Романов А.С., Семиколенов А.В. - Перенос энергии излучением (953814), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

«Перенос энергии излучением».13Величины давлений излучения и вещества находятся примерно в таком же соотношении, что и величины энергий. Давление изотропного излучения pr =Up3, а давление идеаль-ного газа p = ( γ − 1) ⋅ E , где γ - показатель адиабаты. При высоких температурах1,15 ≤ γ ≤ 5 3 .Таким образом, при не слишком высоких температурах и не слишком малых плотностях вещества, плотность энергии и давление излучения практически не оказывают влиянияна энергетический баланс и гидродинамическое движение вещества. Их влияние на движение будет проявляться в случае лучистого теплообмена в среде.

Причина указанного явлениясостоит в резком различии скоростей движения вещества и излучения при v<<c. Поэтому потоки энергии оказываются сравнимыми при несравнимых плотностях энергии.Следовательно, в этих условиях уравнение непрерывности вещества и уравнение переноса импульса веществом не меняются. Необходимо учесть лишь поток лучистой энергииS в уравнении переноса энергии (молекулярная, электронная и другие аналогичные составляющие теплопроводности здесь считаются пренебрежимо малыми, хотя это и требует отдельного обсуждения).

С учетом этих замечаний система уравнений для описания движенияидеальной жидкости записывается в следующем виде:- уравнение непрерывности:∂ρ+ div ( ρv ) = 0 ;∂t- уравнение переноса импульса:∂v 1+ v , ∇ v = − ∇p ;∂tρ()- уравнение переноса энергии:  v2∂  v2ρ+ρε+div ρv  + w   = −div S ;∂t  2  2( ) - уравнение переноса излучения: Ω ,∇ I ν = æ′ν ⋅ ( I νp − I ν ) ;()- уравнение непрерывности излучения: div S ν = c ⋅ æ′ν ⋅ (U νp − U ν ) .( )Здесь w = ε +p- тепловая функция единицы объема вещества, остальные обозначеρния являются общепринятыми.Оглавление.А.С.Романов, А.В.Семиколенов.

«Перенос энергии излучением».146.4. Интегральные выражения для интенсивности излучения.Будем считать, что состояние вещества во всех точках пространства известно, т.е. известны температура Т и плотность ρ. Тогда следует считать известными функциями координат все величины, зависящие от состояния вещества: I νp T ( r ,t )  , æ′ν T ( r , t ) , ρ ( r , t )  .При этом условии можно формально записать решение уравнения переноса излучения (6.7).Для определенности предположим, что излучающее вещество заполняет все пространство.

Будем интересоваться излучением в точке r с направлением распространения Ω(см. рис.6.5).ΩrzξxyРис. 6.5. К выводу решения уравнения переноса излученияПроведем луч через данную точку в направлении вектора Ω и введем координату вдоль луча ξ. Заметим, что оператор Ω, ∇ есть производная вдоль выбранного луча. Тогда()уравнение переноса излучения перепишем в виде:dI ν+ æ′ν I ν = æ′ν I νp .dξЭто обыкновенное линейное дифференциальное уравнение первого порядка с правойчастью. Решение ищем в виде суммы общего решения однородного I ν( ) и частного решения0неоднородного уравнений I ν( p ) .(( 0)Однородное уравнение: d ln I ν) ξ( 0)′= −æ ν d ξ имеет решение I ν = c ⋅ exp  − ∫ æ′ν d ξ′  . −∞Частное решение неоднородного уравнения ищем методом вариации постоянной:( p)Iνξ ξ ξ′′′′= c ( ξ ) ⋅ exp  − ∫ æ ν d ξ  , c ( ξ ) = ∫ æ ν ⋅ I νp ⋅ exp  ∫ æ′ν d ξ′′  ⋅ d ξ′ + c0 .−∞ −∞ −∞Общее решение записывается в виде:Оглавление.А.С.Романов, А.В.Семиколенов.

«Перенос энергии излучением».15ξ ξ′ ξ ξ′′′′′′′I ν =  ∫ æ ν ⋅ I νp ⋅ exp  ∫ æ ν d ξ  d ξ  ⋅ exp  − ∫ æ ν d ξ  + c0 ⋅ exp  − ∫ æ′ν d ξ′  . −∞ −∞ −∞ −∞ξЕсли считать, что æν′ > 0 , то ∫ æν′ d ξ′ → ∞ и излучение из бесконечно удаленной точки не−∞приходит внутрь области определения. Окончательно, получаем: ξ′æ⋅I⋅exp∫−∞ ν νp  − ξ∫′ æ′ν d ξ′′  ⋅ d ξ′ .ξIν =(6.8)То есть интенсивность излучения не является локальной величиной. Интенсивность в даннойточке складывается из интенсивностей всех остальных точек вдоль луча с учетом поглощения.

Соотношение (6.8) может быть использовано вместо уравнения переноса излучения(6.7).6.5. Приближенные модели лучистого теплопереноса.В уравнения движения вещества входят интегральные характеристики излучения ∞S = ∫ Sν d ν , S ν =0∫I ν Ωd Ω ,( 4 π)поэтому задача расчета поля излучения с учетом движения превращается в сложную интегро-дифференциальную математическую проблему. Естественно, хотелось бы найти некоторые приближенные подходы, упрощающие решение этой проблемы.Спектральный состав излучения заранее упростить практически невозможно, так каккоэффициент поглощения имеет сложную зависимость от частоты ν, учитывающую, в частности, индивидуальное строение атомов и молекул вещества.Для расчетов часто используют многогрупповое приближение.

Всю область ν ∈ [ 0, ∞ )разбивают на отрезки (группы) переменной ширины ∆νi = νi − νi −1 , i = 1, 2,..., N . В пределахкаждой группы ν ∈ [ νi −1 ,νi ] функция æ′ν (T ) считается независимой от частотыæ′ν (T ) = æ′i (T ) . При численной реализации количество групп при необходимости можетравняться нескольким сотням.Полностью исключить из рассмотрения спектральные характеристики можно толькодля одногруппового приближения (N=1), такое вещество часто называют «серым» и в этомслучае вне зависимости от частоты æ′ν ( T ) = æ′ ( T ) .Оглавление.А.С.Романов, А.В.Семиколенов. «Перенос энергии излучением».16Возможность адекватно использовать «серое» приближение для качественных оценокэффектов лучистого теплопереноса возникает при достаточно высокой температуре. Физически это связано с возникновением оптически плотной плазмы, при этом нивелируются индивидуальные свойства молекул газа, и возникает возможность усреднения коэффициента поглощения по частоте.

В области многократной ионизации (при T > 5 ⋅10 4 К) для средних значений коэффициента поглощения предлагается степенная аппроксимацияæ′ (T ) = T −γ , 1,5 ≤ γ ≤ 3 .Важной особенностью такого среднего коэффициента поглощения является его неограниченный рост:æ′ (T ) → ∞ при T→0.Это свойство является важным - именно оно может приводить к пространственной локализации при сильном нагреве.Проще обстоит дело с усреднением по углу.

Уравнение непрерывности излучения(6.6), связывающее спектральный поток Sν и спектральную плотность излучения Uν, не содержит угол в качестве независимой переменной, поэтому наша цель – записать вместоуравнения переноса излучения (6.7) некоторое другое соотношение для величин, не зависящих от угла.Второе соотношение, в дополнение к (6.7), связывающее Sν и Uν, можно получитьтолько в приближенном виде.

Это возможно, если зависимость спектральной интенсивности излучения I ν r , Ω ,t от угла Ω является слабой.()Для вывода соответствующего соотношения умножим уравнение переноса излучения(6.7) на вектор Ω и проинтегрируем по углам: ′′ΩΩ,∇IdΩ=æIΩdΩ−æIΩ(6.9)ν∫∫ ν νp∫ ν ν dΩ .()( 4 π)( 4 π)( 4π)∫Первое слагаемой в правой части равенства (6.9) равно нулюæ′ν I νp Ωd Ω = 0 в силу неза-( 4 π)висимости I νp и æ′ν от угла. Второе слагаемое в (6.9) равно∫æ′ν I ν Ωd Ω = æ′ν Sν в силу опре-( 4 π)деления (6.2).

В результате из (6.9) получаем ∫ Ω Ω,∇ Iν d Ω = − æ′ν Sν .()( 4 π)В поле излучения, близком к изотропному, будем приближенно считать I ν r , Ω ,t ≈ I ν ( r ,t ) .()Оглавление.А.С.Романов, А.В.Семиколенов. «Перенос энергии излучением».(6.10)17Тогда левая часть уравнения (6.10) преобразуется к виду ΩΩ,∇IdΩ=∇IΩνν∫∫ cos ϕd Ω ,()( 4 π)(6.11)( 4 π)где ϕ - угол между векторами Ω и ∇I ν . Представим вектор Ω = Ω ⊥ + Ω , где вектор Ω параллелен вектору ∇I ν , а Ω⊥ емуперпендикулярен (см. рис.

6.6).ΩdϕΩ dϕΩ⊥r =1sinϕϕΩ∇I n Рис. 6.6. Разложение Ω = Ω ⊥ + Ω .Т.к. Ω = 1 и d Ω = 2π sin ϕ ⋅ d ϕ , то с учетом Ω⊥ = sin ϕ , Ω = cos ϕ правая часть соот-ношения (6.11) приводится к виду∇I ν∫ππΩ cos ϕd Ω = ∇I ν ∫ Ω ⋅ cos ϕ ⋅ 2π sin ϕ⋅ d ϕ = ∇I ν ⋅ 2π ∫ cos 2 ϕ ⋅ sin ϕ⋅ d ϕ .( 4 π)00Проводя интегрирование и учитывая, что в случае изотропного излучения U ν =4πI ν , полуcчаем искомое приближение в виде cΩΩ∇IdΩ=∇U ν ,ν∫3( 4 π)()и из соотношения (6.10) окончательно получимс −∇Uν = Sν .3жν′(6.12)Полное отсутствие анизотропии излучения означает, что одновременно ∇Uν = 0 иSν = 0 , то есть в этом случае равенство (6.12) выполняется точно.Можно показать, что при малой анизотропии излучения это соотношение выполняется приближенно. В диффузионном приближении уравнение (6.12) постулируется для спектральной плотности лучистой энергии Uν и рассматривается совместно с уравнением непрерывности излучения (6.6).Оглавление.А.С.Романов, А.В.Семиколенов.

«Перенос энергии излучением».18Спектральный поток излучения Sν можно исключить из соотношений (6.6), (6.12). Дляэтого возьмем операцию div от равенства (6.12) и, с учетом соотношения (6.6.), получим  c −  ∇ ,∇U ν   = c ⋅ æ′ν (U νp − U ν ) .′3æν(6.13)Таким образом, в диффузионном приближении дифференциальное уравнение (6.13)позволяет рассчитать поле излучения, если известны температура, плотность вещества и егоспектральные характеристики.Другим приближением, используемым в плоских задачах переноса излучения, является приближение Шварцшильда или «вперед-назад».Пусть ось «x» - направление переноса лучистой энергии.

Если провести плоскостьперпендикулярно оси x, она разделит все кванты излучения на две части – движущиеся в переднюю или заднюю полусферу. Объединим все кванты, движущиеся в переднюю полусферу в одну группу, а в заднюю – в другую. В пределах каждой полусферы излучение считается изотропным. В этом случае для объемной плотности энергии U ν =2π( I ν1 + I ν 2 ) , а дляcплотности потока энергии Sν = π ( I ν1 − I ν 2 ) , где индексами 1 и 2 обозначены передняя и задняя полусферы соответственно.Не останавливаясь на подробностях, укажем, что при разумных предположениях, вэтом приближении получаются такие же соотношения, что и в диффузионном приближении,но с другой постоянной1 dU νdSν.= æ′ν c (U νp − U ν ) , Sν = −4æ′ν dxdxВ диффузионном приближении в последнем уравнении в знаменателе было 3 вместо 4.Отдельно остановимся на приближении лучистой теплопроводности. Если длиныпробегов квантов малы по сравнению с характерными длинами изменения физических параметров вещества, то можно говорить о ситуации близкой к термодинамически равновесной.Малые величины градиентов в протяженной оптически плотной среде являются одновременно и оправданием применения диффузионного приближения, в рамках которого сl ′Sν = −  ν 3 ∇U ν .Но, поскольку, U ν ≈ U νp (при термодинамическом равновесии), то можно приближенно записать сl ′Sν = −  ν 3 ∇U νpОглавление.А.С.Романов, А.В.Семиколенов.

Характеристики

Список файлов книги