Романов А.С., Семиколенов А.В. - Перенос энергии излучением (953814), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

«Перенос энергии излучением».19(напомним, lν′ =1- средняя длина пробега излучения частоты ν с учетом переизлучения).æ′νПолный лучистый поток в данном приближении∞ ∞сS = ∫ Sν d ν = − ∫ lν′ ∇U νp d ν .300()(6.14)Вынесем в последнем соотношении из-под знака интеграла некоторое усредненное по частоте значение длины пробега и обозначим его l. Если учесть, что по закону Стефана - Больцма∞на ∫ U νp d ν = U p =04 4σT , то окончательно получимcсl 16 ⋅ σ ⋅ l ⋅ T 3 S = − ∇U p = −∇T .33(6.15)Таким образом, в приближении лучистой теплопроводности перенос излучения носитхарактер теплопроводностиS = −λ ⋅∇T ,где λ = λ (T ) .Сравнение формул для S (6.14) и (6.15) дает правило усреднения длины свободногопробега по частоте∞l ⋅∇U p = ∫ lν′ ∇U νp d ν .()0Заметим, что Uνp и Uν зависят от координат только через зависимость от температурыdU p dU νp ∇U p =∇ T , ∇U ν p =∇T .dTdTТогда∞∞dU νpdU νp∫0 lν′ dT d ν ∫0 lν′ dT d νl== ∞.dU pdU νp∫0 dT d νdTДифференцируя по Т, затем интегрируя и вводя новую безразмерную переменную n =найдем искомый закон усреднения длины пробега излучения∞l = ∫ lν′ G ( n ) dn ,0гдеОглавление.А.С.Романов, А.В.Семиколенов.

«Перенос энергии излучением».hν,kT20G ( n) =15 n4 e− n.4π4 (1 − e− n )2Величина l, полученная путем усреднения lν′ с весовым множителем G(n), называется росселандовым средним длины пробега излучения или, просто, росселандовым пробегом.Учитывая, что lν′ =11, формулу для l можно переписать в виде=æ′ν æ ν (1 − e − n )∞15 n 4 e − n1.l=∫G1 ( n ) dn , G1 ( n ) = 4æν4π (1 − e − n )30Интересной особенностью росселандова весового множителя является максимум приn = 4 , т.е.

основной вклад в перенос излучения вносят кванты с энергией в несколько разбольшей, чем kT.6.6. Уравнение переноса излучения при плоской симметрии.Очевидно, что сколько-нибудь сложная задача расчета переноса излучения требуетприменения ЭВМ и большого количества экспериментальных данных относительно спектральных оптических характеристик вещества.Существенным упрощением уравнений переноса может быть переход от векторныхсоотношений к скалярным.

Это становится возможным в случае, когда в задаче есть симметрия.Рассмотрим задачу с «плоской» симметрией. В этом случае имеется единственное направление в пространстве такое, что в любой плоскости, перпендикулярной этому направлению температура излучающего вещества зависит только от времени, а все векторы S и Sνколлинеарны этому направлению. Назовем это направление - направлением переноса излучения. Пусть вдоль этого направления введена координатная ось «x», тогда можно записатьT = T ( x, t ) , I ν = I ν ( µ ,x,t ) , U ν = U ν ( x,t ) , Sν = Sν ( x,t ) ,где Sν - проекция вектора Sν на ось x, равная длине этого вектора, µ = cos θ , где θ - угол между направлением произвольного единичного вектора Ω и осью x, 0 ≤ θ ≤ π .Рассмотрим еще одну ось, параллельную вектору Ω .

Если ξ - координата вдоль этойоси, то справедливо равенствоd1 d=. Поэтому интегральное представление для спекd ξ µ dxОглавление.А.С.Романов, А.В.Семиколенов. «Перенос энергии излучением».21тральной плотности излучения I ν = I ν Ω ,x,t (6.8) позволяет записать его в виде нелинейно-()го интегрального оператора I ν ( µ ,x,t ) = Iˆν ( µ ,T ) : x P̂ [T ]  1 æ′ν T ( ξ ,t )  ⋅ I νp T ( ξ ,t )  ⋅ exp  − ν d ξ, µ > 0∫ µ −∞µ Î ν ( µ ,T ) =  P̂ν [T ] 1 x d ξ, µ < 0 ∫ æ′ν T ( ξ ,t )  ⋅ I νp T ( ξ ,t )  ⋅ exp  µ  µ ∞гдеξP̂ν (T ) ≡ Pν ( x,ξ ,t ) = ∫ æ′ν T ( ε ,t )  d εx- интегральный (по пространству) показатель поглощения.

Естественно, здесь предполагается, что несобственные интегралы существуют. Тогда, на основании определений, спектральная плотность излучения и спектральный поток излучения также представляются как интегральные операторы:112π ˆU ν ( x,t ) ≡ Uˆ ν ( T ) =I ν ( µ ,T ) d µ , Sν ( x,t ) ≡ Sˆ ν (T ) = 2π ∫ Iˆν ( µ ,T ) µ ⋅ d µ .∫c −1−1∞Плотность потока лучистой энергии тогда записывается S = ∫ S€ν (T ) d ν .0Если рассматривать перенос излучения в неподвижном веществе постоянной плотности, то с учетом «плоской» симметрии для энергии вещества получается уравнение∂E ∂S+= 0,∂t ∂x(6.16)где E = ρcV - энергия единицы объема вещества. Или с использованием уравнения непрерывности излучения:∞∂E= −c ∫ æ′ν ( T ) Uˆ ν ( T ) − U νp ( T ) d ν .∂t0Дальнейшее изложение теории удобно проводить в безразмерных переменных.

В качестве характерных величин примем: T0 – характерная температура, l0 – характерная длинапробега излучения, t0 =ρcV l- характерное время ( ρ = const – плотность, cV = const – теп4σT04лоемкость, σ - постоянная Стефана-Больцмана), I 0 =чения, U 0 =σT04- характерная интенсивность излуπ4πI 0- характерная объемная плотность лучистой энергии.cОглавление.А.С.Романов, А.В.Семиколенов. «Перенос энергии излучением».22Для обозначения безразмерных переменных используем те же обозначения, что и дляразмерных. Тогда для безразмерных величин спектральной плотности лучистой энергииU ν ( x,t ) и спектральной плотности потока излучения Sν ( x,t ) после интегрирования по углуможно записать:∞1U ν ( x,t ) ≡ Uˆ ν (T ) = ∫ I νp (T ) æ′ν (T ) W1 Pˆν (T ) d ξ ,2 −∞(∞)1Sν ( x,t ) ≡ Sˆ ν ( T ) = ∫ I νp (T ) ⋅ æ′ν (T ) ⋅W2 Pˆν (T ) ⋅ sgn ( x − ξ ) d ξ .2 −∞()(6.17)(6.18)∞Здесь Wi = ∫ e − zτ τ− i d τ , i = 1,2 - интегральная показательная функция.

Отметим также, что в1∞безразмерных переменных∞∫ I (T ) d ν = T , ∫ U4νp0νpdν = T 4 .0Пусть в начальный момент времени t=0 температура вещества известнаT ( x, 0 ) = T0 ( x ) ≥ 0 . Тогда из интегральных соотношений можно определить U ν ( x,0 ) иSν ( x,0 ) . Задача состоит в определении температуры вещества, а также потоков лучистойэнергии в любой другой момент времени: T ( x, t ) , U ν ( x,t ) , Sν ( x,t ) , t > 0.

Даже в таком «упрощенном» виде задача является слишком сложной для исследования.6.7. Одногрупповое приближение, простая волна.Еще упростим задачу, рассмотрев одногрупповое приближение. В этом, «сером»,приближении коэффициент поглощения считается независимым от частоты æ′ν ( T ) = æ′ ( T ) идля него вводится приближенная зависимость от температуры (в безразмерном виде)æ′ (T ) = T −γ , 1,5 ≤ γ ≤ 3 .Особенностью поведения среднего коэффициента поглощения æ′(T ) является его неограниченное возрастание: æ′ (T ) → ∞ при T→0. Это означает, что длина свободного пробега излучения становится очень малой в холодном веществе.В «сером» приближении система уравнений, описывающая лучистый перенос энергии, выглядит наиболее просто.

После интегрирования по частоте уравнение переноса излучения и выражение для лучистого потока энергии записываются в виде11dIµ= æ′ (T 4 − I ) , S = ∫ Iˆ ( µ ,T ) ⋅µd µ .2 −1dxОглавление.А.С.Романов, А.В.Семиколенов. «Перенос энергии излучением».(6.19)23Эти соотношения должны рассматриваться совместно с уравнением переноса энергии в неподвижном веществе (6.16).Для выяснения характерных особенностей лучистого теплопереноса при неограниченном возрастании коэффициента поглощения при T→0 рассмотрим частное решение типа«простой волны». В этом случае предполагается, что T = T ( η ) , I = I ( µ,η) , где η = x − v ⋅ t , аv ≠ 0 - некоторая постоянная, имеющая смысл скорости тепловой волны (см. рис.

6.7). (Нарисунке (6.7) заранее учтена возможность существования фронта, то есть границы отделяющей нагретое вещество от холодного.)TT(x, t)vT(∞, t)=0xРис. 6.7. Решение типа «простая волна».Будем искать решения поставленной задачи в разделяющихся переменныхI ( µ ,η) = Φ ( η) ⋅ϕ ( µ ) .Уравнение переноса излучения (6.19) в этих переменных имеет вид:µ⋅ϕ∂Φ= æ′ (T 4 − Φ ⋅ ϕ ) .∂ηПеременные разделяются, если Φ = T 4 . Соответственно, получаем:1 1 ∂T 4 1 − ϕ==β,æ′ T 4 ∂ηµϕгде β = const - постоянная разделения переменных.Из (6.20) следуетϕ=1.1 + µβТогда из определения потока лучистой энергии (6.19) находимS=1111 4µ11β +1 Iµ,η⋅µdµ=Td µ = T 4 1 − ln().∫∫2 −12 −1 1 + βµβ  2β β − 1 В свою очередь объемная плотность лучистой энергииОглавление.А.С.Романов, А.В.Семиколенов. «Перенос энергии излучением».(6.20)24111111β +1U = ∫ I ( η,µ ) d µ = T 4 ∫d µ = T 4 ln.2 −12 −1 1 + βµ2β β − 1Уравнение переноса энергии (6.16) в случае простой волны имеет вид:−v∂E∂S=−,∂η∂ηследовательно,v∂E ∂  4 1 1β + 1  =T 1 − ln .∂η ∂η  β  2β β − 1  Переменные в последнем уравнении разделяются, если E = T 4 (еще одно условие разделения переменных), тогда скорость волны определяется выражениемv=11β +1 1 − ln.β  2β β − 1 (6.21)Температура определяется из уравнения (см.

(6.20))1 dT 4=β,æ′T 4 d ηили, после интегрирования с учетом существования фронта T = 0 при η = η f , η f = const получаемTη− ηf =4dε.∫β 0 ε ⋅ æ′ ( ε )То есть граница фронта η = η f строго разграничивает нагретое вещество ( T > 0 ) от холодного, где T = 0 .Условием существования фронта является существование интегралаTdε∫ ε ⋅ æ′ ( ε ) < ∞ , T > 0 .0Если в качестве примера задать æ′ (T ) = T −γ , то для температуры тепловой волны по1 βγγлучаем T =  ⋅ ( η − η f )  .4Проанализируем зависимость скорости тепловой волны от параметра разделенияv ( β ) , задаваемой формулой (6.21). Возможная область значений постоянной разделения ле-жит в интервале β ∈ ( −1, 0) . При малых значениях β → −0 справедливо lnОглавление.А.С.Романов, А.В.Семиколенов.

Характеристики

Список файлов книги