобразований, сводящийся, в сущности, к диагонализации определяющего форму самосопряженного оператора. Согласно этому методу, мы вычисляем спектр и собственные векторы оператора, и записываем форму в ортонорме из собственных векторов в виде

,

где - все отличные от нуля собственные числа.

Приведем таким методом к каноническому виду квадратичную форму, рассмотренную выше в примере.

Запишем ее матрицу в исходном базисе (каноническом базисе двумерного арифметического пространства):

Составим характеристическое уравнение:

Раскрывая определитель, получим:

Отсюда

Сразу можно написать канонический вид исходной формы:

Нормальный вид:

Найдем собственные векторы.

Для имеем уравнение

Полагая , получим:

Общее решение системы будет иметь вид:

В качестве единичного вектора нового базиса имеем вектор

При имеем

Ортогональное преобразование, матрица которого состоит из столбцов , есть именно то преобразование, которое переводит исходный базис в канонический для данной квадратичной формы.

Еще один метод приведения квадратичной формы к каноническому виду, называемый методом Лагранжа, будет рассмотрен в следующем пункте.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)