Романов А.С., Семиколенов А.В. - Перенос энергии излучением (953814), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

«Перенос энергии излучением».β +1= 2β + O ( β3 ) ,β −1251следовательно, на одном конце интервала v = − β . На другом конце интервала при3β → −1 + 0 v → ∞ .Результаты расчета функции v( β ) приведены на рис. 6.8.v0,80,70,60,50,40,30,20,10,0-1,0β-0,9-0,8-0,7-0,6-0,5-0,4-0,3-0,2-0,1 0,0Рис. 6.8.Результаты расчета функции v( β ) .На рис.

6.9 в полярных координатах ( i, θ ) приведена диаграмма излученияi=I ( µ ,η)T4=1, µ = cos θ1 + βµв некоторой точке на оси η для двух значений скорости волны v .Таким, образом, в рамках рассматриваемой задачи установлено, что существует только волна нагрева (скорость волны v > 0 ), что физически может быть связано с отсутствием вданном случае объемных источников (стоков) тепла. Пространственная локализация (наличие фронтовой поверхности) определяется условием существованием интегралаTdε∫ ε ⋅ æ′ ( ε ) < ∞ ,(6.22)0которое требует неограниченного возрастания коэффициента поглощения при T → 0 . Этоусловие выполняется, например, для приведенных выше оценок среднего коэффициента поглощения æ′ (T ) = T −γ , 1,5 ≤ γ ≤ 3 .Оглавление.А.С.Романов, А.В.Семиколенов.

«Перенос энергии излучением».261β2β1η1β2<0, β1<0β2<1β1Рис. 6.9. Диаграмма излученияБолее детальный анализ проблемы, из которого следует, что вблизи фронтовой поверхности система уравнений переноса лучистой энергии асимптотически совпадает с исследуемой системой уравнений, позволяет сделать вывод, что полученные качественные результаты сохраняются и в общем случае. А именно, в отсутствии объемного поглощения тепламожет существовать только волна нагрева (либо фронт волны остается неподвижным); необходимым условием существования фронта является существование интеграла (6.22), что требует неограниченного возрастания коэффициента поглощения æ′ (T ) при T → 0 .6.8.

Принцип максимума при лучистом теплопереносе.Из вышеизложенного видно, что при попытках решения даже простейших задач лучистого теплопереноса возникают математические трудности, не позволяющие решить задачуаналитически до конца даже в квадратурах. Поэтому особую роль при анализе задач лучистого теплопереноса играют качественные методы, позволяющие если не решить задачу, тохотя бы получить качественные выводы о характере решения и его дифференциальных свойствах.Предварительно необходимо сделать некоторые предположения о поведении оптических характеристик вещества при нагреве. Сформулируем их в виде неравенств, имеющихясный физический смысл.

Пусть T1 > 0 и T2 > 0 два разных значения температуры вещества,причем T2 > T1 . Тогда обязательно должны выполняться условияæν′ (T1 ) ≥ æν′ (T2 ) , Iν p ( T1 ) ⋅ æν′ (T1 ) < Iν p (T2 ) ⋅ æν′ (T2 ) ,Оглавление.А.С.Романов, А.В.Семиколенов. «Перенос энергии излучением».(6.23)27Первое из неравенств (6.23) означает, что при увеличении температуры вещества длина пробега не уменьшается для всех частот, второе соответствует физически очевидномуфакту, что при нагреве светимость увеличивается. Иными словами, предполагается, что оптические характеристики вещества должны вести себя монотонно и в соответствии с физическими представлениями о тепловом излучении.

Если, например, в веществе отсутствует локальное термодинамическое равновесие излучения и вещества, то второе из неравенств(6.23) может нарушаться. В этом случае излучение нельзя считать тепловым.В основе одного из качественных методов анализа лежит обобщенный принцип максимума. Приведем одну из формулировок обобщенного принципа максимума для случаяплоской симметрии. Сначала сформулируем задачу об эволюции начального распределениятемпературы вещества (задачу Коши).Предположим, что существует функция T ( x, t ) ∈ C 0,1 ( Z ) , Z = R × R+ - температура вещества, являющаяся решением системы уравнений лучистого теплопереноса: уравненияэнергии вещества (6.16); уравнения переноса излучения, которое в безразмерных переменных при плоской симметрии записывается в видеµ∂I ν= æ′ν ( I νp − I ν )∂xи определения плотности потока лучистой энергии в безразмерных переменных∞11S ≡ Sˆ (T ) = ∫ Sˆ ν (T ) d ν , Sˆ ν = ∫ Iˆν ( µ ,T ) ⋅µd µ .2 −10Предполагается также, что искомая неотрицательная функция T ( x, t ) удовлетворяетследующим условиям:ограничена сверху0 ≤ T ( x, t ) < M < ∞ , M = const > 0 , ( x, t ) ∈ Z ;удовлетворяет начальному условиюT ( x, 0) = T0 ( x) ≥ 0 , T0 ( x) ∈ C ( R) ,∞причем∫ T ( x ) dx < ∞ ;0−∞и граничным условиямTx =∞=Sx =∞= 0 , t ∈ R+ .Отметим, что из последнего условия и уравнения энергии непосредственно следует,что∞∂∫ E[T ( x, t )]dx = 0∂t −∞Оглавление.А.С.Романов, А.В.Семиколенов.

«Перенос энергии излучением».28и, следовательно,∞∫ E[T ( x, t )]dx = const > 0 , t ∈ R+−∞т.е. полная энергия начального нагрева вещества сохраняется (здесь предполагается, что всеусловия, налагаемые на функцию T ( x, t ) , справедливы и для функции E[T ( x, t )] ).Наряду с решением задачи Коши назовем некоторую функцию θ ( x,t ) суперрешениемуравнения энергии вещества, если она обращает это уравнение в неравенство:Et′ ( θ ) + Sˆ x′ ( θ ) ≥ 0 .(6.24)При этих условиях может быть сформулирована теорема сравнения по начальнымданным, которая и является обобщенным принципом максимума.Теорема 6.1. Если функция T ( x, t ) ∈ C 0,1 ( Z ) является решением задачи Коши, а функция θ ( x,t ) ∈ C 0 ,1 ( Z ) является суперрешением и θ ( x,0 ) ≥ T0 ( x ) , то θ ( x,t ) ≥ T ( x,t ) ,( x, t ) ∈ R × [0, t0 ] , где t0 > 0 – любое, сколь угодно большое число.Таким образом, любая функция, непрерывная по координате и дифференцируемая повремени, может выступать в качестве мажорирующей для решения.

Например, однороднаяпо пространству функция θ ( t ) , обращающая в соответствующее неравенство уравнениеэнергии вещества и удовлетворяющая неравенству θ ( 0 ) ≥ T0 ( x ) , ∀x ∈ R мажорирует решение задачи Коши θ ( t ) ≥ T ( x,t ) , ( x, t ) ∈ Z .

Найти функцию θ ( t ) существенно проще, чем само решение.Заметим, что решение задачи Коши одновременно является и его суперрешением. Поэтому на основании теоремы сравнения, оно может быть использовано в качестве мажорантыдля любого другого решения задачи Коши, удовлетворяющего тому же начальному условию.Тем самым устанавливается единственность решения.Аналогичная теорема сравнения может быть доказана для субрешения задачи Коши,для которого выполняется неравенство, противоположное (6.24). Это субрешение мажорируется решением задачи Коши.Обобщенная теорема сравнения может быть доказана и при наличии в веществе выделения или поглощения тепла в виде распределенных источников (стоков) энергии, мощностькоторых зависит от температуры вещества.Оглавление.А.С.Романов, А.В.Семиколенов. «Перенос энергии излучением».296.9.

Развитие динамических возмущений при интенсивном нагреве газа от стенки.Одной из основных особенностей интенсивного теплового воздействия на веществоявляется сильная пространственная неоднородность его температуры. В результате в веществе нарушается механическое равновесие, что, как показывает эксперимент, может привести к макроскопическому движению и возникновению ударных волн.

При этом локальноетермодинамическое равновесие не нарушается.Задача состоит в том, чтобы выяснить возможный механизм самозарождения ударнойволны, связанный исключительно с теплопередачей при интенсивном нагреве вещества (газа). Рассмотрим классическую постановку задачи о нагреве неподвижного в начальный момент газа покоящейся плоской стенкой, тем самым, исключая непосредственное механическое воздействие на газ.В качестве теплофизической модели рассматривается идеальный газ с термическимуравнением состоянияp=Rρ T,µp – давление, R – универсальная газовая постоянная, ρ - плотность, T – температура, µ - молярная масса, и калорическим уравнением состоянияε=1 p,γ −1 ρε - внутренняя энергия единицы массы газа, γ - показатель адиабаты.Газ считается нелинейно-теплопроводным с коэффициентом теплопроводностиλ (T ) = n ⋅λ0 ⋅ T n −1 ,где n = const ≥ 1 , λ 0 = const > 0 , т.е.

лучистая теплопередача рассматривается в приближениилучистой теплопроводности.Пусть полупространство x >0 (см. рис. 6.10) заполнено неподвижным идеальным газом с постоянной плотностью ρ0 > 0 . Начиная с момента времени t =0 на непроницаемой длягаза границе области x = 0 , температура меняется по степенному законуT = τ0 ⋅ t k ,где τ0 = const > 0 , k = const > 0 и тепло проникает в область x > 0 .Оглавление.А.С.Романов, А.В.Семиколенов. «Перенос энергии излучением».30Т0xРис. 6.10.

Начальное условиеСистема уравнений для описания движения газа имеет вид:- уравнение непрерывности∂ρ ∂ ( ρu )+=0;∂t∂x- уравнение динамики (перенос импульса)∂u∂u R ∂T RT ∂ρ+u++= 0;∂t∂x µ ∂x µρ ∂x- уравнение энергии вещества (перенос энергии)∂T∂T∂u λ 0 ∂ 2T n+u+ ( γ − 1) T=.∂t∂x∂x ρ ∂x 2Записанная система уравнений должна быть дополнена граничными условиямипри x = 0 , t > 0T = τ0 t k , u = 0 ;при x = ∞ , t > 0T = 0,∂T= 0 , u = 0 , ρ = ρ0 ;∂xи начальными условиями при t = 0 , x > 0T = 0 , u = 0 , ρ = ρ0 .Эти соотношения служат для определения скорости u ( x, t ) , плотности ρ( x, t ) и температуры газа T ( x, t ) при ( x, t ) ∈ R+ × R+ .Если пренебречь движением газа (т.е.

принять, что u ( x, t ) ≡ 0 , ρ ( x,t ) ≡ ρ0 ), то краеваязадача для температуры T ( x, t ) становится автомодельной.При показателе n > 1 в законе лучистой теплопроводности особенностью теплопереноса является его фронтовой характер. То есть, в пространстве независимых переменныхсуществует некоторая поверхность, задаваемая уравнением x = x f (t ) , x f (0) = 0 , которая отделяет нагретую область газа T ( x, t ) > 0 , x < x f (t ) от холодной T ( x, t ) = 0 , x ≥ x f (t ) .Несмотря на то, что при t > 0 газ приходит в движение и скорость газа, вообще говоря, u ( x, t ) ≠ 0 , фронтовая поверхность x = x f (t ) все равно существует.

То есть «естественным» линейным размером является величина зоны прогрева газа x f (t ) .Оглавление.А.С.Романов, А.В.Семиколенов. «Перенос энергии излучением».31Для дальнейшего анализа удобно перейти к безразмерным переменным в их «естественном» виде, учитывающем предполагаемый характер движения газа. В качестве характерk Rρ0  k ( n−2 )−1ных величин примем: ρ0 – плотность неподвижного газа, T0 = - характерная1k  µλ 0 τ0 температура, u0 = RT0 µ - изотермическая скорость звука при характерной температуре,x0 =λ 0T0n −1T- характерная длина, t0 = 10k - характерное время. Переход к «естественным»ρ0u0τ0безразмерным независимым переменным осуществляется по формулам:( t ,x )  t* =tx ,η =τ0x f ( t ) (в дальнейшем безразмерное время t * будет обозначаться также как и размерное t ).Для безразмерных зависимых переменных введем обозначения, заранее учитывая ихпредполагаемый характер изменения, основанный на известном автомодельном решении длятемпературы и начальных и граничных условияхT ( η,t ) = T0 ⋅ t k ⋅ θ ( η,t ) ,ρ ( η,t ) = ρ0 ⋅ (1 + t β ⋅ r ( η,t ) ) ,u ( η,t ) = u0 ⋅ t α ⋅ v ( η,t ) ,x f ( t ) = x0 ⋅ t σ ⋅ a ( t ) .Для автомодельного решения в неподвижном газе θ ( η,t ) = θ ( η ) , a (t ) = const .Постоянные величины α > 0, β > 0, σ > 0 подлежат определению.

В новых переменных система уравнений, описывающая движение газа преобразуются к виду:- уравнение непрерывности∂r σa  ηt β ∂r t α−σ ∂ v ⋅ (1 + t β r )  = 0 ,β⋅t r + t−a ++∂t t  a ∂ηa ∂η β−1β- уравнение динамикиαt α−1v + t α∂v σa  ηt α ∂v t α−σ v ∂v t k −σ ∂θt k +β−σ ∂r−  a ++++= 0,∂t t  a ∂ta ∂η a ∂η a ⋅ (1 + t β r ) ∂η- уравнение энергииkt k −1θ + t kгде a =∂θ σa  ηt k ∂θ t α+ k −σ v ∂θt k +α−σθ ∂vt kn−2 σ ∂ 2θn−  a +++γ−1=,()∂t t  a ∂ηa ∂ηa ∂η a 2 (1 + t β r ) ∂η2da.dtОглавление.А.С.Романов, А.В.Семиколенов. «Перенос энергии излучением».32Запишем полученную систему в символической форме, выписывая в скобках лишьпоказатели степени t у соответствующих слагаемых:( β − 1) + β − β − ( β − 1) + ( α − σ) + ( α + β − σ) = 0 ,( α − 1) + ( α ) − ( α ) − ( α − 1) + ( 2α − σ ) + ( k − σ ) + ( k + β − σ ) = 0 ,( k − 1) + ( k ) − ( k ) − ( k − 1) + ( α + k − σ ) + ( k + α − σ ) = ( kn − 2σ )Если теперь принять, в силу предполагаемого характера движения газа, что функцииv ( η,t ) , r ( η,t ) , θ ( η,t ) , a ( t ) асимптотически эквивалентны O (1) при t → 0 , то из символи-ческой записи однозначно определяются постоянныеα=11 k ( 3 − n ) + 1 , β = k ( 2 − n ) + 1 , σ =  k ( n − 1) − 1 .22Система уравнений движения газа в новых переменных приобретает видβ⋅r − σ⋅η ∂r aη ∂r ∂r 1 ∂v t β ∂ ( v ⋅ r )+++t⋅ − = 0,∂η a ∂η a ∂η ∂t a ∂η ∂v 1 ∂θ t βαv − ση ++∂η a ∂η ak θ − ση(6.25) θ ∂r∂v   ∂v a ∂v 1 + t β r ∂η + v ∂η  + t  ∂t − a η ∂η  = 0 , ∂θ1∂ 2 θn t β− 2+∂η a (1 + t β r ) ∂η2 a ∂θ∂v   ∂θ a ∂θ  v ∂η + ( γ − 1) θ ∂η  + t  ∂t − a η ∂η  = 0 . Если в уравнениях движения газа пренебречь малыми величинами более высокого порядка малости при t → 0 , то получается асимптотический вид уравнений при t → 0 .Как и предполагалось, в этом приближении краевая задача для температуры не зависит от движения газа, а для функций θ ( η,t ) = θ ( η ) и a (t ) = const , получим уравнение2n1 ∂ (θ )∂θ+ ση − k θ = 0 ,22a ∂η∂ηкоторое должно решаться с граничными условиямиθ η=0 = 1 , θ η=1 = 0 ,∂θn∂η=0.(6.26)η=1Следует отметить, что количество граничных условий превосходит порядок уравнения.

Характеристики

Список файлов книги