LINALG3 (957110)
Текст из файла
25
1.7. Линейные операторы
Определение 1.10 Отображение линейного пространства
в линейное пространство
называется линейным, если:
Равносильное определение линейного отображения: для любых векторов и любых вещественных
образ линейной комбинации
Замечание. Рассматривая отображение (функцию) из линейного пространства
в линейное пространство
, мы часто будем пользоваться обозначением
, обозначая образ вектора
в пространстве
через
(без скобок), или
(со скобками).
Из определения сразу следует, что образ нулевого вектора при линейном отображении будет нулевым вектором, так как
(Разумеется, здесь, вообще говоря, речь идет о двух разных, хотя и одинаково обозначаемых нулевых векторах: один берется в пространстве , а другой - в
).
Линейное отображение называют также часто линейным оператором. Про линейный оператор будем говорить, что он действует из пространства
в пространство
. Если
, то соответствующий линейный оператор называют линейным преобразованием (пространства
).
Для оператора мы иногда будем говорить, что
есть линейный оператор типа
.
Примеры. 1) В пространстве всех геометрических векторов определим отображение
проектирования на координатную плоскость
:
Линейность данного отображения легко проверяется (она может быть доказана и алгебраически, и чисто геометрически - исходя из свойств проекций).
Это отображение не является линейным при ненулевом векторе , ибо тогда образ нулевого вектора не будет нулевым вектором. Отображение сдвига при
будет тождественным преобразованием пространства
, которое, очевидно, линейно.
-
Любая матрица
определяет линейный оператор, действующий из арифметического пространства
в арифметическое пространство
: для любого
. Линейность следует из свойств операций над матрицами.
4) В пространстве
отображение, состоящее в интегрировании функции по данному отрезку, будет линейно в силу свойств линейности определенного интеграла. Заметим, что в данном случае образ
есть функция-константа, значение которой на всем отрезке равно значению указанного интеграла.
5) Рассмотрим множество всех функций, непрерывно дифференцируемых на отрезке
(т.е., функций, имеющих на отрезке непрерывную производную) . Нетрудно видеть, что это будет подпространство пространства
. Тогда отображение, состоящее в вычислении первой производной функции, будет линейным отображением
в
(но не будет, конечно, преобразованием пространства
, так производная дифференцируемой функции в общем случае не является дифференцируемой).
Определение 1.11 Ядром линейного оператора называется множество всех таких векторов
, что
.
Ядро оператора обозначается
. Таким образом,
Определение 1.12 Образом линейного оператора называется множество всех таких векторов
, что существует такой
, что
.
Образ оператора обозначается
. Таким образом,
Итак, ядро линейного оператора - это множество всех векторов, отображаемых в нулевой вектор, а образ линейного оператора - не что иное, как область значений оператора как функции.
Вернемся к приведенным выше примерам.
Ядро оператора проектирования - это множество всех векторов, перпендикулярных координатной плоскости
; образом же этого оператора служат все векторы, параллельные указанной координатной плоскости.
Ядро оператора, задаваемого матрицей, есть множество всех решений однородной линейной системы
тогда как образ этого оператора - это множество всех таких векторов , что система
совместна, то есть (в согласии с теоремой Кронекера-Капелли) таких, что
Ядро оператора интегрирования - это множество всех таких функций , что
. В частности, если
, то ядро оператора интегрирования включает в себя множество всех нечетных функций. Образ этого оператора состоит из всех функций, постоянных на отрезке.
Ядром оператора дифференцирования служит множество всех функций-констант. Так как всякая непрерывная функция имеет первообразную, то в данном случае образ линейного оператора совпадает со всем пространством .
Важным является следующее утверждение:
Утверждение 1.6 Ядро линейного оператора
есть подпространство пространства
, а образ
указанного оператора есть подпространство пространства
Доказательство. Если , то
, откуда
. Далее:
, т.е.
.
Итак, ядро есть подпространство пространства
.
Пусть теперь . Это значит, что найдутся такие
, что
, но тогда
, откуда и следует, что
. Аналогично доказывается, что
.
Определение 1.13 Линейный оператор называется мономорфизмом пространства
в пространство
, если для каждого
существует единственный
такой, что
.
Мономорфизм называется изоморфизмом пространства
на пространство
, если
.
Из определения 1.13 и утверждения 1.6 сразу следует, что любой мономорфизм можно рассматривать как изоморфизм
на
.
Утверждение 1.7 Линейный оператор является мономорфизмом тогда и только тогда, когда
.
Доказательство. 1) Необходимость. Если мономорфизм, то из равенства
следует, что
, так как существует только один вектор, отображаемый в нулевой, а образ нулевого вектора есть нулевой вектор.
Утверждение доказано.
Фундаментальная роль понятия изоморфизма выяснится позже, после обсуждения алгебраических действий над линейными операторами.
1.8. Алгебра линейных операторов.
В этом разделе мы рассмотрим алгебраические операции, позволяющие по известным линейным операторам получать новые линейные операторы.
1) Сумма линейных операторов.
Если и
- линейные операторы, действующие из пространства
в пространство
, то однозначно определен линейный оператор
, называемый суммой операторов
и
так, что
Тем самым оператор , как функция, определен стандартно как сумма функций.
-
Умножение линейного оператора на число.
Если - линейный оператор, и
- вещественное число, то оператор
, называемый результатом умножения
на число
, определяется так:
Линейность нового оператора также очевидна. Ясно и то, что .
Легко доказать, что операции сложения и умножения на число обладают следующими свойствами:
В записанных выше тождествах суть произвольные линейные операторы, действующие из некоторого линейного пространства
в некоторое линейное пространство
. Оператор
, называемый нулевым оператором, определяется так:
(т.е. этот оператор каждый вектор отображает в нулевой вектор).
Оператор , называемый противоположным к
, определен как
, т.е.
Через противоположный оператор, как и в случае векторов, определяется разность линейных операторов:
Итак, мы получаем, что множество всех линейных операторов, действующих из в
, само является линейным пространством. Это линейное пространство будем обозначать
.
В частности, если - какое-то линейное пространство, а
- множество вещественных чисел, определенное как одномерное арифметическое векторное пространство, то линейное пространство
называется линейным пространством, сопряженным к
, и обозначается
. Элементы сопряженного пространства называются линейными функционалами, или ковекторами. Позже мы изучим структуру этого пространства (в конечномерном случае) подробнее.
Продолжим рассмотрение операций над линейными операторами.
3) Композиция линейных операторов.
Если и
- линейные операторы, то в этом случае (а именно, когда область значений оператора
содержится в области определения оператора
) определен оператор
, называемый композицией (или произведением)
на
:
Таким образом, композиция линейных операторов - это обычная композиция функций. Линейность нового оператора легко доказывается.
Пусть - множество всех линейных преобразований некоторого линейного пространства
. Тогда для любых операторов (преобразований)
из
имеют место следующие тождества:
Стандартное доказательство этих тождеств опускается. Можно заметить аналогию приведенных алгебраических законов с алгеброй матриц. Мы увидим, что это не случайно. Заметим также, что тождества (1), (2), (4) имеют место для любых линейных операторов подходящих типов.
4) Обратный линейный оператор.
Пусть - линейный оператор. Если определен такой линейный оператор
, что
, то он называется обратным к
.
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.